《2019-2020学年山东省烟台二中高一下学期期末数学试卷(解析版).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019-2020学年山东省烟台二中高一下学期期末数学试卷(解析版).pdf（24页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2019-2020 学年山东省烟台二中高一第二学期期末数学试卷一、选择题（共8 小题）.1下列条件中，能判断平面与平面 平行的是（）A内有无穷多条直线都与平行B与 同时平行于同一条直线C与 同时要垂直于同一条直线D与 同时垂直于同一个平面2某中学高一年级共有学生1200 人，为了解他们的身体状况，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80 的样本，若样本中共有男生42 人，则该校高一年级共有女生（）A630B615C600D5703已知某种产品的合格率是90%，合格品中的一级品率是20%则这种产品的一级品率为（）A18%B19%C20%D21%4PM 2.5 是空气质量的一个重要指标，我国PM2.
2、5 标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM 2.5 日均值在35 g/m3以下空气质量为一级，在35 g/m375 g/m3之间空气质量为二级，在 75 g/m3以上空气质量为超标如图是某地11 月 1 日到 10 日 PM2.5 日均值（单位：g/m3）的统计数据，则下列叙述不正确的是（）A从 5 日到 9 日，PM 2.5 日均值逐渐降低B这 10 天的 PM2.5 日均值的中位数是45C这 10 天中 PM 2.5 日均值的平均数是49.3D从这 10 天的日均PM2.5 监测数据中随机抽出一天数据，空气质量为一级的概率是255我国古代数学名著九章算术中记载的“刍甍”（chumeng）是
3、指底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体如图，五面体ABCDEF是一个刍甍，其中BCF 是正三角形，AB2BC2EF，则以下两个结论：ABEF；BF ED，（）A 和 都不成立B 成立，但 不成立C 不成立，但 成立D 和 都成立6抛掷一个质地均匀的骰子的试验，事件 A 表示“小于 5 的偶数点出现”，事件 B 表示“不小于 5 的点数出现”，则一次试验中，事件 A 或事件 B 至少有一个发生的概率为（）A23B13C12D567现对 A，B 有如下观测数据A34567B1615131417记本次测试中，A，B 两组数据的平均成绩分别为?，?，A，B 两班学生成绩的方差分别为 SA2，SB2，则（
4、）A?，SA2SB2B?，SA2SB2C?，SA2SB2D?，SA2SB28如图，PA 垂直于以AB 为直径的圆所在平面，C 为圆上异于A，B 的任意一点，AEPC 垂足为 E，点 F 是 PB 上一点，则下列判断中不正确的是（）ABC平面 PACBAEEFCACPBD平面 AEF 平面 PBC二、多选题：（每题5 分，全对得5 分，选不全得3 分，选错得0 分，共 20 分）9从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么不互斥的两个事件是（）A“至少有一个黑球”与“都是黑球”B“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”C“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”D“至少有一个黑球”与“都是红球”
5、10某特长班有男生和女生各10 人，统计他们的身高，其数据（单位：cm）如下面的茎叶图所示，则下列结论正确的是（）A女生身高的极差为12B男生身高的均值较大C女生身高的中位数为165D男生身高的方差较小11下列四个正方体图形中，A、B 为正方体的两个顶点，M、N、P 分别为其所在棱的中点，能得出AB平面 MNP 的图形是（）ABCD12如图，在四棱锥PABCD 中，底面ABCD 为菱形，DAB 60，侧面PAD 为正三角形，且平面PAD平面 ABCD，则下列说法正确的是（）A在棱 AD 上存在点M，使 AD平面 PMBB异面直线AD 与 PB 所成的角为90C二面角PBCA 的大小为45DBD
