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1、2019-2020 学年甘肃省天水一中兰天班高一第二学期期末数学试卷一、选择题（共10 小题）.1“m4”是“直线mx+（3m4）y+30 与直线 2x+my+3 0 平行”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件2圆 C：x2+y22x4y+30 被直线 l：ax+y1a0 截得的弦长的最小值为（）A1B2CD3已知直线l、m 与平面 、，l?，m?，则下列命题中正确的是（）A若 l m，则必有 B若 lm，则必有 C若 l ，则必有 D若 ，则必有m4设椭圆C1的离心率为，焦点在 x 轴上且长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对
2、值等于8，则曲线C2的标准方程为（）A 1B1C 1D15已知P 是抛物线y24x 上的一个动点，则P 到（0，2）的距离与到抛物线准线距离之和的最小值为（）A3B4CD6如图，在底面为正方形的四棱锥PABCD 中，侧面PAD底面 ABCD，PAAD，PAAD，则异面直线PB 与 AC 所成的角为（）A30B45C60D907已知直线ykx（k0）与双曲线交于 A，B 两点，以 AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F，若 ABF的面积为4a2，则双曲线的离心率为（）ABC2D8我国古代九章算术将上下两面为平行矩形的六面体称为刍薨如图所示为一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底
3、的长分别为2 和 4，高为 2，则该刍薨的表面积为（）AB40CD9关于曲线C：x4+y21，给出下列四个命题：曲线 C 关于原点对称；曲线 C 关于直线yx 对称 曲线 C 围成的面积大于 曲线 C 围成的面积小于上述命题中，真命题的序号为（）ABCD10已知A，B，C，D 四点均在球O 的球面上，ABC 是边长为6 的等边三角形，点D在平面 ABC 上的射影为ABC 的中心，E 为线段 AD 的中点，若BD CE，则球 O 的表面积为（）A36B42C54D二、填空题（本大题共4 小题，每小题4 分，共 16 分）11经过点（1，3），且在 x 轴和 y 轴上的截距相等的直线方程是12如图
4、：二面角 l的大小是60，线段AB?，B l，AB 与 l 所成角为45，则AB 与平面 所成角的正弦值是13已知过点M（1，1）的直线l 与椭圆 1 相交于 A，B 两点，若点M 是 AB的中点，则直线l 的方程为14如图，棱长为3 的正方体的顶点A 在平面 上，三条棱AB，AC，AD 都在平面的同侧，若顶点 B，C 到平面 的距离分别为1，则顶点 D 到平面 的距离是三、解答题（本大题共4 小题，共44 分，请在答题卡上写清必要的解题过程）15已知直线l 过定点 A（2，1），圆 C：x2+y2 8x6y+210（1）若 l 与圆 C 相切，求l 的方程；（2）若 l 与圆 C 交于 M，
5、N 两点，求 CMN 面积的最大值，并求此时l 的直线方程16如图，在四棱锥PABCD 中，底面 ABCD 为矩形，平面 PAB平面 ABCD，PB PD（1）证明：平面PBC平面 PAD；（2）若 PAPB，BE2EC，且 AB2，BC3，求二面角APDE 的余弦值17如图，在四棱柱ABCD A1B1C1D1中，侧面A1ADD1底面 ABCD，D1AD1D，底面 ABCD 为直角梯形，其中 BCAD，ABAD，AD2AB2BC2，O 为 AD 中点（1）求证：A1O平面 AB1C；（2）求三棱锥B1 ABC 的体积18已知椭圆+1（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，P 是椭圆上
