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1、-1-潍坊市高考模拟考试数学一、单项选择题：本大题共8 小题，每小题 5 分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 U1，2，3，4，5，6，7，A2，3，4，5，B2，3，6，7，则 A(?UB)（）A.1，4B.1，4，5C.4，5D.6，7【答案】C【解析】【分析】根据补集与交集的定义，计算即可【详解】集合U1，2，3，4，5，6，7，B2，3，6，7，所以?UB1，4，5，又 A2，3，4，5，所以 A(?UB)4，5故选：C【点睛】本题考查了集合的补集和交集运算，基础题2.若复数1aizi在复平面内对应的点在第二象限内，则实数a 的值可以是（）
2、A.1B.0C.1D.2【答案】B【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部小于0 且虚部大于0 求解 a 的范围即可.【详解】11111122aiiaiaaziiii又因为复数在复平面内对应的点在第二象限内，-2-102102aa，得 1 a1实数 a 的值可以是0故选：B【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题3.甲、乙、丙三人中，一人是律师，一人是医生，一人是记者已知丙的年龄比医生大；甲的年龄和记者不同；记者的年龄比乙小，根据以上情况，下列判断正确的是（）A.甲是律师，乙是医生，丙是记者B.甲是医生，乙是记者，丙是律师C.甲是医生，乙
3、是律师，丙是记者D.甲是记者，乙是医生，丙是律师【答案】C【解析】【分析】由题意易得丙是记者，由丙的年龄比医生大，得到乙不是医生，从而乙是律师，甲是医生.【详解】由甲的年龄和记者不同，记者的年龄比乙小，得到丙是记者，从而排除B 和 D；由丙的年龄比医生大，得到乙不是医生（若乙是医生的话与记者的年龄比乙小相矛盾），从而乙是律师，甲是医生故选：C.【点睛】本题考查简单的合情推理，考查推理论证能力、总结归纳能力，考查化归与转化思想，是基础题.4.以抛物线2:4Exy的焦点为圆心，且与E 的准线相切的圆的方程为（）A.2214xyB.2214xyC.2214xyD.2214xy【答案】D【解析】-3-
4、【分析】根据抛物线的焦点和准线得到圆心和半径，进一步到圆的方程.【详解】抛物线2:4Exy的焦点为0,1，准线方程为1y，圆与 E 的准线相切，则2r=，故圆方程为：2214xy.故选：D.【点睛】本题考查了抛物线的焦点和准线，圆方程，意在考查学生的计算能力和转化能力.5.设函数 f（x）为奇函数，且当x0 时，f（x）excosx，则不等式f（2x1）+f（x 2）0 的解集为()A.（，1）B.（，13）C.（13，+）D.（1，+）【答案】D【解析】【分析】由函数的解析式求出其导数，分析可得f（x）在 0，+）上为增函数，结合函数的奇偶性分析可得 f（x）在 R 上为增函数，据此可得原不
5、等式等价于2x12 x，解出 x 的取值范围，即可得答案【详解】由题知，当x0 时，f（x）excosx，此时有fxex+sinx0，则 f（x）在 0，+）上为增函数，又由 f（x）为奇函数，则f（x）在区间（，0上也为增函数，故 f（x）在 R 上为增函数.由 f（2x1）+f（x2）0，可得 f（2x1）f（x2），而函数 f（x）为奇函数，可得到f（2x1）f（2x），又 f（x）在 R 上为增函数，有2x12x，解得 x1，即不等式的解集为（1，+）.故选：D【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及利用导数分析函数的单调性，属于中档题6.周髀算经是中国古代重要的数学著作，
6、其记载的“日月历法”曰：“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁，生数皆终，-4-万物复苏，天以更元作纪历”，某老年公寓住有20 位老人，他们的年龄（都为正整数）之和恰好为一遂，其中年长者已是奔百之龄（年龄介于90 至 100），其余 19 人的年龄依次相差一岁，则年长者的年龄为()A.94B.95C.96D.98【答案】B【解析】【分析】设年纪最小者年龄为n，年纪最大者为m，m90，100，由题可得n+（n+1）+（n+2）+（n+18）+m19n+171+m1520，解出 n 的取值范围，根据年龄为整数可得n 的取值范围，再代入可得m 的值【