6、平面 PAC三、填空题：（每题5 分，第 15 题第一空2 分，第二空3 分）13已知三个事件A，B，C 两两互斥且P（A）0.3，P（?）0.6，P（C）0.2，则 P（ABC）14如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，ABBC2，AA11，则 AC1与平面 A1B1C1D1所成角的正弦值为15某校为了普及“一带一路“知识，举行了一次知识竞赛，满分10 分，有 10 名同学代表班级参加比赛，已知学生得分均为整数，比赛结束后统计这10 名同学得分情况如折线图所示，则这10 名同学成绩的极差为，80%分位数是16在四棱锥SABCD 中，底面四边形ABCD 为矩形，SA平面 ABCD，P，Q
7、 别是线段BS，AD 的中点，点R 在线段 SD 上若 AS4，AD 2，AR PQ，则 AR四、解答题（6 题，共 70 分）17为了了解某校初三年级500 名学生的体质情况，随机抽查了10 名学生，测试1min 仰卧起坐的成绩（次数），测试成绩如下：30 35 42 33 34 36 34 37 29 40（1）这 10 名学生的平均成绩?是多少？标准差s是多少？（2）次数位于?-?与?+?之间有多少名同学？所占的百分比是多少？（参考数据：3.8214.6）18某校响应教育部门疫情期间“停课不停学”的号召，实施网络授课，为检验学生上网课的效果，高三学年进行了一次网络模拟考试全学年共1500
8、 人，现从中抽取了100人的数学成绩，绘制成频率分布直方图（如图所示）已知这100 人中 110，120）分数段的人数比 100，110）分数段的人数多6 人（1）根据频率分布直方图，求 a，b 的值，并估计抽取的100 名同学数学成绩的中位数；（中位数保留两位小数）（2）现用分层抽样的方法从分数在130，140），140，150的两组同学中随机抽取6 名同学，从这6 名同学中再任选2 名同学作为“网络课堂学习优秀代表”发言，求这2 名同学的分数不在同一组内的概率19国家射击队的某队员射击一次，命中710 环的概率如表所示：命中环数10 环9 环8 环7 环概率0.320.280.180.12
9、求该射击队员射击一次求：（1）射中 9 环或 10 环的概率；（2）至少命中8 环的概率；（3）命中不足8 环的概率20如图，四棱锥SABCD 的侧面SAD 是正三角形，ABCD，且 AB AD，AB2CD4，E 是 SB 中点（）求证：CE平面 SAD；（）若平面SAD平面 ABCD，且?=?，求多面体SACE 的体积21将一颗骰子先后抛掷2 次，观察向上的点数，事件 A：“两数之和为8”，事件 B：“两数之和是3 的倍数”，事件C：“两个数均为偶数”（）写出该试验的基本事件空间，并求事件A 发生的概率；（）求事件B 发生的概率；（）事件A 与事件 C 至少有一个发生的概率22如图 1，等腰
10、梯形ABCD 中，AD BC，ABAD，ABC60，E 是 BC 的中点将ABE 沿 AE 折起后如图2，使二面角B AEC 成直二面角，设F 是 CD 的中点，P是棱 BC 的中点（1）求证：AEBD；（2）求证：平面PEF平面 AECD；（3）判断 DE 能否垂直于平面ABC，并说明理由参考答案一、单选题（每题5 分，共 40 分）1下列条件中，能判断平面与平面 平行的是（）A内有无穷多条直线都与平行B与 同时平行于同一条直线C与 同时要垂直于同一条直线D与 同时垂直于同一个平面【分析】利用面面平行的判定直接判断即可解：对于A，若 内有无穷多条平行的直线与平行，则不能说明平行 ；对于 B，
11、平行于同一条直线的两个平面可能不平行，还可以相交；对于 C，垂直于同一条直线的两平面平行；对于 D，垂直于同一平面的两个平面不一定平行，还可以垂直综上，选项C 正确故选：C2某中学高一年级共有学生1200 人，为了解他们的身体状况，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80 的样本，若样本中共有男生42 人，则该校高一年级共有女生（）A630B615C600D570【分析】利用分层抽样的性质直接求解解：高一年级共有学生1200 人，按性别用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80 的样本，样本中共有男生42 人，则高一年级的女生人数约为：120080-4280=570故选：D3已知某种产品的合格率是9
