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1、第 38 练用样本估计总体题型分析 高考展望 用样本估计总体在高考中也是热点部分，考查形式主要是选择题、填空题或是与概率结合的综合性解答题，重点是频率分布直方图以及数字特征，属于比较简单的题目.体验高考1.(2015湖南)在一次马拉松比赛中，35 名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示：13003456688891411122233445556678150122333若将运动员按成绩由好到差编为135 号，再用系统抽样方法从中抽取7 人，则其中成绩在区间 139，151上的运动员人数是()A.3 B.4 C.5 D.6答案B解析由题意知，将1 35 号分成 7 组，每组 5 名运动员，成
2、绩落在区间139，151的运动员共有 4 组，故由系统抽样法知，共抽取4 名.选 B.2.(2015课标全国)根据下面给出的2004 年至 2013 年我国二氧化硫年排放量(单位：万吨)柱形图，以下结论中不正确的是()A.逐年比较，2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著B.2007 年我国治理二氧化硫排放显现成效C.2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D.2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关答案D解析从 2006 年起，将每年的二氧化硫排放量与前一年作差比较，得到 2008 年二氧化硫排放量与 2007 年排放量的差最大，A 选项正确；2007 年二氧化硫排放量较20
3、06 年降低了很多，B 选项正确；虽然 2011 年二氧化硫排放量较2010 年多一些，但自2006 年以来，整体呈递减趋势，即C选项正确；自 2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份负相关，D 选项错误.故选 D.3.(2016课标全国丙)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中 A 点表示十月的平均最高气温约为15，B 点表示四月的平均最低气温约为5.下面叙述不正确的是()A.各月的平均最低气温都在0 以上B.七月的平均温差比一月的平均温差大C.三月和十一月的平均最高气温基本相同D.平均最高气温高于20 的月份有5 个答案D解析由题意
4、知，平均最高气温高于20 的有六月，七月，八月，故选D.4.(2016山东)某高校调查了200 名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30，样本数据分组为17.5，20)，20，22.5)，22.5，25)，25，27.5)，27.5，30.根据频率分布直方图知，这200 名学生中每周的自习时间不少于22.5 小时的人数是()A.56 B.60 C.120 D.140答案D解析由题图知，组距为2.5，故每周的自习时间不少于22.5 小时的频率为(0.16 0.080.04)2.50.7，这 200 名学生中每周的自习时间不少于22.5
5、 小时的人数是2000.7140，故选 D.5.(2015湖北)某电子商务公司对10 000 名网络购物者2014 年度的消费情况进行统计，发现消费金额(单位：万元)都在区间 0.3，0.9内，其频率分布直方图如图所示.(1)直方图中的a_；(2)在这些购物者中，消费金额在区间0.5，0.9内的购物者的人数为_.答案(1)3(2)6 000解析(1)由频率分布直方图及频率和等于1 可得0.20.10.8 0.11.50.120.12.50.1a0.11，解得 a3.(2)消费金额在区间0.5，0.9内频率为0.20.10.80.12 0.130.10.6，所以消费金额在区间 0.5，0.9内的
6、购物者的人数为0.610 0006 000.高考必会题型题型一频率分布直方图的应用例 1(2015 广东)某城市 100 户居民的月平均用电量(单位：度)，以 160，180)，180，200)，200，220)，220，240)，240，260)，260，280)，280，300分组的频率分布直方图如图.(1)求直方图中x 的值；(2)求月平均用电量的众数和中位数；(3)在月平均用电量为220，240)，240，260)，260，280)，280，300的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11 户居民，则月平均用电量在220，240)的用户中应抽取多少户？解(1)由(0.0020.009 50
7、.0110.012 5x0.0050.002 5)201，得 x0.007 5，所以直方图中x 的值是 0.007 5.(2)月平均用电量的众数是2202402230.因为(0.0020.009 5 0.011)200.4519 时，y3 800500(x19)500 x5 700.所以 y 与 x 的函数解析式为y3 800，x19，500 x5 700，x19(xN).(2)由柱状图知，需更换的零件数不大于18 的频率为0.46，不大于 19 的频率为0.7，故 n 的最小值为19.(3)若每台机器在购机的同时都购买19 个易损零件，则这100 台机器中有70 台在购买易损零件上的费用为3
