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1、第 1 页 共 15 页2019-2020 学年广西钦州市第一中学高一下学期期中考试数学试题一、单选题1如果0ab，那么下列不等式成立的是（）A11abB2abbC2abaD11ab【答案】D【解析】由于0ab，不妨令2a，1b，代入各个选项检验，只有D正确，从而得出结论.【详解】解：由于0ab，不妨令2a，1b，可得112a，11b，11ab，故A 不正确.可得2ab，21b，2abb，故 B不正确.可得2ab，24a，2aba，故 C 不正确.故选：D.【点睛】本题主要考查不等式与不等关系，利用特殊值代入法比较几个式子在限定条件下的大小关系，是一种简单有效的方法，属于基础题.2在等差数列中
2、，若=4，=2，则=（）A-1 B 0 C1 D6【答案】B【解析】在等差数列中，若，则，解得，故选 B.3在ABC中，若13,3,120ABBCC，则AC=（）A1B 2 C3D4【答案】A【解析】余弦定理2222?cosABBCACBC ACC将各值代入得2340ACAC第 2 页 共 15 页解得1AC或4AC(舍去)选 A.4在ABC中，若2,2 3,30,abA则B等于（）A 30B30150或C60D60120或【答案】D【解析】由正弦定理，求得sinsinbBAa，再由ab，且(0,180)B，即可求解，得到答案.【详解】由题意，在ABC中，由正弦定理可得sinsinabAB，即
3、2 33sinsinsin3022bBAa，又由ab，且(0,180)B，所以60B或120B，故选 D.【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，其中解答中熟记三角形的正弦定理，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.5在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2sincoscosaBbAB，则ABC的形状是（）A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D不确定【答案】B【解析】根据正弦定理得到2sinsinsincoscosABBAB，化简得到sincos0BAB，计算得到答案.【详解】2sincoscosaBbAB，所以2sinsinsincoscosABBAB，所以s
4、insinsincoscos0BABAB，即sincos0BAB.因为0A，0B，所以2AB，故ABC是直角三角形.故选：B【点睛】第 3 页 共 15 页本题考查了正弦定理和三角恒等变换，意在考查学生对于三角公式的综合应用.6已知等比数列na满足11374a aa，数列nb是等差数列，其前n项和为nS，且77ab，则13(S)A52 B 26 C78 D104【答案】A【解析】利用等比数列的性质求出74a，从而774ba，再由等差数列的求和公式及等比数列中项的性质可得13713Sb，能求出结果【详解】解：等比数列na满足11374a aa，可得2774aa，解得74a，数列nb是等差数列，其
5、前n项和为nS，且774ab，则1311371()1313134522Sbbb故选：A【点睛】本题考查等差数列的求和公式和性质，以及等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题7 数列na的通项公式为11nann,若na的前 n 项和为 9,则 n 的值为（）A576 B 99 C624 D625【答案】B【解析】先将11nann整理为1nann,利用裂项相消求和得1 1nSn,即可求出结果.【详解】解:依题意得111nannnn,所以2132.111nnSnn,又因为119nSn,第 4 页 共 15 页所以解得:99n.故选:B【点睛】本题考查求数列的第n项,考查裂项相消求和法,是
6、基础题.8如图，长方体1111ABCDA B C D中，12AAAB，1AD，点,E F G分别是1DD，AB，1CC的中点，则异面直线1A E与GF所成的角是A90B60C45D30【答案】A【解析】由题意：E，F，G分别是 DD1，AB，CC1的中点，连接B1G，FB1，那么 FGB1或其补角就是异面直线A1E与 GF所成的角【详解】由题意：ABCD A1B1C1D1是长方体，E，F，G分别是 DD1，AB，CC1的中点，连接B1G，A1EB1G，FGB1为异面直线A1E与 GF所成的角或其补角连接 FB1，在三角形FB1G中，AA1AB2，AD1，B1F2211(AB)AA52B1G22
7、11(AA)AD22，FG2211CF(AA)32，B1F2B1G2+FG2FGB190，即异面直线A1E与 GF所成的角为90故选 A【点睛】第 5 页 共 15 页本题考查两条异面直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养9若正数x，y 满足 x+3y=5xy，则 3x+4y 的最小值是()A245B285C5 D6【答案】C【解析】【详解】由已知可得31155xy，则3194123131234()(34)555555555yxxyxyxyxy，所以34xy的最小值5，应选答案C10已知数列na的首项为1，第 2 项为3，前n项和为nS，当整数1n时，111