6、一点，且PF1F2面积的最大值为1（1）求椭圆 C 的方程；（2）过 F2且不垂直坐标轴的直线l 交椭圆C 于 A，B 两点，在x 轴上是否存在一点N（n，0），使得|AN|：|BN|AF2|：|BF2|，若存在，求出点N（n，0），若不存在，说明理由参考答案一、选择题（本大题共10 小题，每小题4 分，共40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1“m4”是“直线mx+（3m4）y+30 与直线 2x+my+3 0 平行”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】根据直线平行的等价条件求出m 的值，结合充分条件和必要条件的定义进行判断
7、即可解：当 m 0时，两直线方程为4y+30，和 2x+30，此时两直线不平行，当 m0 时，若两直线平行，则满足，由得 m26m8，即 m26m+80 得 m2 或 m 4，当 m2 时，1 不满足条件，舍去，故 m4，则“m4”是“直线mx+（3m4）y+30 与直线 2x+my+30 平行”的充要条件，故选：C2圆 C：x2+y22x4y+30 被直线 l：ax+y1a0 截得的弦长的最小值为（）A1B2CD【分析】由圆的方程求出圆心坐标与半径，再求出直线l 所过定点，求出圆心到定点的距离，利用垂径定理求最小弦长解：由 x2+y22x4y+30，得（x1）2+（y2）2 2，则圆心坐标为
8、C（1，2），半径为直线 ax+y1 a0 即 a（x1）+y10，过定点P（1，1），当过圆心与定点的直线与直线l 垂直时，弦长最短，此时|CP|，则弦长为故选：B3已知直线l、m 与平面 、，l?，m?，则下列命题中正确的是（）A若 l m，则必有 B若 lm，则必有 C若 l ，则必有 D若 ，则必有m【分析】A如图所示，直线l，m 都与交线c 平行，满足条件，因此不正确；B假设 ，l?，l l，l m，则满足条件，故不正确；C根据线面垂直的判定定理即可判断；D设 c，若 lc，mc，虽然 ，但是可有m，即可否定解：A如图所示，设 c，lc，m c满足条件，但是与 不平行，因此不正确；B
9、假设 ，l?，l l，l m，则满足条件，但是 与 不垂直，因此不正确；C若 l?，l ，根据线面垂直的判定定理可得 ，故正确；D设 c，若 lc，mc，虽然 ，但是可有m，因此，不正确综上可知：只有C 正确故选：C4设椭圆C1的离心率为，焦点在 x 轴上且长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为（）A 1B1C 1D1【分析】在椭圆 C1中，由题设条件能够得到，曲线 C2是以 F1（5，0），F2（5，0），为焦点，实轴长为8 的双曲线，由此可求出曲线C2的标准方程解：在椭圆C1中，由，得椭圆 C1的焦点为F1（5，0），F2（5，0
10、），曲线 C2是以 F1、F2为焦点，实轴长为8 的双曲线，故 C2的标准方程为：1，故选：A5已知P 是抛物线y24x 上的一个动点，则P 到（0，2）的距离与到抛物线准线距离之和的最小值为（）A3B4CD【分析】先求出抛物线的焦点坐标，再由抛物线的定义可得d|PF|+|PA|AF|，再求出|AF|的值即可解：由题得：如图：抛物线的焦点为F，A（0，2）P 在准线上的射影A抛物线y24x，F（1，0），依抛物线的定义知P 到该抛物线准线的距离为：|PA|PF|，则点 P 到点 A（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和d|PF|+|PA|AF|故选：C6如图，在底面为正方形的四棱锥PA
11、BCD 中，侧面PAD底面 ABCD，PAAD，PAAD，则异面直线PB 与 AC 所成的角为（）A30B45C60D90【分析】由已知可得：PA平面 ABCD，底面 ABCD 为正方形，分别过P，D 点作 AD，AP 的平行线交于M，连接CM，AM，因为PBCM，所以ACM 就是异面直线PB 与AC 所成的角解：由题意：底面ABCD 为正方形，PA平面 ABCD，分别过 P，D 点作 AD，AP 的平行线交于M，连接 CM，AM，PMAD，ADBC，PMAD，ADBCPBCM 是平行四边形，PB CM，所以 ACM 就是异面直线PB 与 AC 所成的角设 PAAB a，在三角形ACM 中，A
