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1、第 1 页 共 22 页2020 届山东省潍坊高密市高三模拟数学试题一一、单选题1已知集合0,1,2,3A，2|230Bx xx，则AB（）A(1,3)B(1,3C(0,3)D(0,3【答案】B【解析】求出A与B中不等式的解集，确定出A与B，求出A与B的并集【详解】解：集合0A，1，2，3，2|230(1,3)Bx xx，所以，AB(1,3故选：B【点睛】此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键2已知i为虚数单位,复数z满足12z ii,则 z的共轭复数为（）A2iB12iC2iD2i【答案】C【解析】将12z ii【详解】解:因为12z ii,所以221 22221iiiiz
2、iii,所以其共轭复数为2i故选:C【点睛】本题考查复数的除法运算,共轭复数的概念,是基础题.3已知两个力1(1,2)F,2(2,3)F作用于平面内某静止物体的同一点上,为使该物体仍保持静止,还需给该物体同一点上再加上一个力3F,3F（）A1,5B1,5C5,1D5,1第 2 页 共 22 页【答案】A【解析】根据力的平衡条件下,合力为0,即可根据向量的坐标运算求得3F【详解】解:根据力的合成可知12(1 2,23)(1,5)FF,因为物体保持静止即合力为0,则1230FFF,即31,5F故选:A【点睛】本题考查了向量的运算在物理中的简单应用,静止状态的条件应用,属于基础题.4若sin5 co
3、s(2)，则tan2()A53B53C52D52【答案】C【解析】由题意利用同角三角函数的基本关系、诱导公式，求得tan，再利用倍角公式求得tan2的值【详解】sin5 cos(2)，sin5 cos，得tan5，222tan2 55tan21tan215.故选：C【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式，倍角公式的应用，属于基础题5函数cosyxx的大致图象是（）AB第 3 页 共 22 页CD【答案】B【解析】由于cos,cosfxxxfxxx，fxfx，且fxfx，故此函数是非奇非偶函数，排除,A C；又当2x时，满足cosxxx，即fx的图象与直线yx的交点中有一个点的横坐
4、标为2，排除D，故选 B【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,xxxx时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除6已知0 x,0y,且191xy,则xy的最小值为（）A100 B 81 C36 D9【答案】C【解析】根据0 x,0y,且191xy,利用基本不等式有19192xyxy,整理可得36xy,验证取等的情况即可.【详解】解:已知0 x,0y,且191x
5、y,所以19192xyxy,即192xy,故36xy.第 4 页 共 22 页当且仅当19xy是,即2.18xy时等号成立.所以xy的最小值为36.故选:C【点睛】本题考查利用均值不等式求乘积的最小值,是基础题.要注意“一定、二正、三相等”.7已知抛物线22yx的焦点为F，准线为l，P是l上一点，直线PF与抛物线交于M，N两点，若3PFMF，则|MN=A163B83C2D8 33【答案】B【解析】先根据题意写出直线的方程，再将直线的方程与抛物线y22x 的方程组成方程组，消去y 得到关于x 的二次方程，最后利用根与系数的关系结合抛物线的定义即可求线段 AB 的长【详解】解：抛物线 C：y22x
6、 的焦点为 F（12，0），准线为 l：x12，设 M（x1，y1），N（x2，y2），M，N 到准线的距离分别为dM，dN，由抛物线的定义可知|MF|dMx1+12，|NF|dN x2+12，于是|MN|MF|+|NF|x1+x2+13PFMF，则2PMQM，易知：直线MN 的斜率为3，F（12，0），第 5 页 共 22 页直线PF的方程为y3（x12），将 y3（x12），代入方程y22x，得 3（x12）22x，化简得 12x220 x+30，x1+x253，于是|MN|x1+x2+153183故选：B【点睛】本题考查抛物线的定义和性质，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档