8、2nnnSSSS恒成立，则15S等于A210B211C224D225【答案】D【解析】结合题目条件，计算公差，证明该数列为等差数列，计算通项，结合等差数列前 n 项和公式，计算结果，即可【详解】结合1112nnnSSSS可知，11122nnnSSSa，得到1122nnaaa，所以12121nann，所以1529a所以1151515291 1522522aaS，故选 D【点睛】本道题考查了等差数列的通项计算方法，考查了等差数列前n 项和计算方法，难度中等11若不等式222424axaxxx对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是（）A(22)，B(2)(2)，C(2 2，D(2，【答案】C 第
9、6 页 共 15 页【解析】由题意，不等式222424axaxxx，可化为2(2)2(2)40axax，当20a，即2a时，不等式恒成立，符合题意；当20a时，要使不等式恒成立，需2)2204(44(2)0aaa，解得22a，综上所述，所以a的取值范围为(2,2，故选 C12如图为某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（）A6B12C12 3D4 33【答案】B【解析】根据三视图还原直观图，其直观图为底面是正方形的四棱锥，将其拓展为正方体，转化为求正方体的外接球的表面积.【详解】由三视图可得，该几何体为底面是正方形，一条侧棱与底面垂直的四棱锥SABCD，以,S A B C D为顶点将其
10、拓展为正方体ABCDNMES，且正方体的边长为2，则正方体的外接球为四棱锥的外接球，外接球的直径为正方体的对角线，即22 3,3RR，所以该几何体的外接球的表面积为24(3)12.故选：B.第 7 页 共 15 页【点睛】本题考查三视图与直观图的关系、多面体与球的“外接”问题，考查等价转化思想以及直观想象能力，属于基础题.二、填空题13 若关于 x 的不等式220axbx的解集是1123xx，则ab_.【答案】14【解析】由不等式220axbx的解集求出对应方程的实数根，利用根与系数的关系求出,a b的值，从而可得结果.【详解】不等式220axbx的解集是11|23xx，所以对应方程220ax
11、bx的实数根为12和13，且0a，由根与系数的关系得112311223baa，解得12,2ab，14ab，故答案为14.【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解集与一元二次不等式的根之间的关系，以及韦达定理的应用，属于简单题.14长、宽、高分别为2、1、2的长方体的每个顶点都在同一个球面上，则该球的体积为 _第 8 页 共 15 页【答案】92【解析】由长方体的体对角线为其外接球的直径，可计算出长方体的外接球的半径，再利用球体的体积公式可求得结果.【详解】设球的半径为R，由于长方体的体对角线为其外接球的直径，则22222123R，可得32R，因此，该球的体积为3344393322VR.故答案为：
12、92.【点睛】本题考查长方体外接球体积的计算，要明确长方体的体对角线为其外接球的直径，考查计算能力，属于基础题.15在等比数列na中，14a，42a，7a成等差数列，则35119aaaa_.【答案】14【解析】根据三项成等差数列可构造方程求得等比数列的公比q满足32q，将所求式子化为1a和q的形式，化简可得结果.【详解】14a，42a，7a成等差数列17444aaa即：6311144aa qa q，解得：32q243511108611911114aaa qa qaaa qa qq本题正确结果：14【点睛】本题考查等差数列和等比数列的综合应用问题，关键是能够求解出等比数列的基本量，属于基础题.1
13、6如图，在ABC中，D是边BC上一点，22ABADAC，1cos3BAD，第 9 页 共 15 页则sinC_【答案】33【解析】设2AC，可得2ABAD，利用余弦定理求得BD，在ABD中，利用正弦定理求得sinB的值，然后在ABC中，利用正弦定理可求得sinC的值.【详解】由题意不妨取2AC，则2ABAD，且1cos3BAD，在ABD中，由余弦定理得222 62cos3BDABADAB ADBAD，22 2sin1cos3BADBAD，在ABD中，由正弦定理sinsinADBDBBAD，得sin6sin3ADBADBBD，在ABC中，由正弦定理sinsinABACCB，得sin3sin3AB
14、BCAC故答案为：33【点睛】本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题.三、解答题17在锐角ABC中，,a b c分别为内角,A B C所对的边长，且满足32 sin0abA.（1）求角B的大小；（2）若5ac，且ac，7b，求a和c的值.第 10 页 共 15 页【答案】（1）3；（2）3a，2c.【解析】（1）直接利用正弦定理计算得到答案.（2）根据余弦定理联立5ac，解方程得到答案.【详解】（1）32 sin0abA，3sin2sinsin0ABA，sin0A，3sin2B，B为锐角，3B.（2）由（1）可知3B，又7b，由余弦定理得：2222cos3bacac，
15、整理得：237acac，5ac，6ac，又ac，3a，2c.【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.18已知等比数列na的各项为正数，且11231,13aaaa，数列nc的前n项和为22nnnS，且nnncba.（1）求na的通项公式；（2）求数列nb的前n项和nT.【答案】(1)13nna(2)nT2312nnn【解析】（1）利用12313aaa和11a可求出公比q，利用等比数列通项公式求得结果；（2）利用nS求出nc，从而求得nb；利用分组求和法求得结果.【详解】(1)12313aaa211213aa qa q，又11a2120qq3q或4qna各项均为正数
