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1、高中数学典型例题同角三角函数的基本关系式新课标1/7 高中数学新课标典型例题：同角三角函数的基本关系式1已知某角的一个三角函数值，求该角的其他三角函数值解sin 0 角在第三或第四象限(不可能在y 轴的负半轴上)(2)若在第四象限，则说明在解决此类问题时，要注意：(1)尽可能地确定所在的象限，以便确定三角函数值的符号(2)尽可能地避免使用平方关系(在一般情况下只要使用一次)(3)必要时进行讨论例 2 已知 sin=m(|m|1)，求 tg 的值高中数学典型例题同角三角函数的基本关系式新课标2/7(2)当 m=1 时，的终边在y 轴上，tg 无意义(3)当在、象限时，cos 0当在第、象限时，c
2、os 0，说明(1)在对角的范围进行讨论时，不可遗漏终边在坐标轴上的情况(2)本题在进行讨论时，为什么以cos的符号作为分类的标准，而不按 sin 的符号(即 m的符号)来分类讨论呢？你能找到这里的原因并概括出所用的技巧吗？2三角函数式的化简三角函数式的化简的结果应满足下述要求：(1)函数种类尽可能地少(2)次数尽可能地低(3)项数尽可能地少(4)尽可能地不含分母(5)尽可能地将根号中的因式移到根号外面来化简的总思路是：尽可能地化为同类函数再化简例 3 化简 sin2 tg+cos2 ctg+2sin cos高中数学典型例题同角三角函数的基本关系式新课标3/7=sec csc 解 2 原式=(
3、sin2 tg+sin cos)+(cos2 ctg+sin cos)=tg (sin2+cos2)+ctg(sin2+cos2)=tg+ctg=sec csc 说明(1)在解 1 中，将正切、余切化为正弦、余弦再化简，仍然是循着减少函数种类的思路进行的(2)解 2 中的逆用公式将sin cos用 tg 表示，较为灵活，解1 与解 2 相比，思路更自然，因而更实用例 4化简：分析将被开方式配成完全平方式，脱去根号，进行化简高中数学典型例题同角三角函数的基本关系式新课标4/7 3三角恒等式的证明证明三角恒等式的过程，实际上是化异为同的过程，即化去形式上的异，而呈现实质上的同，这个过程，往往是从化
4、简开始的这就是说，在证明三角恒等式时，我们可以从最复杂处开始例 5求证 cos(2sec+tg)(sec-2tg)=2cos-3tg 分析从复杂的左边开始证得右边=2cos-3tg=右边例 6 证明恒等式(1)1+3sin2 sec4+tg6=sec6(2)(sinA+secA)3+(cosA+cscA)2=(1+secAcscA)2高中数学典型例题同角三角函数的基本关系式新课标5/7 分析(1)的左、右两边均较复杂，所以可以从左、右两边同时化简证明(1)右边-左边=sec6-tg6-3sin2sec4-1=(sec2-tg2)(sec4+sec2 tg2+tg2)-3sin2sec4-1=(
5、sec4-2sec2 tg2+tg2)-1=(sec2-tg2)2-1=0 等式成立=sin2A+cos2A=1故原式成立在解题时，要全面地理解“繁”与“简”的关系实际上，将不同的角化为同角，以减少角的数目，将不同的函数名称，化为同名函数，以减少函数的种类，都是化繁为简，以上两点在三角变换中有着广泛的应用分析 1 从右端向左端变形，将“切”化为“弦”，以减少函数的种类高中数学典型例题同角三角函数的基本关系式新课标6/7 分析 2 由 1+2sinxcosx立即想到(sinx+cosx)2，进而可以约分，达到化简的目的说明(1)当题目中涉及多种名称的函数时，常常将切、割化为弦(如解法 1)，或将弦化为切(如解法 2)以减少函数的种类(2)要熟悉公式的各种变形，以便迅速地找到解题的突破口，请看下列=sec+tg 等式成立高中数学典型例题同角三角函数的基本关系式新课标7/7 说明以上证明中采用了“1 的代换”的技巧，即将1 用 sec2-tg2代换，可是解题者怎么会想到这种代换的呢？很可能，解题者在采用这种代换时，已经预见到代换后，分子可以因式分解，可以约分，而所有这一切都是建立在熟悉公式的各种变形的基础上的，当然，对不熟练的解题者而言，还有如下的“一般证法”即证明“左边-右边=0”左边=右边