12、0%，合格品中的一级品率是20%则这种产品的一级品率为（）A18%B19%C20%D21%【分析】一级品率是在合格品条件下发生，由此利用相互独立事件概率乘法公式能求出这种产品的一级品率解：一级品率是在合格品条件下发生，故这种产品的一级品率为90%20%18%故答案为：18%故选：A4PM 2.5 是空气质量的一个重要指标，我国PM2.5 标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM 2.5 日均值在35 g/m3以下空气质量为一级，在35 g/m375 g/m3之间空气质量为二级，在 75 g/m3以上空气质量为超标如图是某地11 月 1 日到 10 日 PM2.5 日均值（单位：g/m3）的统计数
13、据，则下列叙述不正确的是（）A从 5 日到 9 日，PM 2.5 日均值逐渐降低B这 10 天的 PM2.5 日均值的中位数是45C这 10 天中 PM 2.5 日均值的平均数是49.3D从这 10 天的日均 PM 2.5 监测数据中随机抽出一天的数据，空气质量为一级的概率是25【分析】先对图表信息进行分析，再由频率分布折线图逐一检验即可得解解：由图表可知，选项A，C，D 正确，对于选项B，这 10 天的 PM2.5 日均值的中位数是45+492=47，故 B 错误，故选：B5我国古代数学名著九章算术中记载的“刍甍”（chumeng）是指底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体如图，五面体ABCDE
14、F是一个刍甍，其中BCF 是正三角形，AB2BC2EF，则以下两个结论：ABEF；BF ED，（）A 和 都不成立B 成立，但 不成立C 不成立，但 成立D 和 都成立【分析】利用线面平行的性质及勾股定理即可判断解：ABCD，CD 在平面 CDEF 内，AB 不在平面CDEF 内，AB平面 CDEF，又 EF 在平面 CDEF 内，由 AB 在平面 ABFE 内，且平面ABFE 平面 CDEF EF，AB EF，故 对；如图，取 CD 中点 G，连接 BG，FG，由 ABCD 2EF，易知 DE GF，且 DE GF，不妨设 EF1，则?=?=?=?，假设 BF ED，则 BF2+FG2BG2
15、，即 1+FG22，即 FG 1，但 FG 的长度不定，故假设不一定成立，即 不一定成立故选：B6抛掷一个质地均匀的骰子的试验，事件 A 表示“小于 5 的偶数点出现”，事件 B 表示“不小于 5 的点数出现”，则一次试验中，事件 A 或事件 B 至少有一个发生的概率为（）A23B13C12D56【分析】由古典概型概率公式分别计算出事件A 和事件 B 发生的概率，又通过列举可得事件 A 和事件 B 为互斥事件，进而得出事件A 或事件 B 至少有一个发生的概率即为事件 A 和事件 B 的概率之和解：事件A 表示“小于5 的偶数点出现”，事件B 表示“不小于5 的点数出现”，P（A）=26=13，
16、P（B）=26=13，又小于 5的偶数点有2 和 4，不小于5 的点数有5 和 6，所以事件A 和事件 B 为互斥事件，则一次试验中，事件A 或事件 B 至少有一个发生的概率为P（A B）P（A）+P（B）=13+13=23，故选：A7现对 A，B 有如下观测数据A34567B1615131417记本次测试中，A，B 两组数据的平均成绩分别为?，?，A，B 两班学生成绩的方差分别为 SA2，SB2，则（）A?，SA2SB2B?，SA2SB2C?，SA2SB2D?，SA2SB2【分析】根据表中数据，分别计算A、B 两组数据的平均值和方差，再比较大小解：根据表中数据，计算A 组数据的平均值为?=1
17、5（3+4+5+6+7）5，计算 B 组数据的平均数为?=15（16+15+13+14+17）15，A 组数据的方差为SA2=15（35）2+（45）2+（5 5）2+（65）2+（75）22，B 组数据的方差为SB2=15（1615）2+（1515）2+（1315）2+（1415）2+（1715）22；所以?，?=?故选：C8如图，PA 垂直于以AB 为直径的圆所在平面，C 为圆上异于A，B 的任意一点，AEPC 垂足为 E，点 F 是 PB 上一点，则下列判断中不正确的是（）ABC平面 PACBAEEFCACPBD平面 AEF 平面 PBC【分析】在A 中，推导出BC AC，PABC，从而