7、详解】根据题意可知，这20 个老人年龄之和为1520，设年纪最小者年龄为n，年纪最大者为 m，m90,100，则有 n+（n+1）+（n+2）+（n+18）+m19n+171+m1520，则有 19n+m 1349，则 m 134919n，所以 901349 19n100，解得14565661919n，因为年龄为整数，所以n66，则 m1349 1966 95.故选：B【点晴】本题考查阅读理解能力，涉及等差数列的性质，属于中档题7.在四面体 ABCD 中，ABC 和BCD 均是边长为1 的等边三角形，已知四面体ABCD 的四个顶点都在同一球面上，且AD 是该球的直径，则四面体ABCD 的体积为
8、()A.224B.212C.26D.24【答案】B【解析】【分析】易得出AB AC BC BD CD 1，ABD ACD 90，设球心为O，则 OB OC-5-OD22，BOAD，BOOC，从而 BO平面 ACD，由此能求出四面体ABCD 的体积【详解】在四面体ABCD 中，ABC 和BCD 均是边长为1 的等边三角形，四面体 ABCD 的四个顶点都在同一球面上，且AD 是该球的直径，设球心为O，则 O 为 AD的中点，ABACBCBDCD1，ABD ACD 90，OBOCOD22，BOAD，BOOC，BO平面 ACD，四面体ABCD 的体积为：VBACD11122223322212ACDSB
9、O故选：B【点晴】本题考查四面体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属中档题8.已知 O 为坐标原点，双曲线C：2222100 xyabab，的右焦点为F，过点 F 且与 x轴垂直的直线与双曲线C 的一条渐近线交于点A（点 A 在第一象限），点 B 在双曲线C 的渐近线上，且BFOA，若0AB OB，则双曲线C 的离心率为（）A.2 33B.2C.3D.2-6-【答案】A【解析】【分析】设双曲线的半焦距为c，利用题设条件分别求出A、B 的坐标，再利用0AB OB得到 a 与 c的关系式，即可求出离心率【详解】如图所示，设双曲线的半焦距为c，渐近线方
10、程为：ybxa，则点 F（c，0），A（c，bca），设点 B（x0，0bxa），BFOA，OABFkk，即00bxbaaxc，解得：x02c，所以(,)22cbcBa322cbcABa，22cbcOBa，又0AB OB，2222344cb ca0，即 a23b2c2a2+b2，a23（c2 a2），即 3c24a2，所以离心率e2 33ca故选：A【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程，考查了求双曲线的离心率，考查了平面向量的数量积的坐标运算，属于基础题二、多项选择题：本大题共4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5 分，选对但不全
11、的得3 分，有选错的得 0 分.-7-9.我国是世界第一产粮大国，我国粮食产量很高，整体很安全按照14 亿人口计算，中国人均粮食产量约为950 斤比全球人均粮食产量高了约250 斤如图是中国国家统计局网站中20102019 年，我国粮食产量（千万吨）与年末总人口（千万人）的条形图，根据如图可知在 2010 2019 年中（）A.我国粮食年产量与年末总人口均逐年递增B.2011 年我国粮食年产量的年增长率最大C.2015 年 2019 年我国粮食年产量相对稳定D 2015 年我国人均粮食年产量达到了最高峰【答案】BCD【解析】【分析】仔细观察20102019 年，我国粮食产量（千万吨）与年末总人