12、M a，ACa，CMa三角形ACM 是等边三角形所以 ACM 等于 60，即异面直线PB 与 AC 所成的角为60故选：C7已知直线ykx（k0）与双曲线交于 A，B 两点，以 AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F，若 ABF的面积为4a2，则双曲线的离心率为（）ABC2D【分析】根据以 AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F，得到以 AB 为直径的圆的方程为 x2+y2c2，根据三角形的面积求出B 的坐标，代入双曲线方程进行整理即可解：以AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F，以 AB 为直径的圆的方程为x2+y2c2，由对称性知ABF 的面积 S2SOBF2hch4a2，即 h，即
13、 B 点的纵坐标为y，则由 x2+（）2c2，得 x2c2（）2 c2，B 在双曲线上，则 1，即1，即（1+）1，即?1，即1，即1，得 16a4（c2a2）2，即 4a2c2a2，得 5a2c2，得 ca，则离心率e，方 法2：设 双 曲 线 的 左 焦 点 为F ，由 图 象 的 对 称 性 得，圆O 经 过 点F ，且|BF|AF|，设|BF|AF|m，|BF|n，BF AFSABFmn 4a2，m2+n24c2，则 mn8a2，|BF|BF|2a，mn2a则 m2 2mn+n2 4a2，4c2 16a24a2，即 c25a2，则 ca，即离心率e，故选：D8我国古代九章算术将上下两面
14、为平行矩形的六面体称为刍薨如图所示为一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2 和 4，高为 2，则该刍薨的表面积为（）AB40CD【分析】画出几何体的三视图，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可解：三视图对应的几何体的直观图如图，梯形的高为：，几何体的表面积为，216+12故选：D9关于曲线C：x4+y21，给出下列四个命题：曲线 C 关于原点对称；曲线 C 关于直线yx 对称 曲线 C 围成的面积大于 曲线 C 围成的面积小于上述命题中，真命题的序号为（）ABCD【分析】将方程中的x 换为 x，y 换为 y，方程不变，判断出 对；通过将方程中的x，y 互换方程改变
15、，判断出 错；由方程上的点的坐标有界判断出 对，错解：对于 ，将方程中的x 换成 x，y 换成 y 方程不变，所以曲线C 关于 x 轴、y 轴、原点对称，故 对对于 ，将方程中的x 换为 y，y 换为 x 方程变为y4+x21 与原方程不同，故 错对于 ，在曲线 C 上任取一点M（x0，y0），x04+y021，|x0|1，x04x02，x02+y02x04+y021，即点 M 在圆 x2+y21 外，故 对，错故选：D10已知A，B，C，D 四点均在球O 的球面上，ABC 是边长为6 的等边三角形，点D在平面 ABC 上的射影为ABC 的中心，E 为线段 AD 的中点，若BD CE，则球 O
16、 的表面积为（）A36B42C54D【分析】根据图形特征可得DA，DB，DC 两两垂直，故三棱锥DABC 可看作以DA，DB，DC 为棱的正方体的一部分，求得正方体外接球直径即可解：设 ABC 的中心为G，延长 BG 交 AC 于 F，则 F 为 AC 中点，连接DF由题知 DG平面 ABC，ACGB，由三垂线定理得ACBD，又 BD CE，BD 平面 ACD，又 DABC 为正三棱锥，DA，DB，DC 两两垂直，故三棱锥DABC 可看作以DA，DB，DC 为棱的正方体的一部分，二者有共同的外接球，由 AB6 得，故正方体外接球直径为，所以球 O 的表面积为4 R254，故选：C二、填空题（本
17、大题共4 小题，每小题4 分，共 16 分）11 经过点（1，3），且在 x 轴和 y 轴上的截距相等的直线方程是3xy0 或 x+y40【分析】分类讨论：当直线过原点时，可得斜率，可得方程，当直线不过原点时，设直线方程为x+y a，代入点 P（1，3）可得 a 的方程，解方程可得a 值，可得直线的方程，整理为一般式即可解：当直线过原点时，斜率为3，故方程为y3x，整理为一般式可得3xy0；当直线不过原点时，设直线方程为x+ya，代入点 P（1，3）可得 1+3a，解得 a4，故直线方程为x+y4整理为一般式可得x+y40，综上可得直线的方程为：3xy 0 或 x+y 40故答案为：3xy 0