18、 BC平面 PAC，可得正确；在 B 中，由 BC平面 PAC，可证 BCAE，又 AE PC，可证 AE平面 PBC，即可证明 AEEF，可得正确；在 C 中，由 AC BC，得若 ACPB，则 AC平面 PBC，与 ACPA 矛盾，可得错误；在 D 中，由 AE平面 PBC，AE?面 AEF，即可证明平面AEF 平面 PBC，可得正确解：在 A 中，C 为圆上异于A，B 的任意一点，BC AC，PA BC，PAAC A，BC平面 PAC，故 A 正确；在 B 中，BC平面 PAC，AE?平面 PAC，BC AE，AE PC，PCBC C，AE平面 PBC，EF?平面 PBC，AE EF，故
19、 B 正确；在 C 中若 ACPB，则 AC平面 PBC，则 ACPC，与 AC PA 矛盾，故 AC 与 PB 不垂直，故 C 错误；在 D 中，AE平面 PBC，AE?面 AEF，平面 AEF 平面 PBC，故 D 正确故选：C二、多选题：（每题5 分，全对得5 分，选不全得3 分，选错得0 分，共 20 分）9从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么不互斥的两个事件是（）A“至少有一个黑球”与“都是黑球”B“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”C“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”D“至少有一个黑球”与“都是红球”【分析】根据互斥事件的定义可得解：”至少有一个黑球“中包含“都是
20、黑球，A 正确；“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”可能同时发生，B 正确；“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”不可能同时发生，C 不正确；“至少有一个黑球”与“都是红球”不可能同时发生，D 不正确故选：AB10某特长班有男生和女生各10 人，统计他们的身高，其数据（单位：cm）如下面的茎叶图所示，则下列结论正确的是（）A女生身高的极差为12B男生身高的均值较大C女生身高的中位数为165D男生身高的方差较小【分析】A、根据极差的公式：极差最大值最小值解答；B、根据两组数据的取值范围判断均值大小；C、根据中位数的定义求出数值；D、根据两组数的据波动性大小；解：A、找出所求数据中最大的值173
21、，最小值161，再代入公式求值极差17316112，故本选项符合题意；B、男生身高的数据在167192 之间，女生身高数据在161173 之间，所以男生身高的均值较大，故本选项符合题意；C、抽取的10 名女生中，身高数据从小到大排列后，排在中间的两个数为165 和 167，所以中位数是166，故本选项不符合题意；D、抽取的学生中，男生身高的数据在167192 之间，女生身高数据在161173 之间，男生身高数据波动性大，所以方差较大，故本选项不符合题意故选：AB11下列四个正方体图形中，A、B 为正方体的两个顶点，M、N、P 分别为其所在棱的中点，能得出AB平面 MNP 的图形是（）ABCD【
22、分析】根据线面平行的判定定理和性质定理分别进行判断即可解：在 A 中，连接 AC，则 ACMN，由正方体性质得到平面MNP 平面 ABC，AB平面 MNP，故 A 成立；B 若下底面中心为O，则 NOAB，NO面 MNP N，AB 与面 MNP 不平行，故B 不成立；C 过 M 作 ME AB，则 E 是中点，则 ME 与平面 PMN 相交，则AB 与平面 MNP 相交，AB 与面 MNP 不平行，故C 不成立；D 连接 CE，则 ABCE，NP CD，则 ABPN，AB平面 MNP，故 D 成立故选：AD12如图，在四棱锥PABCD 中，底面ABCD 为菱形，DAB 60，侧面PAD 为正三
23、角形，且平面PAD平面 ABCD，则下列说法正确的是（）A在棱 AD 上存在点M，使 AD平面 PMBB异面直线AD 与 PB 所成的角为90C二面角PBCA 的大小为45DBD平面 PAC【分析】如图所示，A取 AD 的中点 M，连接 PM，BM，连接对角线AC，BD 相较于点 O利用正三角形、菱形的性质、线面垂直的判定定理可得：AD平面 PMB B 由 A 可得：AD平面 PMB，可得 AD PB，即可得出异面直线AD 与 PB 所成的角C 由 BCAD，可得 BC平面 PBM，进而得出 PBM 是二面角PBCA 的平面角，利用 Rt PBM 的边角关系即可得出D由于 BD 与 PA 不垂
