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1、第 36 练“排列、组合”常考问题题型分析 高考展望 该部分是高考数学中相对独特的一个知识板块，知识点并不多，但解决问题的方法十分灵活，主要内容是分类加法计数原理和分步乘法计数原理、排列与组合、二项式定理等，在高考中占有特殊的位置.高考试题主要以选择题和填空题的方式呈现，考查排列、组合的应用.体验高考1.(2015四川)用数字 0，1，2，3，4，5 组成没有重复数字的五位数，其中比40 000 大的偶数共有()A.144 个B.120 个C.96 个D.72 个答案B解析由题意，首位数字只能是4，5，若万位是5，则有 3A3472(个)；若万位是4，则有 2A3448(个)，故比 40 00
2、0 大的偶数共有72 48120(个).选 B.2.(2016课标全国甲)如图，小明从街道的E 处出发，先到 F 处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()A.24 B.18 C.12 D.9答案B解析从 E 点到 F 点的最短路径有6 种，从 F 点到 G 点的最短路径有3 种，所以从E 点到G 点的最短路径为6318(种)，故选 B.3.(2016四川)用数字 1，2，3，4，5 组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为()A.24 B.48 C.60 D.72答案D解析由题可知，五位数要为奇数，则个位数只能是1，3，5；分为两步
3、：先从1，3，5 三个数中选一个作为个位数有C13，再将剩下的4 个数字排列得到A44，则满足条件的五位数有C13A4472(个).选 D.4.(2015广东)某高三毕业班有40 人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 _条毕业留言(用数字作答).答案1 560解析依题意两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40 人中任选两人的排列数，所以全班共写了 A24040391 560(条)毕业留言.高考必会题型题型一排列问题例 1(1)在 55 的棋盘中，放入3 颗黑子和2 颗白子，它们均不在同一行且不在同一列，则不同的排列方法种数为()A.150 B.200 C.600 D.1
4、200(2)即将毕业的6 名同学排成一排照相留念，个子较高的明明同学既不能站最左边，也不能站最右边，则不同的站法种数为_.答案(1)D(2)480解析(1)由已知，第一颗棋子有5525(种)放法，由于放入3 颗黑子和2 颗白子，它们均不在同一行且不在同一列，所以第二颗棋子有4 416(种)放法，第三颗棋子有339(种)放法，第四颗棋子有224(种)放法，第五颗棋子有1 种放法，又由于黑子、白子分别相同，所以不同的排列方法种数为2516941321211 200，选 D.(2)方法一(位置分析法)先从其他5 人中安排2 人分别站在最左边和最右边，再安排余下4 人的位置，分为两步：第1 步，从除明
5、明外的5 人中选 2 人分别站在最左边和最右边，有A25种站法；第2 步，余下 4人(含明明)站在剩下的4个位置上，有 A44种站法.由分步乘法计数原理，知共有 A25A44480(种)不同的站法.方法二(元素分析法)先安排明明的位置，再安排其他5 人的位置，分为两步：第1 步，将明明排在除最左边、最右边外的任意位置上，有A14种站法；第2 步，余下 5 人站在剩下5 个位置上，有A55种站法.由分步乘法计数原理，知共有A14A55480(种)不同的站法.方法三(反面求解法)6 人没有限制的排队有A66种站法，明明站在最左边或最右边时6 人排队有2A55种站法，因此符合条件的不同站法共有A66