18、或 x+y4 012如图：二面角 l的大小是60，线段AB?，B l，AB 与 l 所成角为45，则AB 与平面 所成角的正弦值是【分析】根据二面角和直线和平面所成角的定义，先作出对应的平面角，结合三角形的边角关系进行求解即可解：过点A 作平面 的垂线，垂足为C，在 内过 C 作 l 的垂线，垂足为D连结 AD，根据三垂线定理可得ADl，因此，ADC 为二面角 l的平面角，ADC 60又 AB 与 l 所成角为45，ABD 45连结 BC，可得 BC 为 AB 在平面 内的射影，ABC 为 AB 与平面 所成的角设 AD 2x，则 Rt ACD 中，ACADsin60，Rt ABD 中，AB，
19、RtABC 中，sinABC，故答案为：13已知过点M（1，1）的直线l 与椭圆 1 相交于 A，B 两点，若点M 是 AB的中点，则直线l 的方程为3x4y70【分析】方法一：设直线l 的方程，代入椭圆方程，利用中点坐标公式，即可求得直线AB 的斜率，利用点斜式方程，即可求得直线l 的方程；方法二：设M（1+m，1+n），N（1m，1n），代入椭圆方程，作差，由直线l的斜率，利用点斜式方程，即可求得直线l 的方程解：方法一：设A（x1，y1），B（x2，y2），由中点坐标公式可知：x1+x22，y1+y2 2，则，两式相减得：+0，则，则直线 AB 的斜率 k，则直线l 的方程方程y+1（x
20、1），整理得：3x4y7 0，故答案为：3x4y70方法二：由点M 是 AB 的中点，则设M（1+m，1+n），N（1m，1n），则，两式相减得：，整理得：，直线 AB 的斜率 k，则直线l 的方程方程y+1（x1），整理得：3x4y7 0，故答案为：3x4y7014如图，棱长为3 的正方体的顶点A 在平面 上，三条棱AB，AC，AD 都在平面的同侧，若顶点 B，C 到平面 的距离分别为1，则顶点 D 到平面 的距离是【分析】本题的条件正规，但位置不正规牵涉到的知识虽然只有线面距离和线面角，但难于下手出路何在？在正方体的8 个顶点中，有关系的只有4 个（其他顶点可不予理会）这4 点组成直角四面
21、体，这就是本题的根所以最终归结为：已知直角四面体的 3 个顶点 A，B，C 到平面 M 的距离依次为0，1，求顶点D 到平面 M 的距离解：如图，连结 BC、CD、BD，则四面体ABCD 为直角四面体作平面 M 的法线 AH，再作，BB1平面 M 于 B1，CC1平面 M 于 C1，DD1平面 M 于 D1连结 AB1，AC1，AD1，令 AH h，DAa，DB b，DCc，由等体积可得+，+1令 BAB1，CAC1，DAD1 ，可得 sin2+sin2+sin2 1，设 DD1m，BB11，CC1，1解得 m即所求点D 到平面 的距离为故答案为：三、解答题（本大题共4 小题，共44 分，请在
22、答题卡上写清必要的解题过程）15已知直线l 过定点 A（2，1），圆 C：x2+y2 8x6y+210（1）若 l 与圆 C 相切，求l 的方程；（2）若 l 与圆 C 交于 M，N 两点，求 CMN 面积的最大值，并求此时l 的直线方程【分析】（1）分类讨论，利用圆心C（4，3）到已知直线l 的距离等于半径2，即可求l 的方程；（2）若 l 与圆 C 交于 M，N 两点，求 CMN 面积，利用配方法求出最大值，即可求此时 l 的直线方程解：（1）将圆的一般方程化为标准方程，得（x4）2+（y3）24，圆心 C（4，3），半径 r2 若直线 l 的斜率不存在，则直线x2，符合题意 若直线 l
23、的斜率存在，设直线l：y+1 k（x2），即 kx y2k 10l 与圆 C 相切，圆心C（4，3）到已知直线l 的距离等于半径2，即，解得综上，所求直线方程为x2 或 3x4y100（2）直线与圆相交，斜率必定存在，设直线方程为kx y2k10，则圆心到直线l的距离，又 CMN 面积，当时，Smax 2，由，解得 k1 或 k7，直线方程为xy30 或 7xy15016如图，在四棱锥PABCD 中，底面 ABCD 为矩形，平面 PAB平面 ABCD，PB PD（1）证明：平面PBC平面 PAD；（2）若 PAPB，BE2EC，且 AB2，BC3，求二面角APDE 的余弦值【分析】（1）推导出