24、直，即可判断出结论解：如图所示，A取 AD 的中点 M，连接 PM，BM，连接对角线AC，BD 相较于点O侧面 PAD 为正三角形，PM AD又底面 ABCD 为菱形，DAB 60，ABD是等边三角形AD BM又 PMBM M AD 平面 PMB，因此 A 正确B由 A 可得：AD平面 PMB，AD PB，异面直线AD 与 PB 所成的角为90，正确C平面PBC平面ABCD BC，BCAD，BC平面PBM，BCPB，BCBM PBM 是二面角PBC A 的平面角，设AB1，则 BM=32=PM，在 Rt PBM中，tan PBM=?=1，PBM 45，因此正确D BD 与 PA 不垂直，BD
25、与平面 PAC 不不垂直，因此D 错误故选：ABC 三、填空题：（每题5 分，第 15 题第一空2 分，第二空3 分）13已知三个事件A，B，C 两两互斥且P（A）0.3，P（?）0.6，P（C）0.2，则 P（ABC）0.9【分析】由对立事件的概率可得P（B），再由互斥事件有一个发生的概率可得所求解：三个事件A，B，C 两两互斥，P（?）0.6，可得 P（B）1 0.60.4，则 P（ABC）P（A）+P（B）+P（C）0.3+0.4+0.2 0.9故答案为：0.914如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，ABBC2，AA11，则 AC1与平面 A1B1C1D1所成角的正弦值为13【分
26、析】由题意连接A1C1，则 AC1A1为所求的角，在AC1A1计算出此角的正弦值即可解：连接A1C1，在长方体ABCD A1B1C1D1中，A1A平面 A1B1C1D1，则 AC1A1为 AC1与平面 A1B1C1D1所成角在 AC1A1中，sinAC1A1=?1?1=11+22+22=13故答案为：1315某校为了普及“一带一路“知识，举行了一次知识竞赛，满分10 分，有 10 名同学代表班级参加比赛，已知学生得分均为整数，比赛结束后统计这10 名同学得分情况如折线图所示，则这10 名同学成绩的极差为7，80%分位数是8.5【分析】根据数表写出这组数据，再求极差和分位数解：由题意知，数据 3
27、，6，6，6，6，6，7，8，9，10 的极差是10 37；所以数据3，6，6，6，6，6，7，8，9，10 的 80%分位数是8+92=8.5故答案为：7，8.516在四棱锥SABCD 中，底面四边形ABCD 为矩形，SA平面 ABCD，P，Q 别是线段BS，AD 的中点，点R 在线段 SD 上若 AS4，AD 2，ARPQ，则 AR4 55【分析】取SA 的中点 E，连接 PE，QE由已知证明PE AR，结合已知ARPQ，可得 AR平面 PEQ，得到 AREQ，进一步得到ARSD，在直角三角形SAD 中，由等面积法求解AR解：取 SA 的中点 E，连接 PE，QESA平面 ABCD，AB?
28、平面 ABCD，SAAB，而 ABAD，ADSAA，AB平面 SAD，故 PE平面 SAD，又 AR?平面 SAD，PEAR又 ARPQ，PEPQP，AR平面 PEQ，EQ?平面 PEQ，AREQE，Q 分别为 SA，AD 的中点，EQSD，则 ARSD，在直角三角形ASD 中，AS4，AD 2，可求得?=?由等面积法可得?=455故答案为：4 55四、解答题（6 题，共 70 分）17为了了解某校初三年级500 名学生的体质情况，随机抽查了10 名学生，测试1min 仰卧起坐的成绩（次数），测试成绩如下：30 35 42 33 34 36 34 37 29 40（1）这 10 名学生的平均成
29、绩?是多少？标准差s是多少？（2）次数位于?-?与?+?之间有多少名同学？所占的百分比是多少？（参考数据：3.8214.6）【分析】（1）先求出10 名学生的平均成绩，从而能求出方差，进而能求出标准差（2）由?-?=?-?.?=?.?，?+?=?+?.?=?.?，求出次数位于?-?与?+?之间的有6 位同学，从而能求出所占的百分比解：（1）10 名学生的平均成绩为：?=110(?+?+?+?+?+?+?+?+?+?)=?方差：?=110(?+?+?+?+?+?+?+?+?+?)=?.?，即标准差?=?.?.?（2）?-?=?-?.?=?.?，?+?=?+?.?=?.?，所以次数位于?-?与?+
