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1、1 中考数学压轴题及答案40 例5.如图，在直角坐标系xOy中，点P为函数214yx在第一象限内的图象上的任一点，点A的坐标为(0 1)，直线l过(01)B，且与x轴平行，过P作y轴的平行线分别交x轴，l于CQ，连结AQ交x轴于H，直线PH交y轴于R（1）求证：H点为线段AQ的中点；（2）求证：四边形APQR为平行四边形；平行四边形APQR为菱形；（3）除P点外，直线PH与抛物线214yx有无其它公共点？并说明理由（08 江苏镇江 28 题解析）（1）法一：由题可知1AOCQ90AOHQCH，AHOQHC，AOHQCH （1 分）OHCH，即H为AQ的中点 （2 分）法二：(01)A，(01)
2、B，OAOB （1 分）又BQx轴，HAHQ （2 分）（2）由（1）可知AHQH，AHRQHP，ARPQ，RAHPQH，RAHPQH （3 分）ARPQ，又ARPQ，四边形APQR为平行四边形 （4 分）2 设214P mm，PQy轴，则(1)Q m，则2114PQm过P作PGy轴，垂足为G，在RtAPG中，22222222111111444APAGPGmmmmPQ平行四边形APQR为菱形 （6 分）（3）设直线PR为ykxb，由OHCH，得22mH，214Pmm，代入得：2021.4mkbkmbm，221.4mkbm，直线PR为2124myxm （7 分）设直线PR与抛物线的公共点为214
3、xx，代入直线PR关系式得：22110424mxxm，21()04xm，解得xm得公共点为214mm，所以直线PH与抛物线214yx只有一个公共点P （8 分）6.如图 13，已知抛物线经过原点O 和 x 轴上另一点A,它的对称轴 x=2 与 x 轴交于点 C，直线 y=-2x-1 经过抛物线上一点B(-2,m)，且与 y 轴、直线 x=2 分别交于点D、E.（1）求 m 的值及该抛物线对应的函数关系式；（2）求证：CB=CE；D 是 BE 的中点；（3）若 P(x，y)是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点P,使得 PB=PE,若存在，试求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由
4、.3（1）点 B(-2,m)在直线 y=-2x-1 上，m=-2(-2)-1=3.（2 分）B(-2,3)抛物线经过原点O 和点 A，对称轴为x=2，点 A 的坐标为(4,0).设所求的抛物线对应函数关系式为y=a(x-0)(x-4).（3 分）将点 B(-2,3)代入上式，得3=a(-2-0)(-2-4)，41a.所求的抛物线对应的函数关系式为)4(41xxy，即xxy241.（6 分）（2）直线 y=-2x-1 与 y 轴、直线 x=2 的交点坐标分别为D(0,-1)E(2,-5).过点 B 作 BGx 轴，与 y 轴交于 F、直线 x=2 交于 G，则 BG直线 x=2，BG=4.在 R
5、tBGC中，BC=522BGCG.CE=5，CB=CE=5.（9 分）过点 E 作 EHx 轴，交 y 轴于 H，则点 H 的坐标为 H(0,-5).又点 F、D 的坐标为 F(0,3)、D(0,-1)，FD=DH=4，BF=EH=2，BFD=EHD=90.DFB DHE（SAS），BD=DE.即 D 是 BE 的中点.（11 分）（3）存在.（12 分）由于 PB=PE，点 P 在直线 CD上，符合条件的点P 是直线 CD与该抛物线的交点.设直线 CD对应的函数关系式为y=kx+b.将 D(0,-1)C(2,0)代入，得021bkb.解得1,21bk.A B C O D E xyx=2G F
6、 H 4 直线 CD对应的函数关系式为y=21x-1.动点 P 的坐标为(x，xx241)，21x-1=xx241.（13 分）解得531x，532x.2511y，2511y.符合条件的点P 的坐标为(53，251)或(53，251).（14 分）(注：用其它方法求解参照以上标准给分.)7.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=32x2+bx+c经过 A（0，4）、B（x1，0）、C（x2，0）三点，且x2-x1=5（1）求b、c的值；（4 分）（2）在抛物线上求一点D，使得四边形BDCE是以 BC为对角线的菱形；（3分）（3）在抛物线上是否存在一点P，使得四边形BPOH 是以 OB为对角线的菱
7、形？若存在，求出点P 的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由（3分）解：（解析）解：（1）解法一：抛物线y=32x2+bx+c经过点 A（0，4），5 c=4 1 分又由题意可知，x1、x2是方程32x2+bx+c=0 的两个根，x1+x2=23b，x1x2=23c=6 2 分由已知得（x2-x1）2=25 又（x2-x1）2=（x2+x1）24x1x2=49b224 49b224=25 解得b=314 3 分当b=314时，抛物线与x轴的交点在x轴的正半轴上，不合题意，舍去b=314 4 分解法二：x1、x2是方程32x2+bx+c=0 的两个根，即方程 2x23bx+12
8、=0 的两个根x=4969b32b，2 分x2x1=2969b2=5，解得b=314 3 分（以下与解法一相同）（2）四边形 BDCE是以 BC为对角线的菱形，根据菱形的性质，点 D 必在抛物线的对称轴上，5 分又y=32x2314x4=32（x+27）2+625 6 分6 抛物线的顶点（27，625）即为所求的点D 7 分（3）四边形BPOH 是以 OB为对角线的菱形，点B 的坐标为（6，0），根据菱形的性质，点P 必是直线x=-3 与抛物线y=32x2-314x-4 的交点，8 分当x=3 时，y=32（3）2314（3）4=4，在抛物线上存在一点P（3，4），使得四边形BPOH为菱形 9
9、 分四边形 BPOH不能成为正方形，因为如果四边形BPOH为正方形，点P 的坐标只能是（3，3），但这一点不在抛物线上 10 分8.已知：如图 14，抛物线2334yx与x轴交于点A，点B，与直线34yxb相交于点B，点C，直线34yxb与y轴交于点E（1）写出直线BC的解析式（2）求ABC的面积（3）若点M在线段AB上以每秒 1 个单位长度的速度从A向B运动（不与AB，重合），同时，点N在射线BC上以每秒 2 个单位长度的速度从B向C运动设运动时间为t秒，请写出MNB的面积S与t的函数关系式，并求出点M运动多少时间时，MNB的面积最大，最大面积是多少？（解析）解：（1）在2334yx中，令0
10、y23304x12x，22x(2 0)A，(2 0)B，1 分7 又点B在34yxb上302b32bBC的解析式为3342yx 2 分（2）由23343342yxyx，得11194xy2220 xy 4 分914C，(2 0)B，4AB，94CD 5 分1994242ABCS 6 分（3）过点N作NPMB于点PEOMBNPEOBNPBEO 7 分BNNPBEEO 8 分由直线3342yx可得：302E，在BEO中，2BO，32EO，则52BE25322tNP，65NPt 9 分1 6(4)2 5Stt2312(04)55Sttt 10 分8 2312(2)55St 11 分此抛物线开口向下，当2t时，125S最大当点M运动 2 秒时，MNB的面积达到最大，最大为125 12 分