12、口（千万人）的条形图，利用条形图中的数据直接求解【详解】由中国国家统计局网站中20102019 年，我国粮食产量（千万吨）与年末总人口（千万人）的条形图，知：对于 A，我国粮食年产量在2010 年至 2015 年逐年递增，在2015 年至 2019 年基本稳定在66千万吨左右，2016 年，2018 年略低；而我国年末总人口均逐年递增，故A 错误；对于 B，由粮食产量条形图得2011 年我国粮食年产量的年增长率最大，约为 5%，故 B 正确；对于 C，在 2015 年至 2019 年基本稳定在66 千万吨以上，故C 正确；对于 D，2015 年我国人均粮食年产量达到了最高峰，约为0.48 吨/
13、人，故D 正确故选：BCD【点睛】本题主要考查条形图，考查学生的数据分析和运算求解能力，是基础题10.若1ab，0c则下列不等式中一定成立的是（）-8-A.11ababB.11baabC.()0ln baD.ccabba【答案】BD【解析】【分析】对于 A：构造函数1yxx，由函数在(,1)上的单调性进行比较；对于 B：构造函数1yxx，由函数在(,1)上 的单调性进行比较；对于 C：由于ab，则0ba，但不确定ba与 1 的大小关系，无法判断大小；对于 D：易知1ab，01ba，由指数函数的单调性进行判断即可.【详解】由函数1yxx在(,1)上为增函数可知，当1ab时，11abab，故选项
14、A 错误；由函数1yxx在(,1)上为增函数可知，当1ab时，11abab，即11baab，故选项B 正确；由于ab，则0ba，但不确定ba与 1的大小关系，故()ln ba与 0 的大小关系不确定，故选项C 错误；由1ab可知，1ab，01ba,而0c，则10ccabba，故选项D 正确故选：BD【点睛】本题考查实数的大小比较，考查函数思想的运用，属于基础题11.在单位圆O：x2+y2 1 上任取一点P（x，y），圆 O 与 x 轴正向的交点是A，设将 OA 绕原点 O 旋转到 OP 所成的角为 ，记 x，y 关于 的表达式分别为xf（），yg（），则下列说法正确的是（）A.xf（）是偶函数
15、，yg（）是奇函数B.xf（）在22，为增函数，yg（）在22，为减函数-9-C.f（）+g（）1对于02，恒成立D.函数 t2f（）+g（2）的最大值为3 22【答案】AC【解析】【分析】A，由题可知，()cosxf，()sinyg，根据正弦函数和余弦函数的奇偶性，可判断选项A；B，根据正弦函数和余弦函数的单调性，可判断选项B；C，先利用辅助角公式可得()()2sin()4fg，再结合正弦函数的值域即可得解；D，2cossin 2t，0，2，先对函数t求导，从而可知函数t的单调性，进而可得当1sin2，3cos2时，函数t取得最大值，结合正弦的二倍角公式，代入进行运算即可得解【详解】解：由题
16、可知，()cosxf，()sinyg，即A正确；()cosxf在,0)2上为增函数，在0,2上为减函数；()sinyg在,22上为增函数，即B 错误；()()cossin2sin()4fg，0,2，3,444，2 sin()1,24，即C正确；函数2()(2)2cossin2tfg，0,2则22sin2cos22sin2(1 2sin)2(2sin1)(sin1)t，令0t，则11sin2；令0t，则1sin12，函数t在06,和5,26上单调递增，在5,66上单调递减，当6即1sin2，3cos2时，函数t取得极大值，为3133 3222222t，-10-又当2即sin0，cos1时，2 1
17、2012t，所以函数t的最大值为3 32，即D错误故选：AC【点睛】本题考查正弦函数、余弦函数的单调性和奇偶性，三角恒等变换，利用导数求函数的单调性与最值等，考查学生灵活运用知识的能力、推理论证能力和运算能力，属于中档题12.如图，平面 平面 l，A，C 是 内不同的两点，B，D 是 内不同的两点，且A，B，C，D?直线 l，M，N 分别是线段AB，CD 的中点下列判断正确的是（）A.若 AB/CD，则 MN/lB.若 M，N 重合，则AC/lC.若 AB 与 CD 相交，且AC/l，则 BD 可以与 l 相交D.若 AB 与 CD 是异面直线，则MN 不可能与平行【答案】BD【解析】【分析】