16、3q1113nnnaa q(2)由22nnnS得，当2n时：1nnncSSn当1n时，111cS也合适上式*ncn nN由nnnbac得：13nnbn第 11 页 共 15 页201111312.33.3213123nnnnnnnnTn【点睛】本题考查等比数列通项公式求解、分组求和法求数列前n项和，涉及到利用nS求解通项公式、等差数列和等比数列求和公式的应用.19在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且coscos2bAaBc.（1）证明：tan3tanBA；（2）若2223bcabc，且ABC的面积为3，求a.【答案】（1）见解析（2）2【解析】试题分析：（1）由coscos2
17、bAaBc，根据正弦定理可得sin coscos sinBABA2sin2sinCAB，利用两角和的正弦公式展开化简后可得sin cos3cos sinBABA，所以，tan3tanBA；（2）由2223bcabc，根据余弦定理可得3cos2A，结合（1）的结论可得三角形为等腰三角形，于是可得ac，由12sin23Sac213322a，解得2a.试题解析：（1）根据正弦定理，由已知得：sin coscos sinBABA2sin2sinCAB，展开得：sin coscos sinBABA2 sin coscos sinBABA，整理得：sin cos3cos sinBABA，所以，tan3ta
18、nBA.（2）由已知得：2223bcabc，222cos2bcaAbc3322bcbc，由0A，得：6A，3tan3A，tan3B，由0B，得：23B，所以6C，ac，由12sin23Sac213322a，得：2a.20如图，正四棱锥SABCD中，4SA，2AB，E为SC中点.第 12 页 共 15 页（1）求证：/SA平面BDE；（2）求异面直线SA与BE所成角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）63【解析】（1）连接AC，交BD于点O，连接OE，证出/OE SA，利用线面平行的判定定理即可证出.（2）由（1）得出故BEO（或其补角）为异面直线SA与BE所成的角，由SCBSCD，得出O
19、EBD，在Rt OBE中即可求解.【详解】证明：（1）连接AC，交BD于点O，连接OE.四棱锥 SABCD 为正四棱锥，四边形ABCD为正方形，O为AC中点，E为SC中点，OE为SAC的中位线，/OE SA，OE平面BDE，SA平面BDE，/SA平面BDE.（2）由（1）知：/OE SA，故BEO（或其补角）为异面直线SA与BE所成的角.第 13 页 共 15 页4SASBSCSD，2AB，2OE，122OBODBD.由四棱锥 SABCD 为正四棱锥知：SCBSCD.E为SC中点，EBED，OEBD，即90BOE.226BEOEOB，26cos36OEBEOBE，即异面直线SA与BE所成角的余
20、弦值为63.【点睛】本题考查了线面平行的判定定理、异面直线所成的角，考查了学生的逻辑推理能力，属于基础题.21设122,4aa，数列 bn满足：bn+1 2bn+2，且 an+1anbn；（1）求证：数列bn+2是等比数列；（2）求数列an的通项公式【答案】（1）见解析（2）122nn【解析】（1）利用已知求得：12b，整理 bn+12bn+2 可得：bn+1+22（bn+2），问题得证。（2）利用（1）中结论求得：bn2n+12，即：an+1anbn2n+12，将na转化为：112211nnnnnaaaaaaaa，再利用分组求和法求和即可【详解】（1）证明：a12，a24，且 an+1anb
21、n；b1a2a1422由 bn+12bn+2，变形为：1222+nnbb，数列 bn+2 是等比数列，首项为4，公比为2（2）解：由（1）可得：bn+24 2n1，可得 bn2n+12 an+1an bn 2n+1 2112211nnnnnaaaaaaaa第 14 页 共 15 页122222222nn1222222(1)nnn2 212 1n2n+2 2n+12n【点睛】本题主要考查了等比数列的证明及等比数列的通项公式，还考查了构造能力及分组求和方法，考查了等比数列的前n项和公式及计算能力，属于中档题。22设函数21fxxmxm.（1）求不等式0fx的解集；（2）若对于1,2x，4fxm恒成
22、立，求m的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）,3.【解析】（1）由0fx得10 xmx，然后分1m、1m、1m三种情况来解不等式0fx；（2）由4fxm恒成立，由参变量分离法得出41mxx，并利用基本不等式求出41xx在1,2 上的最小值，即可得出实数m的取值范围.【详解】（1）0fx，210 xmxm，10 xmx.当1m时，不等式0fx的解集为,1m；当1m时，原不等式为210 x，该不等式的解集为；当1m时，不等式0fx的解集为1,m；（2）由题意，当1,2x时，2140 xmx恒成立，即1,2x时，41mxx恒成立.由基本不等式得441213xxxx，当且仅当21,2x时，等号成立，所以，3m，因此，实数m的取值范围是,3.第 15 页 共 15 页【点睛】本题考查含参二次不等式的解法，同时也考查了利用二次不等式恒成立求参数的取值范围，在含单参数的二次不等式恒成立问题时，可充分利用参变量分离法，转化为函数的最值来求解，可避免分类讨论，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.