6、 2A55480(种).点评求解排列问题的常用方法(1)特殊元素(特殊位置)优先法；(2)相邻问题捆绑法；(3)不相邻问题插空法；(4)定序问题缩倍法；(5)多排问题一排法.变式训练1(1)6 把椅子摆成一排，3 人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为()A.144 B.120 C.72 D.24(2)有甲、乙、丙、丁、戊5 位同学，求：5 位同学站成一排，有_种不同的方法；5 位同学站成一排，要求甲乙必须相邻，丙丁不能相邻，有_种不同的方法.答案(1)D(2)120 24解析(1)剩余的 3 个座位共有4 个空隙供3 人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为 A3443 224.(2)A5
7、5120.5 位同学站成一排，要求甲乙必须相邻，丙丁不能相邻，故有A22A22A2324 种不同的排法.题型二组合问题例 2在一次国际抗震救灾中，从7 名中方搜救队队员，4 名外籍搜救队队员中选5 名组成一支特殊搜救队到某地执行任务，按下列要求，分别计算有多少种组队方法.(1)至少有 2 名外籍搜救队队员；(2)至多有 3 名外籍搜救队队员.解(1)方法一(直接法)由题意，知特殊搜救队中“至少有 2 名外籍搜救队队员”可分为 3 类：有 2 名外籍队员，共有C37C24种组队方法；有 3 名外籍队员，共有C27C34种组队方法；有 4 名外籍队员，共有C17C44种组队方法.根据分类加法计数原
8、理，知至少有2 名外籍搜救队队员共有C37C24C27C34C17C44301(种)不同的组队方法.方法二(间接法)由题意，知特殊搜救队中“至少有 2 名外籍搜救队队员”的对立事件为“至多有 1 名外籍搜救队队员”，可分为2 类：只有 1 名外籍搜救队队员，共有C47C14种组队方法；没有外籍搜救队队员，共有C57C04种组队方法.所以至少有2 名外籍搜救队队员共有C511 C47C14C57C04301(种)不同的组队方法.(2)方法一(直接法)由题意，知“至多有 3 名外籍搜救队队员”可分为 4 类：有 3 名外籍搜救队队员，共有C27C34种方法；有 2 名外籍搜救队队员，共有C37C2
9、4种方法；有 1 名外籍搜救队队员，共有C47C14种方法；没有外籍搜救队队员，共有C57种方法.由分类加法计数原理，知至多有3 名外籍搜救队队员共有C27C34C37C24C47C14C57455(种)不同的组队方法.方法二(间接法)由题意，知“至多有 3 名外籍搜救队队员”的对立事件为“至少有 4 名外籍搜救队队员”.因为至少有4 名外籍搜救队队员，共有C17C44种组队方法，所以至多有3 名外籍搜救队队员共有 C511C17C44455(种)不同组队方法.点评(1)先看是否与排列顺序有关，从而确定是否为组合问题.(2)看是否需要分类、分步，如何确定分类标准.(3)判断是否为“分组”问题，
10、避免重复.变式训练2(1)从不同号码的三双靴子中任取4 只，其中恰好有一双的取法种数为()A.12 B.24 C.36 D.72(2)从 3 名骨科、4 名脑外科和5名内科医生中选派5 人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1 人的选派方法种数是_.(用数字作答)答案(1)A(2)590解析(1)恰好有一双的取法种数为C13C12C1212.(2)分三类：选 1 名骨科医生，则有C13(C14C35C24C25 C34C15)360(种).选 2 名骨科医生，则有C23(C14C25C24C15)210(种).选 3 名骨科医生，则有C33C14C1520(种).骨科、脑
11、外科和内科医生都至少有1 人的选派方法种数是36021020590.题型三排列与组合的综合应用问题例 34 个不同的球，4 个不同的盒子，把球全部放入盒子内.(1)恰有 1 个盒子不放球，共有几种放法？(2)恰有 1 个盒子内有2 个球，共有几种放法？(3)恰有 2 个盒子不放球，共有几种放法？解(1)为保证“恰有 1 个盒子不放球”，先从 4 个盒子中任意取出一个，问题转化为“4 个球，3 个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”，即把 4 个球分成2，1，1 的三组，然后再从3 个盒子中选1 个放 2个球，其余 2 个球放在另外2 个盒子内，由分步乘法计数原理，共有 C14C24C13