7、题8已知1a，2a，32,4,6a，记123,N a a a为1a，2a，3a中不同数字的个数，如：2,2,21N，2,4,22N，2,4,63N，则所有的123,a a a的排列所得的123,N a a a的平均值为（）A199B 3C299D4【答案】A【解析】由题意得123,a a a所有的的排列数为3327，再分别讨论123,12 3N a a a，时的可能情况则均值可求【详解】由题意可知，123,a a a所有的的排列数为3327，当123,1N a a a时，有 3种情形，即2,2,2，4,4,4，6,6,6；当123,2N a a a时，有21132318CCC种；当123,3N
8、 a a a时，有336A种，那么所有27 个123,a a a的排列所得的123,N a a a的平均值为1 32 183 619279.故选：A【点睛】本题考查排列组合知识的应用，考查分类讨论思想，考查推理论证能力和应用意识，是中档题二、多选题9“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21 世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展我国与沿线国家经济合作关系，共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体.自 2013 年以来，“一带一路”建设成果显著下图是2013-2017 年，我国对“一带一路”沿第 6 页 共 22 页线国家进出口情况统计图，下列描述正确的是（）.A这五年，2013 年出口
9、额最少B这五年，出口总额比进口总额多C这五年，出口增速前四年逐年下降D这五年，2017 年进口增速最快【答案】ABD【解析】选项 A:观察五个灰色的条形图的高低即可判断;选项 B:观察五组条形图,对比每组灰色条形图与黑色条形图的高低及高低悬殊程度即可判断;选项 C:从图中知,红色的折线图是先上升后下降即可判断;选项 D:观察这五年所对的蓝色折线图的高低即可判断.【详解】解:选项 A:观察五个灰色的条形图,可得 2013年所对的灰色条形图高度最低,所以这五年,2013 年出口额最少.故 A 正确;选项 B:观察五组条形图可得2013年出口额比进口额稍低但2014 年-2017 年都是出口额高于进
10、口额并且2015年和 2016年都是出口额明显高于进口额,故这五年,出口总额比进口总额多.故 B 正确:选项 C:从图中可知,红色的折线图是先上升后下降即2013年到 2014 年出口增速是上升的.故 C 错误;选项 D:从图中可知,蓝色的折线图2017年是最高的,即 2017年进口增速最快,故 D 正确.故选:ABD【点睛】本题主要考查统计条形图和折线图的应用:解题的关键是从条形图看出口金额和进口金额从折线图看出口增速和进口增速;属于基础题.10关于函数12()11xf xxe下列结论正确的是（）第 7 页 共 22 页A图像关于y轴对称B图像关于原点对称C在,0上单调递增Dfx恒大于 0【
11、答案】ACD【解析】利用函数的奇偶性,单调性直接求解.【详解】解:函数12()11xf xxe定义域为(,0)(0,),因为1211()111xxxef xxex e111 111()()111xxxxxxeeefxf xx exex e,故函数fx为偶函数,所以 A正确;由知,函数fx为偶函数,所以 B不正确;当0 x时,10yx,且1yx在0,单调递减,当0 x时,2101xye,且211xye在0,单调递减,而12()11xf xxe,故fx在0,单调递调减,又由fx为偶函数,故fx在,0上单调递增,所以 C正确;由知,12()11xf xxe,当0 x,10 x,10 xe,10 xe
12、,故此时0fx.故 D正确.故选:ACD【点睛】本题考查函数的奇偶性、单调性和恒大于0,属于函数基本性质的综合题,是中档题。11设函数sin6fxx（0），已知fx在0,有且仅有3 个零点，下列结论正确的是（）A在0,上存在1x，2x，满足122fxfx第 8 页 共 22 页Bfx在0,有且仅有1个最小值点Cfx在0,2单调递增D的取值范围是13 19,66【答案】AB【解析】由题意根据()f x 在区间0,有 3 个零点画出大致图象，可得区间长度介于周期|TOA，3|)2TOA，再用表示周期，得的范围【详解】解：画出函数()sin()6f xx大致图象如图所示，当0 x时1sin()62y