8、 800，20 台的费用为4 300，10 台的费用为4 800，因此这 100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为1100(3 800704 300204 80010)4 000，若每台机器在购机同时都购买20 个易损零件，则这 100 台机器中有90 台在购买易损零件上的费用为4 000，10 台的费用为4 500，因此这100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为1100(4 000904 50010)4 050.比较两个平均数可知，购买1 台机器的同时应购买19 个易损零件.题型二茎叶图的应用例 2(1)为了检查某高三毕业班学生的体重状况，从该班随机抽取了10 位学生进行称重
9、，如图为 10 位学生体重的茎叶图，其中图中左边是体重的十位数字，右边是个位数字，则这10 位学生体重的平均数与中位数之差为()A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4(2)在“某市中学生歌手大赛”比赛现场上七位评委为某选手打出的分数的茎叶图如图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为()A.5 和 1.6 B.85 和 1.6 C.85 和 0.4 D.5 和 0.4答案(1)C(2)B解析(1)平均数为x 54.8，中位数为12(5356)54.5，这 10 位学生体重的平均数与中位数之差为：54.854.5 0.3.故选 C.(2)x 15(44 467)808
10、5，所以 s2153(84 85)2(8685)2(8785)21.6，故选 B.点评由于茎叶图完全反映了所有的原始数据，解决由茎叶图给出的统计图表试题时，就要充分使用这个图表提供的数据进行相关的计算或者是对某些问题作出判断，这类试题往往伴随着对数据组的平均值或者是方差的计算等.变式训练2(1)某公司将职员每月的工作业绩用130 的自然数表示，甲、乙两职员在2010年 18 月份的工作业绩的茎叶图如图，则下列说法正确的是()A.两职员的平均业绩相同，甲职员的业绩比乙职员的业绩稳定B.两职员的平均业绩不同，甲职员的业绩比乙职员的业绩稳定C.两职员的平均业绩相同，乙职员的业绩比甲职员的业绩稳定D.
11、两职员的平均业绩不同，乙职员的业绩比甲职员的业绩稳定(2)如图为甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分情况的茎叶图，则甲和乙得分的中位数的和是()A.56 B.57 C.58 D.59答案(1)C(2)B解析(1)由茎叶图可得：x甲18(1215182020222528)20，x乙18(14151719 21232526)20，s2甲18(82 522200225282)934，s2甲18(62 523211325262)714，由平均数和方差可知，两职员的平均业绩相同，乙职员的业绩比甲职员的业绩稳定.(2)由茎叶图知，甲共13 个数据，中间的一个是32，乙共 11 个数据，中间的一个是25，所以甲
12、和乙得分的中位数的和为57，故选 B.题型三用样本的数字特征估计总体的数字特征例 3(1)一组数据的平均数是2.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是()A.57.2，3.6 B.57.2，56.4 C.62.8，63.6 D.62.8，3.6(2)某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10 组，每组罚球40 个，命中个数的茎叶图如图，则下列结论中错误的是_.(填序号)甲的极差是29；乙的众数是21；甲罚球命中率比乙高；甲的中位数是24.答案(1)D(2)解析(1)设这组数据分别为x1，x2，xn，则 x 1n(x1x2xn
13、)，方差为 s21n(x1 x)2(xn x)2，每一组数据都加60 后，x 1n(x1x2xn60n)x 6062.8，方差 s21n(x16062.8)2(xn60 62.8)2s23.6.(2)由茎叶图知，甲的最大值为37，最小值为8，所以甲的极差为29，故 对；乙的数据中出现次数最多的是21，所以 对；甲的命中个数集中在20，而乙的命中个数集中在10 和20，所以甲罚球命中率大，故对；甲中间的两个数为22，24，所以甲的中位数为2224223，故 不对.故答案应填.点评平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简明的描述，它们所反映的情况有着重要的实际意义，平均数、中位数、众数描述
14、其集中趋势，方差和标准差描述其波动大小.变式训练3甲、乙二人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图.(1)分别求出两人得分的平均数与方差；(2)根据图和上面算得的结果，对两人的训练成绩作出评价.解(1)由题图象可得甲、乙两人五次测试的成绩分别为甲：10 分，13 分，12 分，14 分，16 分；乙：13 分，14 分，12 分，12 分，14 分.x甲10131214 16513，x乙13141212 14513，s2甲15(1013)2(1313)2(1213)2(1413)2(1613)24，s2乙15(1313)2(1413)2(1213)2(1213)2(1413)20.