12、A22144(种).(2)“恰有 1 个盒子内有2 个球”，即另外3 个盒子放2 个球，每个盒子至多放1 个球，也即另外 3 个盒子中恰有一个空盒，因此，“恰有 1 个盒子内有2 个球”与“恰有 1 个盒子不放球”是同一件事，所以共有144 种放法.(3)确定 2 个空盒有C24种方法.4 个球放进2 个盒子可分成(3，1)、(2，2)两类，第一类有序不均匀分组有C34C11A22种方法；第二类有序均匀分组有C24C22A22A22种方法.故共有 C24(C34C11A22C24C22A22A22)84(种).点评(1)排列、组合混合问题一般“先选后排”.(2)对于较复杂的排列、组合问题，应按
13、元素的性质或题意要求进行分类，对事件发生的过程进行分步，做到分类标准明确，分步层次清楚，才能保证不“重”不“漏”.(3)关于“至少”“至多”等计数问题，一般需要进行分类，若分类比较复杂，可用间接法，找出其对立事件来求解.变式训练3(1)将 A、B、C、D、E、F 六个字母排成一排，且A、B 均在 C 的同侧，则不同的排法共有 _种.(用数字作答)(2)把 A、B、C、D 四件玩具分给三个小朋友，每位小朋友至少分到一件玩具，且A、B 两件玩具不能分给同一个人，则不同的分法有()A.36 种B.30 种C.24 种D.18 种答案(1)480(2)B解析(1)分类讨论：A、B 都在 C 的左侧，且
14、按C 的左侧分别有两个、三个、四个、五个字母这 4 类计算，再考虑右侧情况.所以共有2(A22A33C13A33A22C23A44A55)480(种).(2)由题意 A、B 两件玩具不能分给同一个人，因此分法为C13(C241)A2235230(种).高考题型精练1.A、B、C、D、E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A的右边(A、B 可以不相邻)，那么不同的排法共有()A.24 种B.60 种C.90 种D.120 种答案B解析五人并排站成一排，有A55种情况，而其中B 站在 A 的左边与B 站在 A 的右边是等可能的，则 B 站在 A 的右边的排法共有12A5560(种).2.A，B，C
15、，D，E，F 六人围坐在一张圆桌周围开会，A 是会议的中心发言人，必须坐在最北面的椅子上，B，C 二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，则不同的座次有()A.60 种B.48 种C.30 种D.24 种答案B解析由题知，不同的座次有A22A4448(种).3.将 2 名教师、4 名学生分成2 个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由 1 名教师和2 名学生组成，不同的安排方案共有()A.10 种B.8 种C.9 种D.12 种答案D解析第一步，为甲地选一名老师，有C122(种)选法；第二步，为甲地选两个学生，有C246(种)选法；第三步，为乙地选1 名教师和2 名
16、学生，有1 种选法，故不同的安排方案共有 26112(种).4.某学校食堂早餐只有花卷、包子、面条和蛋炒饭四种主食可供食用，有 5 名同学前去就餐，每人只选择其中一种，且每种主食都至少有一名同学选择.已知花卷数量不足，仅够一人食用，甲同学肠胃不好不会选择蛋炒饭，则这5 名同学不同的主食选择方案种数为()A.144 B.132 C.96 D.48答案B解析分类讨论：甲选花卷，其余4 人中有 2 人选同一种主食，方法有C24C1318(种)，剩下2 人选其余主食，方法有A222(种)，共有方法18236(种)；甲不选花卷，其余4 人中有1 人选花卷，方法有 4 种，甲选包子或面条，方法有 2 种，
17、其余 3 人若有 1 人选甲选的主食，剩下 2 人选其余主食，方法有3A22 6(种)，若没有人选甲选的主食，方法有C23A226(种)，共有 4 2(66)96(种)，故共有 3696132(种)，故选 B.5.现有 16 张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4 张，从中任取3 张，要求这 3 张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1 张，不同取法的种数为()A.232 B.252 C.472 D.484答案C解析分两类：第一类，含有1张红色卡片，共有不同的取法C14C212264(种)；第二类，不含有红色卡片，共有不同的取法C3123C3422012208(种).由分类加法计数原
