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1、第 1 页 共 18 页2019-2020 学年辽宁省六校高一下学期期中考试数学试题一、单选题1复数z满足211zii，则z（）A12B22C1D2【答案】B【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式，即可求解，得到答案【详解】由题意，复数211zii，得2211(1)11(1)2222iiiiziiii，22112|222z故选 B【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，其中解答中熟记复数的运算法则，以及复数模的计算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题2不等式tan3x的解集是（）A|,32xkxkkZB|,32xkxkkZC|22
2、,32xkxkkZD|22,32xkxkkZ【答案】B【解析】由函数tanyx的图象求得x 的范围.【详解】因为tan3x，所以结合函数tanyx的图象可得|,32xkxkkZ，故选：B.【点睛】本题考查三角不等式的求解，运用三角函数图象求解不等式，是常用的方法，属于基础第 2 页 共 18 页题.3设tan,tan是方程2320 xx的两个根，则tan()的值为（）A-3B-1C1D3【答案】A【解析】试题分析：由tan ，tan 是方程 x2-3x+2=0 的两个根，利用根与系数的关系分别求出 tan+tan及 tan tan 的值，然后将tan（+）利用两角和与差的正切函数公式化简后，将
3、 tan+tan及 tan tan 的值代入即可求出值 解：tan ，tan 是方程 x2-3x+2=0的两个根，tan+tan=3，tan tan=2,则 tan（+）=tantan1tantan-3，故选 A.【考点】两角和与差的正切函数公式点评：此题考查了两角和与差的正切函数公式，以及根与系数的关系，利用了整体代入的思想，熟练掌握公式是解本题的关键4已知 ABC 的外心是边BC 的中点，AB=(k，1)，AC=(2，3)，则 k 的值为（）A5 B-5 C32D-32【答案】D【解析】首先可判断三角形为直角三角形，再根据向量的数量积为零计算可得；【详解】解：因为 ABC 的外心是边BC
4、的中点，所以 ABC 是以A为直角顶点的直角三角形，因为,1ABk，2,3AC所以21 30AC ABk，解得32k故选：D【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标表示，属于基础题.5已知角的终边过点(4,3)(0)Pkkk，则2sincos的值是（）A25B25C25或25第 3 页 共 18 页D随着k的取值不同其值不同【答案】B【解 析】试 题 分 析：角的 终 边 过 点(4,3)(0)Pkkk，2333sin,5525kkkk24cos25kk=4455kk,3422sincos2()555.【考点】任意角的三角函数值.6下列函数中，周期为，且在(,)42上单调递减的是（）Asincos
5、yxxBsincosyxxCtan()4yxDcos2yx【答案】A【解析】逐一考查所给的函数：1sincossin 22yxxx，其周期22T，在区间,42上单调递减；sincos2 sin4yxxx，其周期221T，不合题意；tan4yx，其周期1T，在区间,42上单调递增，不合题意；cos2yx 的图象是将函数cosyx的图象位于x轴下方的图象翻折到上方得到的图象，其周期2T，不合题意；本题选择 A 选项.7棱台的上、下底面面积分别为4 和 9，则这个棱台的高和截得棱台的原棱锥的高的比是（）A12B13C23D34【答案】B【解析】设出棱台的高与截得它的棱锥的高，利用面积之比等于相似比的
6、平方，化简求出结果【详解】第 4 页 共 18 页设棱台的高为h与截得它的棱锥的高H，作出草图，如下图所示：由相似关系可得，111SOOCSOOC，所以2211122SSOOCSOOCS上下，则249HhH即2419hH，可得21133hH.故选：B【点睛】本题考查棱台的结构特征，计算能力，是基础题8一船沿北偏西45方向航行，正东有两个灯塔A,B,10AB海里，航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏东60，另一灯塔在船的南偏东75，则这艘船的速度是每小时（）A5 海里B5 2海里C10 海里D10 2海里【答案】D【解析】根据题意作出对应的三角形，结合正弦定理及三角形的边角关系即可得到结论【详解】
7、如图所示,COA=135 ,ACO=ACB=ABC=15 ,OAC=30 ，AB=10，AC=10.AOC 中,由正弦定理可得102sin135sin30OC，5 2OC，第 5 页 共 18 页5 210212v，这艘船的速度是每小时10 2海里，故选 D.【点睛】正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.二、多选题9以下命题（其中a，b表示直线，表示平面），其中错误的是（）A若/,ab b则/aB若/,/,