18、由若两两相交的平面有三条交线，交线要么相交于一点，要么互相平行判定A、B、C；用反证法证明D【详解】解：若/ABCD，则A、B、C、D四点共面，当ABCD时，平面、两两相交有三条交线，分别为AC、BD、l，则三条交线交于一点O，则l与平面交于点O，MN与l不平行，故A错误；若M，N两点重合，则/ACBD，A、B、C、D四点共面，平面、两两相交有三条交线，分别为AC、BD、l，由/ACBD，得/ACBDl，故 B 正确；-11-若AB与CD相交，确定平面，平面、两两相交有三条交线，分别为AC、BD、l，由/ACl，得/ACBDl，故C错误；当AB，CD是异面直线时，如图，连接BC，取BC中点G，
19、连接MG，NG则/MGAC，AC，MG，则/MG，假设/MNl，l，MN，/MN，又 MNMGM，平面/MNG，同理可得，平面/MNG，则/，与平面平面l矛盾假设错误，MN不可能与l平行，故D正确故选：BD【点睛】本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，属于中档题三、填空题：本大题共4 小题，每小题 5 分，共 20分.13.如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态.已知两条绳上的拉力分别是12,FF，且12,FF与水平夹角均为45，1210 2NFF，则物体的重力大小为 _ N.【答案】20【解析】【分析】根据力的平衡有12|=|F+F|G
20、,两边平方后可求出|G.-12-【详解】由题意知12|=|F+F|G.12,FF的夹角为2.所以2222121122|+2|cos+|2GFFFF FF.所以2|200+0+200=400G.所以|20G.故答案为:20.【点睛】向量的数量积的两个应用：(1)计算长度或模长，通常用|aa a；(2)计算夹角，cos,|a ba bab.特别地，两非零向量,a b垂直的充要条件时=0a b.14.已知50245sin，则 tan _【答案】3【解析】【分析】由题可知(,)44 4，所以 cos()04，利用同角三角函数的平方关系可求得其值，再采用拼凑角的方法，sinsin()44，并结合正弦的两
21、角和公式求出其值，再一次利用平方关系，求出cos的值，最后利用商数关系即可得解【详解】解：5sin()45，且(0,)2，(,)444，22 5cos()1()445sin，223 53 10sinsin()sin()cos()442442510，(0,)2，210cos110sin，sintan3cos故答案为：3【点睛】本题考查三角恒等变换的混合运算，观察角之间的联系，使用拼、凑角是解题的关键，考查学生的运算能力，属于基础题-13-15.植树造林，绿化祖国某班级义务劳动志愿者小组参加植树活动，准备在一抛物线形地块上的 ABCDGFE 七点处各种植一棵树苗，且关于抛物线的如图所示，其中 A、
22、B、C 分别与 E、F、G 关于抛物线的对称轴对称，现有三种树苗，要求每种树苗至少种植一棵，且关于抛物线的对称轴对称的两点处必须种植同一种树苗，则共有不同的种植方法数是_（用数字作答）【答案】36【解析】【分析】先选四个位置上的重复树苗有13C种方法，再利用相同元素的排列问题（除序法）即可解决问题【详解】解：由题意对称相当于3 种树苗种A，B，C，D四个位置，有且仅有一种树苗重复，有13C种选法；在四个位置上种植有442212AA种方法，则由乘法原理得131236C种方法故答案为：36【点睛】本题考查排列组合，计数原理的应用，本题运用除序法，可以避免讨论，简化计算属于中档题16.已知函数321
23、2311lnxxfxxxx，则 x1，e时，f（x）的最小值为 _；设g（x）f（x）2f（x）+a 若函数 g（x）有 6 个零点，则实数a 的取值范围是 _【答案】(1).4(2).（0，14）【解析】【分析】-14-根据各段函数的单调性分别求出各段的最小值或者下确界，即可求出 1x，e 时，()f x 的最小值；令()tf x，根据题意再结合函数()f x 的图象，以及2ytt的图象即可求出实数a的取值范围【详解】解：当1x，e 时，()f xlnx，此时函数在区间上单调递增，故此时函数最小值为110fln，当 1x，1)时，32()231f xxx，则2()660fxxx时，1x（舍)
