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1、1中考数学压轴题及答案40 例28.如图，RtABC的顶点坐标分别为A（0，3），B（21，23），C（1，0），ABC90，BC与 y 轴的交点为D，D 点坐标为（0，33），以点 D 为顶点、y 轴为对称轴的抛物线过点B（1）求该抛物线的解析式；（2）将 ABC沿 AC折叠后得到点B 的对应点 B，求证：四边形 AOCB 是矩形，并判断点 B 是否在（1）的抛物线上；（3）延长 BA 交抛物线于点E，在线段 BE 上取一点 P，过 P 点作 x 轴的垂线，交抛物线于点 F，是否存在这样的点P，使四边形 PADF是平行四边形？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，说明理由解：（1）抛物线的顶点
2、为D（0，33）可设抛物线的解析式为yax2331 分B（21，23）在抛物线上a(21)23323，a3323 分抛物线的解析式为y332x2335 分（2）B（21，23），C（1，0）BC2223121)()(3又 B CBC，OA3，B COA6 分2AC22OCOA 2213)(2AB22BCAC 2232)(1又 ABAB，OC1，ABOC7 分四边形 AOCB是矩形 8 分B C3，OC1点 B的坐标为（1，3）9 分将 x1 代入 y332x233得 y3点 B在抛物线上 10 分（3）存在 11 分理由如下：设直线 AB 的解析式为 ykxb，则32321bbk解得33bk直
3、线 AB 的解析式为 y33 x12 分P、F分别在直线AB 和抛物线上，且PFAD设 P（m，33 m），F（m，332m233）PF(33m)(332m233)332m2m33323AD333 332若四边形 PADF是平行四边形，则有PFAD即332m2m3332332解得 m10（不合题意，舍去），m22313 分当 m23时，33 m3233235存在点 P（23，235），使四边形PADF是平行四边形 14 分29.如图 1，平移抛物线F1：yx2后得到抛物线F2已知抛物线F2经过抛物线F1的顶点 M 和点 A（2，0），且对称轴与抛物线F1交于点 B，设抛物线F2的顶点为 N（1
4、）探究四边形ABMN 的形状及面积（直接写出结论）；（2）若将已知条件中的“抛物线F1：yx2”改为“抛物线 F1：yax2”（如图 2），“点 A（2，0）”改为“点A（m，0）”，其它条件不变，探究四边形ABMN 的形状及其面积，并说明理由；（3）若将已知条件中的“抛物线F1：yx2”改为“抛物线F1：yax2c”（如图3），“点 A（2，0）”改为“点A（m，c）”其它条件不变，求直线AB 与 y轴的交点C的坐标（直接写出结论）解：（1）四边形 ABMN 是正方形，其面积为21 分4（2）四边形 ABMN 是菱形当 m0 时，四边形 ABMN 的面积为43am；当 m0 时，四边形ABM
5、N 的面积为-43am2 分（说明：如果没有说理过程，探究的结论正确的得2 分）理由如下：平移抛物线F1后得到抛物线F2，且抛物线F2经过原点 O设抛物线 F2的解析式为yax2bx抛物线 F2经过点 A（m，0），am2bm0由题意可知 m0，bam抛物线 F2的解析式为yax2amx3 分ya(x2m)242am抛物线 F2的对称轴为直线x2m，顶点 N（2m，42am）4 分抛物线 F2的对称轴与抛物线F1的交点为 B，点 B 的横坐标为2m点 B 在抛物线 F1：yax2上yBa(2m)242am5 分设抛物线 F2的对称轴与x 轴交于点 P，如图 1a0，BP42am顶点 N（2m，
6、42am），NP|42am|42am5BPNP6 分抛物线是轴对称图形，OPAP四边形 ABMN 是平行四边形 7 分BN 是抛物线 F2的对称轴，BNOA四边形 ABMN 是菱形 8 分BNBPNP，BN22am四边形 ABMN 的面积为21OABN21|m|22am当 m0 时，四边形ABMN 的面积为21m22am43am9 分当 m0 时，四边形ABMN 的面积为21(m)22am43am 10 分（3）点 C的坐标为（0，22amc）（参考图2）30.如图，抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上求点M，使 MOB 的面
7、积是 AOB 面积的 3 倍；（3）连结 OA，AB，在 x 轴下方的抛物线上是否存在点N，使 OBN与 OAB相似？若存在，求出N 点的坐标；若不存在，说明理由6解：（1）由题意，可设抛物线的解析式为ya(x2)21 抛物线经过原点，a(02)210，a41抛物线的解析式为y41(x2)2141x2x3 分（2）AOB和所求 MOB 同底不等高，若SMOB3SAOB，则 MOB 的高是AOB 高的 3 倍，即 M 点的纵坐标是 35 分41x2x3，整理得 x24x120，解得 x16，x22满足条件的点有两个：M1(6，3)，M2(2，3)7 分（3）不存在 8 分理由如下：由抛物线的对称
8、性，知AOAB，AOBABO若OBN OAB，则 BONBOABNO设ON交抛物线的对称轴于A点，则A(2，1)直线 ON 的解析式为y21x由21x41x2x，得 x10，x26N(6，3)7过点 N 作 NCx 轴于 C在 RtBCN 中，BC642，NC3NB2232 13 OB4，NBOB，BONBNO，OBN 与OAB 不相似同理，在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的N点在 x 轴下方的抛物线上不存在点N，使 OBN 与OAB 相似 10 分31.如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为(2，0)，连结 OA，将线段 OA绕原点 O顺时针旋转 120，得到线段OB（1）求点 B 的坐
9、标；（2）求经过 A、O、B 三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使 BOC的周长最小？若存在，求出点 C的坐标；若不存在，请说明理由（4）如果点 P 是（2）中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方，那么PAB是否有最大面积？若有，求出此时P 点的坐标及 PAB 的最大面积；若没有，请说明理由（1）如图 1，过点 B 作 BMx 轴于 M由旋转性质知OBOA28 AOB120，BOM60 OMOBcos60 2211，BMOBsin60 2233点 B 的坐标为(1，3)1 分（2）设经过 A、O、B 三点的抛物线的解析式为yax2bxc抛物线过原点，c03024
10、baba解得33233ba所求抛物线的解析式为y33x2332x3 分（3）存在 4 分如图 2，连接 AB，交抛物线的对称轴于点C，连接 OC OB的长为定值，要使BOC的周长最小，必须BCOC的长最小点 A 与点 O关于抛物线的对称轴对称，OCACBCOCBCACAB由“两点之间，线段最短”的原理可知：此时BCOC最小，点 C的位置即为所求设直线 AB 的解析式为ykxm，将 A(2，0)，B(1，3)代入，得302mkmk解得33233mk9直线 AB 的解析式为y33x332抛物线的对称轴为直线x3323321，即 x1将 x 1 代入直线 AB 的解析式，得y33(1)33233点 C的坐标为(1，33)6 分（4）PAB 有最大面积 7 分如图 3，过点 P 作 y 轴的平行线交AB 于点 DSPABSPADSPBD21(yDyP)(xBxA)21(33x332)(33x2332x)(12)23x223x323(x21)2839当 x21时，PAB的面积有最大值，最大值为8398 分此时 yP33(21)2332(21)43此时 P 点的坐标为(21，43)9 分10