13、；又0，所以0 x时()f x 在y轴右侧第一个最大值区间内单调递增，函数在 0，仅有 3 个零点时，则的位置在CD 之间（包括C，不包括)D，令()sin()06f xx，则6xk得，1(),()6xkkz，y轴右侧第一个点横坐标为6，周期2T，所以3662TT，即23 2662，解得131966，所以D错误；在区间 0，上，函数()f x 达到最大值和最小值，所以存在1x，2x，满足12()()2f xf x，所以A正确；由大致图象得，()f x 在(0,)内有且只有1个最小值，B正确；因为最小值为136，所以 02x时，1111,(6612122x，)2，所以(0,)2x时，函数()f
14、x 不单调递增，所以C错误故选：AB第 9 页 共 22 页【点睛】本题考查了三角函数图象及周期的计算问题，由题意求出的范围，再判断命题的真假性，是解题的关键12已知正方体1111ABCDA B C D,过对角线1BD作平面交棱1AA于点E,交棱1CC于点F,下列正确的是（）A平面分正方体所得两部分的体积相等；B四边形1BFD E一定是平行四边形；C平面与平面1DBB不可能垂直；D四边形1BFD E的面积有最大值.【答案】ABD【解析】由正方体的对称性可知,平面分正方体所得两部分的体积相等;依题意可证1BFD E,1D FBE,故四边形1BFD E一定是平行四边形;当,E F为棱中点时,EF平
15、面1BB D,平面1BFD E平面1BB D;当F与A重合,当E与1C重合时1BFD E的面积有最大值.【详解】解:对于 A：由正方体的对称性可知,平面分正方体所得两部分的体积相等,故 A 正确;对于 B：因为平面1111ABB ACC D D,平面1BFD E平面11ABB ABF,平面1BFD E平面111CC D DD E,1BFD E.同理可证：1D FBE,故四边形1BFD E一定是平行四边形,故 B 正确;对于 C：当,E F为棱中点时,EF平面1BBD,又因为EF平面1BFD E,所以平面1BFD E平面1BB D,故 C 不正确;对于 D：当F与A重合,当E与1C重合时1BFD
16、 E的面积有最大值,故 D 正确.故选:ABD 第 10 页 共 22 页【点睛】本题考查正方体的截面的性质,解题关键是由截面表示出相应的量与相应的关系,考查空间想象力.三、填空题13已知双曲线C过点(3,2)且渐近线为33yx，则双曲线C的标准方程为_.【答案】2213xy【解析】根据双曲线的渐近线方程可设双曲线方程为2230 xy,将点(3,2)代入方程求出,即可得出双曲线方程为.【详解】解:根据题意,双曲线的渐近线方程为33yx,可化为:30 xy,则可设双曲线方程为2230 xy,将点(3,2)代入2230 xy,得2233 20,即3,故双曲线方程为:2213xy.故答案为:2213
17、xy【点睛】本题考查双曲线的标准方程、双曲线的几何性质等基础知识考查运算求解能力,考查数第 11 页 共 22 页形结合思想属于基础题特别要掌握已知渐近线方程时,如何设出双曲线的标准方程.14已知fx是定义在R上的偶函数，且22fxfx，当2,0 x时，212xfx，若在2,6内关于x的方程log20afxx（0a且1a）有且只有4个不同的根，则实数a的取值范围是 _.【答案】8,【解析】推导出函数yfx的周期和对称轴，由题意可知函数yfx与函数log2ayx在区间2,6上的图象有4个交点，数形结合可得出实数a所满足的不等式组，进而可解出实数a的取值范围.【详解】由22fxfx，得4fxfx，
18、即函数yfx的图象关于直线2x对称.又yfx是定义在R上的偶函数，所以4fxfxfx，即4fxfx，则fx是以 4为周期的周期函数.画出函数yfx与函数log2ayx在2,6上的图象如图所示.要使函数fx与log2ayx的图象有4个不同的交点，则有1log621aa，解得8a，即实数a的取值范围是8,.故答案为：8,.【点睛】本题考查利用函数的零点个数求参数的取值范围，一般转化为两个函数图象的交点个数，考查数形结合思想的应用，属于中等题.15在 ABC 中，设角A，B，C 对应的边分别为,a b c，记 ABC 的面积为 S，且第 12 页 共 22 页22242abc，则2Sa的最大值为_.