8、ab则/abC若/,/,ab b则/aD若/a，a，b，则/ab【答案】ABC【解析】根据直线与直线、直线与平面的位置关系可知A、B、C是错误的，根据直线与平面平行的性质定理可知D是正确的.【详解】对于A，若/,ab b则/a或a，故A错误；对于B，若/,/,ab则/ab或a与b异面或a与b相交；故B错误；对于C，若/,/,ab b则/a或a，故C错误；对于D，根据直线与平面平行的性质定理可知，“若/a，a，b，则/ab”是正确的，故选：ABC.【点睛】本题考查了直线与直线、直线与平面的位置关系，考查了直线与平面平行的性质定理，属于基础题.10ABC是边长为2 的等边三角形，已知向量a、b满足
9、ABa、ACab，则下列结论正确的是（）第 6 页 共 18 页A2bB abC2a bD(2)abBC【答案】AD【解析】本题首先可以根据向量的减法得出BCb，然后根据ABC是边长为2 的等边三角形得出A 正确以及B 错误，再然后根据向量a、b之间的夹角为120计算出2a b，C错误，最后通过计算得出(2)0abBC，D 正确.【详解】因为ABa，ACab，所以BCACABabab，因为ABC是边长为2 的等边三角形，所以2bBC，A 正确，因为ABa，BCb，所以向量a、b之间的夹角为120，B 错误，所以1cos1202222a bab，C 错误，因为22(2)(2)22220abBCa
10、b ba bb，所以(2)abBC，D 正确，故选：AD.【点睛】本题考查向量的减法运算以及向量的数量积，若向量a、b之间的夹角为，则cosa bab，若0a b，则ab，考查推理能力与计算能力，是中档题.11关于函数23 3()3sincos3 3sin12f xxxx，下列命题正确的是（）A由121fxfx可得12xx是 的整数倍B()yf x的表达式可改写成5()3cos 216f xxC()yf x的图像关于点3,14对称D()yf x的图像关于直线12x对称【答案】BD 第 7 页 共 18 页【解析】首先将函数化简，再根据三角函数的图象和性质，分别进行求解判断即可【详解】解：因为2
11、3 3()3sincos3 3sin12fxxxx所以33 3()sin2cos213sin 21223f xxxx解：A由()3sin 2113f xx得sin 203x，则函数的最小正周期T，则12xx是22T的整数倍，故A错误，B55()3sin213cos23cos213cos 2132366f xxxxx，故B正确，C 当34x时，3371sin 2sinsin0432362，即函数关于3,14不对称，故C错误，D当12x时，sin 2sinsin1123632，是最小值，则()yf x的图象关于直线12x对称，正确，故正确的是BD，故选：BD【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质
12、，结合函数的对称性，三角函数的诱导公式是解决本题的关键，属于中档题三、填空题12已知5ab，向量a与b的夹角为23，则2ab=_.【答案】5 3【解析】运用向量的数量积的定义，计算向量a，b的数量积，再由向量的平方即为模的平方，计算代入数据，即可得到所求值第 8 页 共 18 页【详解】解：|5ab，向量a与b的夹角为23，则225cos32a ba b，所以2222225224445545 32abababa b故答案为：5 3【点睛】本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查运算能力，属于基础题13已知ABC中，26ac，45A，则b_.【答案】31【解析】已知两边和其中一边的对角解三角形
13、用余弦定理求解即可.【详解】解：2222cosabcbcA，所以24626 cos45,31bbb，故答案为：31.【点睛】已知两边和其中一边的对角解三角形，用余弦定理求解时，只要解出的边是正数就符合题意；基础题.四、双空题14一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一个球面上，则此球的表面积为_;该四面体的体积为_.【答案】313【解析】先求出正四面体的高，结合球心在高上及勾股定理即可求出球的半径，利用球的表面积公式和三棱锥的体积公式即可解决.【详解】由题意可知，该四面体为正四面体，如图正四面体ABCD,棱长都为2，外接球球心为O，E为BCD的中心，设外接球半径为R，则6,3BEOAOBR,