24、或 0，且有()fx 在(1,0)上单调递增，在(0,1)上单调递减，因 为123141ff，故函数()f x 在 1，e 上的最小值为4；令()tf x，()0g x即2tta，作出函数()yf x的图象，如图所示：直线yt与函数()yf x的图象最多只有三个交点，所以01t，即说明方程2tta 有两个(0,1)内的不等根，亦即函数2ytt在(0,1)内的图象与直线ya有两个交点，因为2211()24yttt，根据2ytt的图象可知，104a，即实数a的取值范围为104a故答案为：4；1(0,)4-15-【点睛】本题主要考查分段函数的最值求法，以及根据函数的零点个数求参数范围，考查学生的转化
25、能力和数形结合能力，属于较难题四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知2 33aA，（1）若4B，求 b；（2）求 ABC 面积的最大值【答案】（1）22；（2）33【解析】【分析】（1）根据题意利用正弦定理可求b 的值；（2）由余弦定理和基本不等式可求bc 的最大值，进而可求ABC 面积的最大值【详解】解：（1）4B，2 3,3aA，由正弦定理sinsinabAB，可得22 3sin22 2sin32aBbA（2）2 3,3aA，由余弦定理知222222cos2abcbcAbcb
26、cbcbcbc，212bca，当且仅当bc取“”；-16-ABC面积的最大值为113sin123 3222bcA【点睛】本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，也考查了基本不等式与三角形面积的计算问题，属于基础题18.已知数列na为正项等比数列，11a；数列nb满足21 122333,ba ba ba b323 2nnna bn.（1）求na；（2）求11nnb b的前n项和nT.【答案】（1）12nna-=；（2）21nnTn【解析】【分析】（1）首先令1n和2n求出22a，从而得到公比212aqa，再求通项公式即可.（2）首先根据已知求出21nbn，再利用裂项求和即可得到答案.【详解】（1）令
27、1n，得11323 21a b，所以11b，令2n，得21 1223(43)27a ba b，所以226a b，又23b，所以22a，设数列na的公比为q，则212aqa，所以12nna-=；（2）当2n时，11 1221132(1)32nnna ba babn又331 1223(23)2nnna ba ba bbna，113(23)23(25)2(21)2nnnnna bnnn，因为12nna-=，所以21nbn，1n时也成立，所以21nbn.-17-111111()(21)(21)2 2121n nb bnnnn，所以111111(1)()()23352121nTnn111111(1)()
28、23213521nn11(1)22121nnn.【点睛】本题第一问考查等比数列的通项公式，第二问考查由前n项和求通项，同时考查了裂项求和，属于中档题.19.请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答ABBC，FC 与平面 ABCD 所成的角为6，ABC3如图，在四棱锥PABCD 中，底面ABCD 是菱形，PA平面 ABCD，且 PAAB2，PD的中点为F（1）在线段AB 上是否存在一点G，使得 AF/平面 PCG？若存在，指出G 在 AB 上的位置并给以证明；若不存在，请说明理由；（2）若 _，求二面角FACD 的余弦值【答案】（1）存在，G 是线段 AB 的中点，证明见解析；（2
29、）详见解析【解析】【分析】（1）设 PC 的中点为H，连结 FH，由题意得AGHF 为平行四边形，则AFGH，由此能证明在线段 AB 上存在中点G，使得 AF平面 PCG（2）选择 ABBC，推导出 AB，AD，AP 彼此两两垂直，以AB，AD，AP 分别为 x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角FACD 的余弦值选择FC 与平-18-面 ABCD 所成的角为6，取 BC 中点 E，连结 AE，取 AD 的中点 M，连结 FM，CM，则 FM PA，且 FM1，FM平面 ABCD，FC 与平面 ABCD 所成角为 FCM，6FCM，推导出AE，AD，AP 彼此两两垂直，以AE