24、AD AB，从而 AD平面 PAB，进而 AD AD，再由 PBPD，得 PB平面 PAD，由此能证明平面PBC平面 PAD（2）以 A 为原点，AB 为 x 轴，AD 为 y 轴，过 A 作平面 ABCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角APDE 的余弦值解：（1）证明：在四棱锥PABCD 中，底面ABCD 为矩形，AD AB，平面 PAB平面 ABCD，平面 PAB平面 ABCD AB，AD 平面 PAB，PB?平面 PAB，ADAD，PB PD，AD PD D，PB平面 PAD，PB?平面 PBC，平面PBC平面 PAD（2）解：以 A 为原点，AB 为 x 轴
25、，AD 为 y 轴，过 A 作平面 ABCD 的垂线为 z 轴，建立空间直角坐标系，A（0，0，0），D（0，3，0），E（2，2，0），P（1，0，1），（1，0，1），（1，3，1），（1，2，1），设平面 PAD 的法向量（x，y，z），则，取 x1，得（1，0，1），设平面 PDE 的法向理（a，b，c），则，取 b2，得（1，2，5），设二面角A PDE 的平面角为，则 cos 二面角A PDE 的余弦值为17如图，在四棱柱ABCD A1B1C1D1中，侧面A1ADD1底面 ABCD，D1AD1D，底面 ABCD 为直角梯形，其中 BCAD，ABAD，AD2AB2BC2，O 为 AD
26、 中点（1）求证：A1O平面 AB1C；（2）求三棱锥B1 ABC 的体积【分析】（1）欲证 A1O平面 AB1C，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证A1O与平面 AB1C 内一直线平行，连接 CO、A1O、AC、AB1，利用平行四边形可证A1OB1C，又 A1O?平面 AB1C，B1C?平面 AB1C，满足定理所需条件；（2）由题意，B1到平面 ABC 的距离等于D1到平面ABC 的距离即D1O1，即可求出三棱锥 B1ABC 的体积【解答】（1）证明：如图（1），连接 CO、A1O、AC、AB1，则四边形ABCO 为正方形，所以OCAB A1B1，所以，四边形A1B1CO 为平行四边形，
27、所以 A1O B1C，又 A1O?平面 AB1C，B1C?平面 AB1C所以 A1O平面 AB1C；（2）解：由题意，B1到平面 ABC 的距离等于D1到平面 ABC 的距离即D1O1，所以三棱锥B1ABC 的体积为18已知椭圆+1（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，P 是椭圆上一点，且PF1F2面积的最大值为1（1）求椭圆 C 的方程；（2）过 F2且不垂直坐标轴的直线l 交椭圆C 于 A，B 两点，在x 轴上是否存在一点N（n，0），使得|AN|：|BN|AF2|：|BF2|，若存在，求出点N（n，0），若不存在，说明理由【分析】（1）由离心率及三角形PF1F2的最大面积及a
28、，b，c 之间的关系求出a，b 的值，进而求出椭圆的方程；（2）假设存在这样的N 点由所给的比例关系可得x 轴为 ANB 的角平分线，及直线 AN，BN 的斜率之和为0，设直线 AB 的方程与椭圆联立求出两根之和及两根之积，进而求出直线 AN，BN 的斜率，由斜率之和为定值0 可得 N 的坐标解：（1）由题意可得e，（S）max 1，即bc1，又c2a2b2，解得：a22，b2 1，所以椭圆的方程为：+y2 1；（2）假设存在N（n，0）满足条件，由|AN|：|BN|AF2|：|BF2|，可得 AF2为 ANB 的角平分线，所以kAN+kBN0，由题意直线AB 的斜率存在且不为0，由（1）可得右焦点F2（1，0），设直线 AB 的方程为xmy+1，设 A（x1，y1），B（x2，y2），将直线 AB 的方程与椭圆的方程联立：，整理可得：（2+m2）y2+2my10，y1+y2，y1y2，kAN+kBN+0，所以 2my1y2（n1）（y1+y2）（n1）0，即 2mn 4m0，因为 m0，所以 n 2，即存在 N（2，0）满足条件