14、在第 9 页 共 18 页RtABE中，2222 3233AEABBE,在RtBOE中，222OBBEAER,即2222 333RR，解得32R,所以此球的表面积为243R，该四面体的体积为11.33BCDSAE故答案为：3；13【点睛】本题主要考查正四面体的外接球问题及球的表面积、三棱锥的体积公式，属于基础题.15函数2sin26fxxm，若0fx在0,2x上恒成立，则m 的取值范围是 _;若fx在0,2x上有两个不同的解，则m 的取值范围是_.【答案】2m12m【解析】将0fx化为2sin26mx，求出当0,2x时，2sin26x的最大值可得m的取值范围，将fx在0,2x上有两个不同的解，
15、化为函数yfx，0,2x与ym的图象有两个交点，再根据函数yfx，0,2x的图象可得答案.【详解】因为0fx可化为2sin26mx，当0,2x时，52,666x，2sin21,26x，所以2sin26x第 10 页 共 18 页的最大值为2，所以2m.因为fx在0,2x上有两个不同的解，等价于函数yfx，0,2x与ym的图象有两个交点，函数yfx，0,2x的图象如图：由图可知，12m.故答案为：2m；12m.【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，考查了正弦型函数图象的应用，考查了由函数图象的交点个数求参数范围，属于基础题.五、解答题16已知ABC，则下列命题中，是真命题的有哪些？（1）若sin2
16、sin2AB，则ABC是等腰三角形；（2）若sincosAB，则ABC是直角三角形；（3）若coscos cos0ABC，则ABC是钝角三角形；（4）若cos()cos()cos()1ABBCCA，则ABC是等边三角形.【答案】（3）（4）为真命题【解析】（1）根据正弦函数性质及三角形内角的取值范围判断（2）由诱导公式变形，结合正弦函数性质判断（3）由余弦函数性质判断（4）由余弦函数性质判断【详解】解：（1）若sin 2sin 2,(0,)ABA B，第 11 页 共 18 页22AB或22AB.AB或2AB.ABC为等腰三角形或直角三角形，故（1）为假命题.（2）若sincossin2ABB
17、，,(0,)A B，2AB或2AB，2AB或2AB，ABC为直角三角形或钝角三角形，故（2）为假命题.（3）若coscoscos0,(0,)ABCA B C，,A B C中有一个为钝角，其余两个为锐角，ABC为钝角三角形，故（3）为真命题.（4）若cos()cos()cos()1ABBCCA，cos()(1,1,cos()(1,1,cos()(1,1ABBCCA，cos()cos()cos()1ABBCCA.又,(0,)A B C，0ABBCCA，ABC，即ABC为等边三角形，故（4）为真命题.【点睛】本题考查命题的真假判断，考查三角形形状的判断，解题是需结合三角形内角的取值范围和正弦函数、余
18、弦函数的性质判断17已知22ab，且向量a在向量b的方向上的投影为1，求：（1）a与b的夹角;（2）2abb.【答案】（1）23；（2）3.【解析】（1）由题知2,1,cos1aba，进而得出cos，即可求得.第 12 页 共 18 页（2）根据数量积的定义cosa bab即可得出答案.【详解】解：（1）由题意，2,1,cos1aba，所以1cos2.又因为0,，所以23.（2）2222122cos22 12 1332abba bbabb.【点睛】本题考查了向量的夹角、向量的数量积，考查学生对公式的熟练程度，属于基础题.18在锐角ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且3 cos2
19、sin3 cosbCaBcB(1)求角B；(2)若sin3sinAC，求bc.【答案】(1)60；(2)7.【解析】(1)本题首先可根据正弦定理边角互化得出3sincos2sinsin-3sincosBCABCB，然后通过三角恒等变换化简得出3sin2B，最后根据ABC为锐角三角形即可得出结果；(2)首先可根据正弦定理边角互化得出3ac，然后根据余弦定理得出222122acbac，带入3ac，通过化简即可得出结果.【详解】(1)因为3 cos2 sin3 cosbCaBcB，所以由正弦定理可得3sincos2sinsin-3 sincosBCABCB，即3sincos3 sincos2sins
20、inBCCBAB，3sin()2sinsinBCAB，3sin2sinsinAAB，因为在ABC中，sin0A，所以3sin2B第 13 页 共 18 页因为ABC为锐角三角形，所以B60，(2)因为sin3sinAC，所以由正弦定理可得3ac，因为B60，所以由余弦定理可知2221coscos6022acbBac，代入3ac，得22219223ccbcc，解得7bc.【点睛】本题考查正弦定理边角互化以及余弦定理，考查余弦定理公式、两角和的正弦公式以及诱导公式，考查化归与转化思想，考查计算能力，体现了综合性，是中档题.19已知10,sincos25xxx（1）求sincosxx的值;（2）求2