30、、AD、AP 分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角FACD 的余弦值选择ABC3，推导出PABC，取 BC中点 E，连结 AE，推导出AE，AD，AP 彼此两两垂直，以AE、AD、AP 分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角FAC D 的余弦值【详解】（1）在线段AB 上存在中点G，使得 AF平面 PCG证明如下：如图所示：设 PC 的中点为H，连结 FH，因为/FHCD，12FHCD，/AGCD，12AGCD，所以/,FHAG FHAG所以四边形AGHF 为平行四边形，则 AFGH，又 GH?平面 PGC，AF?平面 PGC，AF平面
31、 PGC（2）选择 AB BC：PA平面 ABCD，PA BC，由题意知AB，AD，AP 彼此两两垂直，以 AB，AD，AP 分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，-19-PAAB2，则 A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），F（0，1，1），P（0，0，2），AF（0，1，1），CF（2，1，1），设平面 FAC 的一个法向量为（x，y，z），020AFyzCFxyz，取 y1，得（1，1，1），平面 ACD 的一个法向量为v（0，0，1），设二面角FACD 的平面角为 ，则 cos33vv，二面角FACD 的余弦值为33选择 FC 与平面 ABCD
32、所成的角为6：PA平面 ABCD，取 BC 中点 E，连结 AE，取 AD 的中点 M，连结 FM，CM，则 FMPA，且 FM 1，FM平面 ABCD，FC 与平面 ABCD 所成角为 FCM，6FCM，在 RtFCM 中，CM3，又 CMAE，AE2+BE2AB2，BCAE，AE，AD，AP 彼此两两垂直，-20-以 AE、AD、AP 分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，PAAB2，A（0，0，0），B（3，1，0），C（3，1，0），D（0，2，0），E（3，0，0），F（0，1，1），P（0，0，2），AF（0，1，1），CF（3，0，1），设平面 EAC 的一个法向量为m（x
33、，y，z），则030m AFyzm CFxz，取 x3，得m（3，3，3），平面 ACD 的一个法向量为：n（0，0，1），设二面角FACD 的平面角为 ，则 cos217m nmn二面角FACD 的余弦值为217选择 ABC3：PA平面 ABCD，PABC，取 BC 中点 E，连结 AE，底面 ABCD 是菱形，ABC60，ABC 是正三角形，E 是 BC 的中点，BCAE，AE，AD，AP 彼此两两垂直，以 AE、AD、AP 分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，-21-PAAB2，A（0，0，0），B（3，1，0），C（3，1，0），D（0，2，0），E（3，0，0），F（0，1，
34、1），P（0，0，2），AF（0，1，1），CF（3，0，1），设平面 EAC 的一个法向量为m（x，y，z），则030m AFyzm CFxz，取 x3，得m（3，3，3），平面 ACD 的法向量n（0，0，1），设二面角FACD 的平面角为 ，则 cos 217m nmn二面角FACD 的余弦值为217【点睛】本题主要考查满足线面平行的点是否存在的判断与求法，二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等，还考查了运算求解能力、逻辑推理能力，属于中档题20.已知函数f（x）1xealnxg xxx，（1）讨论函数f（x）的单调性；-22-（2）证明：a1 时，f（x）+g（