30、?之间的有6 位同学，所占的百分比是610=?%18某校响应教育部门疫情期间“停课不停学”的号召，实施网络授课，为检验学生上网课的效果，高三学年进行了一次网络模拟考试全学年共1500 人，现从中抽取了100人的数学成绩，绘制成频率分布直方图（如图所示）已知这100 人中 110，120）分数段的人数比 100，110）分数段的人数多6 人（1）根据频率分布直方图，求 a，b 的值，并估计抽取的100 名同学数学成绩的中位数；（中位数保留两位小数）（2）现用分层抽样的方法从分数在130，140），140，150的两组同学中随机抽取6 名同学，从这6 名同学中再任选2 名同学作为“网络课堂学习优秀
31、代表”发言，求这2 名同学的分数不在同一组内的概率【分析】（1）依题意a+b0.046，1000（ba）6，解得 a，b，由中位数公式，即可得出答案（2）设在分数为 130，140）的同学中抽取4 人，分别用a1，a2，a3，a4表示，在分数为140，150的同学中抽取2 人，分别用b1，b2表示，用列举法，结合古典概率模型，即可得出答案解：（1）依题意a+b 0.046，1000（b a）6，解得 a0.020，b 0.026，中位数为0.5-10(0.002+0.008+0.014+0.02)0.026112.31（2）设“抽取的2 名同学的分数不在同一组内”为事件A由题意知，在分数为13
32、0，140）的同学中抽取4人，分别用a1，a2，a3，a4表示，在分数为 140，150的同学中抽取2 人，分别用b1，b2表示，从这 6 名同学中抽取2 人所有可能出现的结果有：（a1，a2），（a1，a3），（a1，a4），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），（a2，a4），（a2，b1），（a2，b2），（a3，a4），（a3，b1），（a3，b2），（a4，b1），（a4，b2），（b1，b2）共 15 种，抽取的2 名同学的分数不在同一组内的结果有：（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（a4，b1），（a4，b2
33、）共 8 种，所以?(?)=815，抽取的2 名同学的分数不在同一组内的概率为81519国家射击队的某队员射击一次，命中710 环的概率如表所示：命中环数10 环9 环8 环7 环概率0.320.280.180.12求该射击队员射击一次求：（1）射中 9 环或 10 环的概率；（2）至少命中8 环的概率；（3）命中不足8 环的概率【分析】（1）记“射击一次，射中9 环或 10 环”为事件A，那么当A9，A10之一发生时，事件A 发生，由互斥事件的加法公式可得答案；（2）设“射击一次，至少命中8 环”的事件为B，那么当A8，A9，A10之一发生时，事件 B 发生由互斥事件概率的加法公式可得答案；
34、（3）由于事件“射击一次，命中不足8 环”是事件B：“射击一次，至少命中8 环”的对立事件：即?表示事件“射击一次，命中不足8 环”，根据对立事件的概率公式可得答案；解：记事件“射击一次，命中k 环”为 Ak（k N，k10），则事件Ak彼此互斥（1）记“射击一次，射中9 环或 10 环”为事件A，那么当A9，A10之一发生时，事件A发生，由互斥事件的加法公式得P（A）P（A9）+P（A10）0.32+0.280.60（2）设“射击一次，至少命中8 环”的事件为B，那么当A8，A9，A10之一发生时，事件 B 发生由互斥事件概率的加法公式得P（B）P（A8）+P（A9）+P（A10）0.18+
35、0.28+0.32 0.78（3）由于事件“射击一次，命中不足8 环”是事件B：“射击一次，至少命中8 环”的对立事件：即?表示事件“射击一次，命中不足8 环”，根据对立事件的概率公式得P（?）1P（B）10.780.2220如图，四棱锥SABCD的侧面SAD是正三角形，ABCD，且ABAD，AB2CD4，E 是 SB 中点（）求证：CE平面 SAD；（）若平面SAD平面 ABCD，且?=?，求多面体SACE 的体积【分析】（）取SA 的中点 F，连接 EF，证明四边形EFDC 是平行四边形，得出ECFD，CE平面 SAD；（）取 AD 中点 G，连接 SG，证明 SG平面 ABCD，求出点