21、sin22sin1tanxxx的值.【答案】（1）75；（2）24175.【解析】（1）先求出2sincosxx的值，再求出2sincosxx后可得sincosxx的值；（2）先求出34sin,cos55xx，再利用二倍角公式化简三角函数式，代入前面的结果可得所求的值.【详解】（1）对于1sincos5xx，两边平方得221sincos+2sincos25xxxx，所以24sin 225x，249(sincos)1sin 225xxx，02x，cos0,sin0 xx，sincos0 xx，7sincos5xx；（2）联立1sincos57sincos5xxxx，解得3sin54cos5xx，
22、第 14 页 共 18 页原式23432()2()2455531755145.【点睛】本题考查同角的三角函数的基本关系式、二倍角公式，属于中档题题.20如图，在正方体1111ABCDA B C D中，作棱锥PABCD，其中点P在侧棱1DD所在直线上，4PD，3DC，E是PC的中点.（1）证明：/PA平面BDE;（2）求PAD以PA为轴旋转所围成的几何体体积.【答案】（1）证明见解析；（2）485.【解析】(1)本题首先可以连接AC交BD于O并连接EO，然后根据OE是PCA的中位线得出/OE PA，即可根据线面平行的判定证得/PA平面BDE；(2)本题首先可以过D作PA的垂线并令垂足为H，然后根
23、据题意得出几何体的形状，再然后求出PA与DH的长，最后根据圆锥的体积公式即可得出结果.【详解】(1)如图，连接AC交BD于O，连接EO，因为四边形ABCD是正方形，所以O为AC中点，第 15 页 共 18 页因为E为PC的中点，所以OE是PCA的中位线，/OE PA，因为OE包含于平面BDE，PA不包含于平面BDE，所以/PA平面BDE，(2)如图，过D作PA的垂线，垂足为H，则PAD以PA为轴旋转所围成的几何体是以DH为半径并且分别以PH、AH为高的两个圆锥的旋转体，因为侧棱PD底面ABCD，AD包含于底面ABCD，所以PDAD，因为4PD，3DADC，所以5PA，因为PD ADPA DH，
24、所以125DH，所以PAD以PA为轴旋转所围成的几何体体积为214835VDHPA.【点睛】本题考查线面平行的判定以及旋转体体积的计算，若平面外一条直线平行平面内的一条直线，则直线与平面平行，考查推理能力与计算能力，体现了基础性与综合性，是中档题.21ABC中，角 A，B，C 所对边分别是a、b、c，且1cos3A(1)求2sincos22BCA的值；(2)若3a，求ABC面积的最大值【答案】（1）19；（2）3 24【解析】(1)将2sincos22BCA化简代入数据得到答案.(2)利用余弦定理和均值不等式计算94bc，代入面积公式得到答案.【详解】2221 sincos2sin2cos12
25、2BCAAA第 16 页 共 18 页2221coscos2cos12cos122AAAA1111321299；(2)由1cos3A，可得12 2sin193A，由余弦定理可得222222242cos2333abcbcAbcbcbcbcbc，即有23944bca，当且仅当32bc，取得等号则ABC面积为119223 2sin22434bcA即有32bc时，ABC的面积取得最大值3 24【点睛】本题考查了三角恒等变换，余弦定理，面积公式，均值不等式，属于常考题型.22已知函数sin0,0fxx的图像相邻对称轴之间的距离是2，若将fx的图像向右移6个单位，所得函数g x为奇函数.(1)求fx的解析
26、式；(2)若函数35h xfx的零点为0 x，求0cos26x；(3)若对任意0,3x，20fxfxa有解，求a的取值范围.【答案】(1)sin 23fxx；(2)35；(3)1,04.【解析】(1)本题首先可通过相邻对称轴之间的距离是2得出2，然后通过图像的平移即可得出sin 23gxx，最后根据函数g x为奇函数即可求出的值；(2)本题首先可通过题意得出03sin235x，然后通过三角函数的诱导公式即可得出结果；(3)本题可令sin23tfxx，然后根据0,3x得出01t，最后通过求第 17 页 共 18 页出2tt的取值范围即可得出a的取值范围.【详解】(1)因为相邻对称轴之间的距离是2
27、，所以22T，T，2T，解得2，sin 2fxx，将fx的图像向右移6个单位，可得函数sin 2sin 263g xxx，因为函数g x为奇函数，所以0sin03g，3kkZ，因为0，所以3，sin 23fxx，(2)因为函数35h xfx的零点为0 x，所以00033sin 20535h xfxx，03sin 235x，因为000cos2cos2sin 26233xxx，所以03cos265x，(3)令sin 23tfxx，20fxfxa有解即2tta有解，因为0,3x，所以0sin 213x，01t，因为221124ttt，所以当01t时，2104tt，因为2tta有解，所以a的取值范围为1,04.【点睛】本题考查三角函数的对称性、奇函数的相关性质、三角函数的诱导公式以及三角函数的取值范围的求法，当奇函数fx定义域包括0 时，有00f，考查公式第 18 页 共 18 页cossin2xx，考查推理能力，是中档题.