35、x）（12ex）lnxe【答案】（1）详见解析；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）对()f x 求导后，再对a 分类讨论即可得出函数的单调性（2）a1 时，将所证不等式转化为exex+1elnxx，令 F（x）exex+1，G（x）elnxx，分别根据导数求出()F x的最小值和()G x的最大值即可证明不等式成立.【详解】（1）f（x）1xalnx，（x（0，+）()fx2211aaxxxx当 a0 时，()fx0，函数 f（x）在 x（0，+）上单调递减a0 时，由()fx0，得10 xa，由()fx0，得1xa所以函数()f x 在（0，1a）上单调递减，在（1a，+）上单调递增（2
36、）证明：a1 时，要证f（x）+g（x）（12ex）lnxe即要证：21xeexxxlnxe0?exex+1elnxxx（0，+）令 F（x）exex+1，F（x）exe，当x（0，1）时，F（x）0，此时函数F（x）单调递减；当x（1，+）时，F（x）0，此时函数F（x）单调递增可得 x1 时，函数F（x）取得最小值，F（1）1令 G（x）elnxx，G（x）21elnxx，当0 xe时，()0Gx，此时()G x为增函数，当xe时。()0Gx，此时()G x为减函数所以xe时，函数G（x）取得最大值，G（e）1x1 与xe不同时取得，因此F（x）G（x），即 exex+1elnxxx（0，
37、+）-23-故原不等式成立【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性与最值、分类讨论方法、等价转化方法，考查了利用导数证明不等式，属于中档题21.区块链技术被认为是继蒸汽机、电力、互联网之后，下一代颠覆性的核心技术区块链作为构造信任的机器，将可能彻底改变整个人类社会价值传递的方式，2015 年至 2019 年五年期间，中国的区块链企业数量逐年增长，居世界前列现收集我国近5 年区块链企业总数量相关数据，如表年份20152016201720编号1234企业总数量y（单位：千个）2.1563.7278.30524注：参考数据5555111174.691312.76110.98040.457iiiii
38、iiiiiyx yzx z，（其中 zlny）附：样本（xi，yi）（i1，2，n）的最小二乘法估计公式为121?niiiniixxyybaybxxx，（1）根据表中数据判断，y a+bx 与 ycedx（其中 e2.71828，为自然对数的底数），哪一个回归方程类型适宜预测未来几年我国区块链企业总数量？（给出结果即可，不必说明理由）（2）根据（1）的结果，求y 关于 x 的回归方程（结果精确到小数点后第三位）；（3）为了促进公司间的合作与发展，区块链联合总部决定进行一次信息化技术比赛，邀请甲、乙、丙三家区块链公司参赛比赛规则如下：每场比赛有两个公司参加，并决出胜负；每场比赛获胜的公司与未参加
39、此场比赛的公司进行下一场的比赛；在比赛中，若有一个公司首先获胜两场，则本次比赛结束，该公司就获得此次信息化比赛的“优胜公司”，已知在每场比赛中，甲胜乙的概率为13，甲胜丙的概率为35，乙胜丙的概率为12，请通过计算说明，哪两个公司进行首场比赛时，甲公司获得“优胜公司”的概率最大？【答案】（1）选 y cedx；（2）0.7520.060 xye；（3）甲与丙两公司进行首场比赛时，甲公司获-24-得“优胜公司”的概率大【解析】【分析】（1）直接由表中数据可得选择回归方程ycedx，适宜预测未来几年我国区块链企业总数量；（2）对 ycedx两边取自然对数，得lnylnc+dx，转化为线性回归方程求
40、解；（3）对于首场比赛的选择有以下三种情况：A、甲与乙先赛；B、甲与丙先赛；C、丙与乙先赛，由已知结合互斥事件与相互独立事件的概率计算公式分别求得甲公司获得“优胜公司”的概率得结论【详解】（1）选择回归方程ycedx，适宜预测未来几年我国区块链企业总数量；（2）对 ycedx两边取自然对数，得lnylnc+dx，令 zlny，alnc，bd，得 za+bx由于5115iix，51135iixx，5112.1965iizz，5152221540.4575 32.19655535iiiiix zx zbxx0.752，2.1960.75230.060azb xz 关于 x 的回归方程为0.7520