15、8.(2)由 s2甲s2乙可知乙的成绩较稳定.从折线图看，甲的成绩基本呈上升状态，而乙的成绩上下波动，可知甲的成绩在不断提高，而乙的成绩则无明显提高.高考题型精练1.某学校组织学生参加数学测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为20，40)，40，60)，60，80)，80，100，若低于60 分的人数是15 人，则该班的学生人数是()A.45 B.50 C.55 D.60答案B解析低于 60 分的人数的频率为0.015200.3，所以该班人数150.3 50(人).2.某赛季，甲，乙两名篮球运动员都参加了11 场比赛，他们每场比赛得分的情况用茎叶图表示，如图，则甲，乙两名运动员得分的
16、中位数分别为()A.20，18 B.13，19 C.19，13 D.18，20答案C解析中位数为一组数据由小到大排列后位于中间的一个数或两个数的平均数，所以中位数为 19，13.3.如图是某社区工会对当地企业工人月收入情况进行一次抽样调查后画出的频率分布直方图，其中月收入在1.5，2)千元的频数为300，则此次抽样的样本容量为()A.1 000 B.2 000 C.3 000 D.4 000答案A解析由频率分布直方图，得月收入在1.5，2)千元的频率为P0.60.50.3，所以此次抽样的样本容量为3000.31 000，故选 A.4.甲、乙两同学用茎叶图记录高三前5次数学测试的成绩，如图所示，
17、他们在分析对比成绩变化时，发现乙同学成绩的一个数字看不清楚了，若已知乙的平均成绩低于甲的平均成绩，则看不清楚的数字为()A.0 B.3 C.6 D.9答案A解析设看不清的数字为x，甲的平均成绩为99100 1011021035101，所以939497 110 110 x5101，xbc B.bca C.cab D.cba答案D解析易得 a14.7，b15，c17，故选 D.9.如图是某青年歌手大奖赛上七位评委为甲，乙两名选手打出的分数的茎叶图(其中 m 为数字 09 中的一个)，去掉一个最高分和一个最低分后，甲，乙两名选手得分的平均数分别为a1，a2，则 a1，a2的大小关系是 _.(填 a1
18、a2，a2a1，a1a2).答案a2a1解析由题意可知，a18185384584，a28438687585，所以 a2a1.10.已知一组正数x1，x2，x3，x4的方差 s214(x21x22x23x2416)，则数据 x12，x22，x32，x42 的平均数为 _.答案4解析由题意 4 x216，x 2，所以x12 x22 x32 x4 24x1x2x3x4424.11.(2016四川)我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100 位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照 0，0.5)，0.5，1)，4，4.5分成 9
19、组，制成了如图所示的频率分布直方图.(1)求直方图中a 的值；(2)设该市有30 万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3 吨的人数，说明理由；(3)估计居民月均用水量的中位数.解(1)由频率分布直方图可知：月均用水量在0，0.5)的频率为0.080.50.04.同理，在 0.5，1)，1.5，2)，2，2.5)，3，3.5)，3.5，4)，4，4.5等组的频率分别为0.08，0.21，0.25，0.06，0.04，0.02.由 1(0.040.080.210.250.06 0.040.02)0.5a 0.5a，解得 a 0.30.(2)由(1)知，100 位居民月均用水量不低于3 吨的频率为
20、0.060.040.020.12.由以上样本的频率分布，可以估计30 万居民中月均用水量不低于3 吨的人数为300 0000.1236 000.(3)设中位数为x 吨.因为前 5 组的频率之和为0.040.080.150.210.250.730.5.而前 4 组的频率之和为0.040.080.15 0.210.480.5.所以 2 x2.5.由 0.50(x2)0.5 0.48，解得 x2.04.故可估计居民月均用水量的中位数为2.04.12.(2016北京)某市民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w 立方米的部分按4 元/立方米收费，超出 w 立方米的部分按10 元/立方米收费，从该市
21、随机调查了10 000 位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：(1)如果 w 为整数，那么根据此次调查，为使 80%以上居民在该月的用水价格为4 元/立方米，w 至少定为多少？(2)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当 w3 时，估计该市居民该月的人均水费.解(1)如题图所示，用水量在0.5，2)的频率的和为(0.20.30.4)0.5 0.450.8，用水量在 0.5，3)的频率的和为(0.20.30.4 0.50.3)0.50.85.用水量小于等于3 立方米的频率为0.85，又 w 为整数，为使 80%以上的居民在该月的用水价格为4 元/立方米，w 至少定为 3.(2)当 w3 时，该市居民该月的人均水费估计为(0.11 0.15 1.5 0.22 0.252.5 0.15 3)4 0.1534 0.05 (3.5 3)0.05 (43)0.05 (4.53)10 7.21.81.510.5(元).即该市居民该月的人均水费估计为10.5 元.