19、【答案】106【解析】根据题中条件利用余弦定理进行简化，然后化简为二次函数，求出二次函数的最值即可.【详解】由题知22222222422c2os4bacacacBabc，整理得222232cos33cos2acacBacBac，因为222222221sin1cossin224acBcBScBaaaa，代入223cos2acBac整理得2422421922916Sccaaa，令22cta，有22222111110922931616336Sttta，所以2221010366SSaa，所以2Sa的最大值为106.故答案为：106【点睛】本题主要考查了利用余弦定理解三角形，结合考查了二次函数的最值问题
20、，属于中档题.四、双空题16若13nxx展开式的二项式系数之和是64,则n_;展开式中的常数项的值是 _.【答案】6135【解析】由二项式系数和求出指数n,仔写出展开式通项后可得常数项.【详解】第 13 页 共 22 页解:因为13nxx展开式的二项式系数之和是64,则264n,解得6n,所以13nxx展开式中常数项的值是422613135xxC.故答案为:(1).6(2).135【点睛】本题主要考查二项式定理,在nab展开式中二项式系数为2n,所有项的系数和为nab.其中二项式系数是固定的,只与指数n有关,而所有相系数还与二项式中的系数,a b有关.五、解答题17在2a，3a，44a成等差数
21、列.1S，22S，3S成等差数列中任选一个，补充在下列的问题中，并解答.在公比为2 的等比数列na中，_（1）求数列na的通项公式；（2）若21 lognnbna，求数列242nnb的前 n 项和nT.【答案】（1）2nna（2）2221nTn【解析】（1）若选 ，根据三个数成等差数列，建立等量关系，求得12a，进而求得通项公式；若选，根据1S，22S，3S成等差数列，建立等量关系，求得12a，进而求得通项公式；（2）将2nna代入，求得1nbn n，222421121nnbnn，裂项之后求和得结果.【详解】（1）选：因为2a，3a，44a成等差数列，所以32442aaa，第 14 页 共 2
22、2 页所以1118284aaa，解得12a，所以2nna.选：因为1S，22S，3S成等差数列，所以21322SSS，即234aa，所以11244aa，解得12a，所以2nna.（2）因为2nna，所以221 log1 log 21nnnbnann n，所以222222 214211211nnnbnnnn，所以22222111112 1222231nTLnn22222111112 12231nn22122 1211nn.【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有三数成等差数列的条件，等比数列的通项公式，裂项相消法求和，属于中档题目.18在平面四边形ABCD中，已知2 6AB，3AD，
23、2ADBABD，3BCD.（1）求BD；（2）求BCD周长的最大值.【答案】（1）5BD（2）15【解析】（1）设BDx,ABD,则2ADB,利用正弦定理求出6cos3,第 15 页 共 22 页在利用余弦定理26249cos322 63x,5x或3x,最后检验即可得出结果.（2）设CBD,利用正弦定理有2sinsinsin33BDBCCD,从而得出BC和CD的表示方法,然后10sin106BCCD,即可得出BCD周长最大值.【详解】解:（1）由条件即求BD的长,在ABD中,设BDx,ABD,则2ADB,sin 2sinABAD,6cos3,26249cos32 2 63x整理得28150 x
24、x,解得5x或3x.当3x时可得22ADB,与222ADBDAB矛盾,故舍去5BD（2）在BCD中,设CBD,则2sinsinsin33BDBCCD10 32sin33BC,10 3sin3CD10 333sincos10sin103226BCCDBCD周长最大值为15.【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理解三角形,考查三角形周长的最大值,是中档题.19如图：在平行四边形ABCD中,BDCD,BEAD,将ABD沿对角线BD折起,使ABBC,连结,AC EC,得到如图所示三棱锥ABCD.第 16 页 共 22 页（1）证明：BE平面ADC；（2）若1ED,二面角CBED的平面角的正切值为6,求直线