18、理知不同的取法有264208472(种).6.如图，用6 种不同的颜色把图A，B，C，D，4 块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则涂色方法共有_种(用数字作答).答案480解析从 A 开始涂色，A 有 6 种涂色方法，B 有 5种涂色方法，C 有 4 种涂色方法，D 有 4种涂色方法，由分步乘法计数原理可知，共有6544480(种)涂色方法.7.某城市的交通道路如图，从城市的西南角A 到城市东北角B，不经过十字道路维修处C，最近的走法种数是_.答案66解析从城市的西南角A 到城市的东北角B，最近的走法种数共有C49126(种)走法，从城市的西南角A 经过十字道口维修处C，最近的走法有C2
19、510(种)，从 C 到城市的东北角B，最近的走法有C246(种)，所以从城市西南角A 到城市的东北角B，经过十字道路维修处C最近的走法有106 60(种)，所以从城市的西南角A 到城市东北角B，不经过十字道路维修处 C，最近的走法有1266066(种).8.如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足 a1a3，则称这个三位数为凸数(如 120，343，275 等)，那么所有凸数的个数为_.答案240解析可根据中间数进行分类，中间数依次可为2，3，4，5，6，7，8，9，然后确定百位和个位，共有122 33445566778 89240(个).9.“雾霾治理”“光盘行动”“网络反腐”“法治中国”
20、“先看病后付费”成为社会关注的 5 个热点.小王想在国庆节期间调查一下社会对这些热点的关注度.若小王准备从中选取4个热点分别进行调查，则“雾霾治理”作为其中的一个调查热点，但不作为第一个调查热点的种数为 _.答案72解析先从“光盘行动”“网络反腐”“法治中国”“先看病后付费”这 4个热点中选出3个，有 C34种不同的选法.在调查时，“雾霾治理”的安排顺序有A13种可能情况，其余3 个热点的安排顺序有A33种，故不同调查顺序的种数为C34A13A3372.10.一个质点从原点出发，每秒末必须向右、或向左、或向上、或向下跳一个单位长度，则此质点在第8 秒末到达点P(4，2)的跳法共有 _种.答案4
21、48解析分两类情况讨论：第一类：向右跳4 次，向上跳3次，向下跳1 次，有 C48C34280(种)；第二类，向右跳5 次，向上跳2次，向左跳1 次，有 C58C23168(种)；根据分类加法计数原理得，共有280 168448(种)方法.11.在 8 张奖券中有一、二、三等奖各1 张，其余5 张无奖.将这 8 张奖券分配给4 个人，每人 2 张，不同的获奖情况有_种.(用数字作答)答案60解析把 8 张奖券分4 组有两种分法，一种是分(一等奖，无奖)、(二等奖，无奖)、(三等奖，无奖)、(无奖，无奖)四组，分给 4 人有 A44种分法；另一种是一组两个奖，一组只有一个奖，另两组无奖，共有 C
22、23种分法，再分给 4 人有 A24种分法，所以不同获奖情况种数为A44C23A24243660.12.用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在“田”字形的4 个小方格内，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？解如图所示，将4 个小方格依次编号为1，2，3，4，第 1 个小方格可以从5 种颜色中任取一种颜色涂上，有5 种不同的涂法.当第 2 个、第3 个小方格涂不同颜色时，有A2412(种)不同的涂法，第4 个小方格有3种不同的涂法.由分步乘法计数原理可知，有5123180(种)不同的涂法；当第 2 个、第 3 个小方格涂相同颜色时，有4 种涂法，由于相邻方格不同色，因此，第4个小方格也有4 种不同的涂法，由分步乘法计数原理可知.有 54480(种)不同的涂法.由分类加法计数原理可得，共有180 80260(种)不同的涂法.