41、.060zx，则 y 关于 x 的回归方程为0.7520.060 xye；（3）对于首场比赛的选择有以下三种情况：A、甲与乙先赛；B、甲与丙先赛；C、丙与乙先赛由于在每场比赛中，甲胜乙的概率为13，甲胜丙的概率为35，乙胜丙的概率为12，则甲公司获胜的概率分别是：P（A）131311113113111353523325345；P（B）31311331139111535325523525；-25-P（C）131113112532355由于913125455，甲与丙两公司进行首场比赛时，甲公司获得“优胜公司”的概率大【点睛】本题主要考查线性回归方程的求法，互斥事件与相互独立事件概率的求法，还考查了
42、分析问题运算求解的能力，属于中档题22.已知椭圆2222:10 xyCabab过点2,1P，12,FF分别为椭圆C 的左、右焦点且121PFPF.（1）求椭圆C 的方程；（2）过 P 点的直线1l与椭圆 C 有且只有一个公共点，直线2l平行于 OP（O 为原点），且与椭圆 C 交于两点A、B，与直线2x交于点 M（M 介于 A、B 两点之间）.（i）当PAB面积最大时，求2l的方程；（ii）求证：PA MBPB MA，并判断12,ll，,PA PB的斜率是否可以按某种顺序构成等比数列.【答案】（1）22182xy；（2）（i）122yx；（ii）证明见解析，不可能构成等比数列.【解析】【分析】
43、（1）设1,0Fc，2,0Fc.求出12,PF PF的坐标，根据121PFPF，求出c.把点2,1P代入椭圆方程，结合222abc，求出22,ab，即得椭圆C 的方程；-26-（2）（i）设2l方程为12yxt，2212,)(A xyB xy.把直线2l的方程代入椭圆方程，由韦达定理、弦长公式求出AB.由点到直线的距离公式求出点P 到2l的距离d，则12PABSAB d，根据基本不等式求面积的最大值，即求2l的方程；（ii）要证结论成立，只须证明|PAPBMAMB，即证直线2x为APB的平分线，转化成证明0PAPBkk.又1l与 C 有一个公共点，即1l为椭圆的切线，可求121|2xlky，又
44、212lk.由题意12，12，PAk，PAk四个数按某种顺序成等比数列，推出矛盾，故不可能构成等比数列.【详解】（1）设1,0Fc，2,0Fc，则12,1PFc，22,1PFc.212411PFPFc，6c.又2,1P在椭圆上，故22411ab，又226ab，解得28a，22b，故所求方程为22182xy.（2）（i）由于12OPk，设2l方程为12yxt，2212,)(A x yB xy.由2212182yxtxy，消 y 整理得222240 xtxr，12212222244404xxtx xttt，则212121|144ABxxx x-27-2225544(24)16422ttt25 4t
45、.又点 P 到2l的距离2|2|5112ttd,212|5425PABtSt22(4)tt22(4)22tt.当且仅当224tt，224t，即22t时，等号成立.故直线 AB 的方程为：122yx.（）要证结论成立，只须证明：|PAPBMAMB，由角平分线性质即证：直线2x为APB的平分线，转化成证明：0PAPBkk.因为112121122PPByykkxx1221121112122222xtxxtxxx121212(2)4(1)22x xtxxtxx22212242(2)4(1)44440(2)(2)(2)(2)tt ttttxxxx因此结论成立.又1l与 C 有一个公共点，即1l为椭圆的切线，由22182xy得22124yx令0 x，0y，-28-则2124yx，22121324224xxyxx所以21|2xy，所以112lk，故所研究的4 条直线的斜率分别为12，12，PAk，PAk，若这四个数成等比数列，且其公比记为q，则应有1q或21q，或31q.因为21q不成立，所以1q，而当1q时，12PAk，12PBk，此时直线PB 与1l重合，不合题意，故1l，2l，PA，PB 的斜率无论怎样排序都不可能构成等比数列.【点睛】本题考查椭圆的方程，考查弦长公式、点到直线的距离公式、基本不等式和等比数列等知识，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，综合性强，属于难题.