25、BD与平面ADC所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）63【解析】（1）证明ABBD,从而证明AB平面BCD,进而得出ABCD,即可证CD平面ABD.最后证得BE平面ADC.（2）若1ED,二面角CBED的平面角的正切值为6,由（1）知BE平面ADC,因为BC平面ADC,所以BEEC,又BEED,所以DEC即为二面角CBED的平面角,得tan6CDDECED,从而求出3BD,3BC,建立空间直角坐标系,求平面ADC的法向量为,nx y z,最后根据公式sincos,DB n,即得直线BD与平面ADC所成角大小.【详解】（1）证明：在平行四边形ABCD中,BDCD,则ABBD.在三棱锥A
26、BCD中,因为ABBC,BCBDB.所以AB平面BCD,所以ABCD.又BDCD,ABBDB,所以CD平面ABD.又BE平面ABD,所以CDBE.因为BEAD,ADCDD,所以BE平面ADC.（2）解：由（1）知BE平面ADC,因为BC平面ADC,所以BEEC,又BEED,所以DEC即为二面角CBED的平面角,即tan6DEC.第 17 页 共 22 页因为CD平面ABD,AD平面ABD.所以CDAD,故tan6CDDECED,又1ED.所以6ABCD.在平行四边形ABCD,ADBDBC,90BEDBDC,所以DEB与BDC 为相似三角形,则EDBDBDBC,故BDm（0m）,解得26BCm,
27、故216mmm,解得3m,所以3BD,3BC.过点D作/DFAB,以D为坐标原点,DB,DC,DF的方向为x轴、y轴、z 轴的正方向,建立空间直角坐标系,如图所示.则0,0,0D,3,0,6A,0,6,0C,3,0,0B.所以3,0,6DA,0,6,0DC,3,0,0DB.设平面ADC的法向量为,nx y z,则36060n DAxzn DCy令6z,得2 3,0,6n.设直线BD与平面ADC所成角为,66sincos,3318DB nDB nDBn即直线BD与平面ADC所成角为63.第 18 页 共 22 页【点睛】本题主要考查空间线面垂直判定性质及二面角的解法,属于中档题.20在传染病学中
28、，通常把从致病刺激物侵人机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期.一研究团队统计了某地区1000 名患者的相关信息，得到如下表格：潜伏期（单位：天）0,22,44,66,88,1010,1212,14人数85205310250130155（1）求这 1000名患者的潜伏期的样本平均数x(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；（2）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6 天为标准进行分层抽样，从上述1000 名患者中抽取200 人，得到如下列联表.请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95%
29、的把握认为潜伏期与患者年龄有关；潜伏期6天潜伏期6天总计50岁以上（含50岁）10050岁以下55总计200（3）以这 1000 名患者的潜伏期超过6 天的频率，代替该地区1 名患者潜伏期超过6天发生的概率，每名患者的潜伏期是否超过6 天相互独立，为了深入研究，该研究团队随机调查了20 名患者，其中潜伏期超过6天的人数最有可能（即概率最大）是多少？附：20P Kk0.050.0250.0100k3.8415.0246.63522n adbcKabcdacbd，其中nabcd.第 19 页 共 22 页【答案】（1）5.4天；（2）见解析，没有；（3）8人.【解析】（1）根据统计数据计算平均数即
30、可；（2）根据题意补充完整的列联表，计算2K，对照临界值表得出结论；（3）根据题意知随机变量220,5XB，计算概率P Xk，列不等式组并结合题意求出k的值.【详解】（1）11 853205531072509 13011 151355.41000 x天；（2）根据题意补充完整的列联表如下：潜伏期6天潜伏期6天总计50岁以上（含50岁）653510050岁以下5545100总计12080200则22200654555 35252.083120 80 100 10012K，22.0833.841K，所以没有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关；（3）由题可得该地区1名患者潜伏期超过6 天发生的概率