36、E 到平面 ABCD 的距离，计算多面体SACE 的体积解：（）取SA 的中点 F，连接 EF，因为 E 是 SB 中点，所以 EF AB，且 AB2EF，又因为 ABCD，AB 2CD，所以 EF DC，EFDC，即四边形EFDC 是平行四边形，所以 ECFD，又因为 EC?平面 SAD，FD?平面 SAD，所以 CE平面 SAD；（）取AD 中点 G，连接 SG，因为 SAD 是正三角形，所以SGAD，因为平面SAD平面 ABCD，且交线为AD，所以 SG平面 ABCD，因为 ABAD，所以 AB平面 SAD，所以 ABSA，故?=?-?=?，?=?，因为 E 是 SB 中点，所以点E 到
37、平面 ABCD 的距离等于12?，所以多面体SACE 的体积为：VSACE VSABCDVSACDVEABC=13?-13?-13?12?=13?(2+42?-12?-12?12)=83321将一颗骰子先后抛掷2 次，观察向上的点数，事件 A：“两数之和为8”，事件 B：“两数之和是3 的倍数”，事件C：“两个数均为偶数”（）写出该试验的基本事件空间，并求事件A 发生的概率；（）求事件B 发生的概率；（）事件A 与事件 C 至少有一个发生的概率【分析】（I）将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，利用列举法能求出，再求出事件 A“两数之和为8 包含的基本事件有5，由此能求出事件A 发生的概率（
38、II）利用列举法求出事件B：“两数之和是3 的倍数”包含的基本事件个数，由此能求出事件B 发生的概率（III）利用列举法求出事件A 与事件 C 至少有一个发生包含的基本事件个数，由此能求出事件 A 与事件 C 至少有一个发生的概率解：（I）将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），（5，1），（5，2），（5，3
39、），（5，4），（5，5），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6），共有36 个基本事件，事件 A：“两数之和为8”，事件A 包含的基本事件有：（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2），共 5 个基本事件，事件 A 发生的概率为P（A）=536（II）事件 B：“两数之和是3 的倍数”，事件 B 包含的基本事件有12 个，分别为：（1，2），（1，5），（2，1），（2，4），（3，3），（3，6），（4，2），（4，5），（5，1），（5，4），（6，3），（6，6），事件 B 发生的概率P（B）=1236=13（III）事件 A
40、 与事件 C 至少有一个发生包含的基本事件有11 个，分别为：（2，2），（2，4），（2，6），（3，5），（4，2），（4，4），（4，6），（5，3），（6，2），（6，4），（6，6），事件 A 与事件 C 至少有一个发生的概率为P（AC）=113622如图 1，等腰梯形ABCD 中，AD BC，ABAD，ABC60，E 是 BC 的中点将ABE 沿 AE 折起后如图2，使二面角B AEC 成直二面角，设F 是 CD 的中点，P是棱 BC 的中点（1）求证：AEBD；（2）求证：平面PEF平面 AECD；（3）判断 DE 能否垂直于平面ABC，并说明理由【分析】（1）证明 AE BD，
41、只需证明AE平面 BDM，利用 ABE 与 ADE 是等边三角形，即可证明；（2）证明平面 PEF 平面 AECD，只需证明 PN平面 AECD，只需证明BM 平面 AECD即可；（3）DE 与平面 ABC 不垂直假设DE 平面 ABC，则 DEAB，从而可证明DE平面 ABE，可得 DE AE，这与 AED 60矛盾【解答】（1）证明：设AE 中点为 M，连接 BM，在等腰梯形ABCD 中，AD BC，ABAD，ABC 60，E 是 BC 的中点，ABE与 ADE 都是等边三角形BM AE，DM AEBM DM M，BM、DM?平面 BDM，AE平面 BDM BD?平面 BDM，AEBD（2）证明：连接CM 交 EF 于点 N，MEFC，ME FC，四边形MECF 是平行四边形，N 是线段 CM 的中点P 是 BC 的中点，PN BM BM 平面 AECD，PN平面 AECD 又 PN?平面 PEF，平面 PEF平面 AECD（3）解：DE 与平面 ABC 不垂直证明：假设DE平面 ABC，则 DE AB，BM平面 AECD，BM DEAB BM B，AB、BM?平面 ABE，DE 平面 ABE AE?平面 ABE，DEAE，这与 AED 60矛盾DE 与平面 ABC 不垂直