31、为250130155210005，设调查的20 名患者中潜伏期超过6 天的人数为X，则220,5XB，20202355kkkP XkC，1,2,3,20k，由11P XkP XkP XkP Xk，即20+119+1202020121120202323555523235555kkkkkkkkkkkkCCCC，化简得312 202 213kkkk解得374255k，又1,2,3,20k，所以8k，即这 20 名患者中潜伏期超过6 天的人数最有可能时8 人.【点睛】第 20 页 共 22 页本题主要考查独立性检验的应用问题，以及二项分布，考查学生的计算能力，属于中档题.21已知椭圆2222:1(0)
32、xyCabab的左、右焦点分别为1F，2F，离心率为12，过1F作直线l与椭圆C交于A，B两点，2ABF的周长为8（1）求椭圆C的标准方程；（2）问：2ABF的内切圆面积是否有最大值？若有，试求出最大值；若没有，说明理由【答案】（1）22143xy；（2）916【解析】（1）由离心率得2ac，再利用2ABF的周长为8 得2a，从而得到,a b c的值，进而得到椭圆的方程；（2）将2ABF的内切圆面积的最大值转化为求2ABFS的值最大，设11(,)A x y，22(,)B xy，直线:1lxmy，从而将面积表示成关于m的函数，再利用换元法研究函数的最值.【详解】（1）离心率为12cea，2ac，
33、2ABF的周长为 8，48a，得2a，1c，2223bac，因此，椭圆C的标准方程为22143xy（2）设2ABF的内切圆半径为r，2221(|)2ABFSAFABBFr，又22|8AFABBF，24ABFSr，要使2ABF的内切圆面积最大，只需2ABFS的值最大设11(,)A xy，22(,)B xy，直线:1lxmy，联立221431xyxmy消去x得：22(34)690mymy，第 21 页 共 22 页易得，且122634myym，122934yym，所以22121212121|()42ABFSF Fyyyyyy2222223636121(34)343(1)1mmmmm，设211tm，
34、则2212121313ABFtSttt，设13(1)yttt，2130yt，所以13ytt在1,)上单调递增，所以当1t，即0m时，2ABFS的最大值为3，此时34r，所以2ABF的内切圆面积最大为916【点睛】本题考查椭圆的离心率、方程的求解、焦点三角形的性质，考查转化与化归思想、函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意换元法的灵活运用.22已知函数21()eln(,)axf xxbxax a bR（1）若0b，曲线()f x 在点(1,(1)f处的切线与直线2yx平行，求a的值；（2）若2b，且函数()fx 的值域为2,，求a的最小值【答案】（1）2a；（2）2e【解析】
35、（1）对函数进行求导得1()(2)axfxxeaxa，再利用导数的几何意义得(1)2f，从而得到关于a的方程，解方程即可得到答案；（2）当2b时，21()2lnaxf xx exax，将 函数()f x 可化为()ln1g ttt，则(1)2g，从而将问题转化为12ln xax有解，再构造函数12ln()xh xx，利用导数研究函数的值域，从而得到a的取值范围.【详解】（1）当0b时，21()axf xx eax，1()(2)axfxxeaxa，由1(1)(2)2afeaa，第 22 页 共 22 页得1(2)(2)0aeaa，即1(1)(2)0aea，解得1a或2a，当1a时，0(1)12f
36、e，此时直线2yx恰为切线，故舍去，所以2a.（2）当2b时，21()2lnaxf xx exax，设21axtx e，设21axtx e，则ln2ln1txax，故函数()f x 可化为()ln1g ttt.由11()1tg ttt,可得()g t的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)，所以()g t的最小值为(1)1ln112g，此时1t，函数的()f x 的值域为2,)问题转化为当1t时，ln2ln1txax有解，即ln12ln10 xax，得12ln xax.设12ln()xh xx，则22ln1()xh xx，故()h x的单调递减区间为(0,)e，单调递增区间为(,)e，所以()h x的最小值为2(e)eh，故a的最小值为2e【点睛】本题考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、求参数的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意对问题进行多次转化，同时注意构造函数法的应用.