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1、例 1 当 m 为何实数时，复数immmmmz)103(25232222；（1）是实数；（2）是虚数；（3）是纯虚数。解：（1）z 为实数，则虚部01032mm，即025010322mmm解得 m=2 m=2 时，z 为实数（2）z 为虚数，则虚部01032mm，即025010322mmm解得2m且5m（3）z 为纯虚数02501030232222mmmmm解得21m 当21m时，z 为纯虚数 例 3 求同时满足下列条件的所有复数z：（1）zz10是实数，且6101zz。（2）z的实部和虚部都是整数。解：设Rbabiaz,(且)022ba则22)(101010babiabiabiabiazzi
2、babbaa)101()101(2222由（1）知zz10是实数，且6101zz0)101(22bab即0b或1022ba又6)101(122baa当 b=0 时，*化为6101aa无解。当1022ba时，*化为621a321a由（2）知3,2,1a 相应的3b，6（舍），1因此，复数z 为：i 31或i3 例 4 设复数1|iz，且0z，iz2。又复数w使ziziww22为实数，问复数w在复平面上所对应的点Z 的集合是什么图形，并说明理由。分析与解答：设biaz，),(Ryxbayixw由题0z，iz2且1|iz0a，0b且0222bba记ziziwwu22biaibiaiyixyix222
3、22222222)2()2(2)2(baaibbayxxiyyx2222222)2(2)2(baaiyxxiyyx已知 u 为实数02)2(2222222baayxyyx0a0222yyx即1)1(22yx w 在复平面上所对应的点Z 的集合是以（0，1）为圆心，1 为半径的圆又02iw 除去（0，2）点。例 5 设虚数21,zz，满足221zz（1）若21,zz又是一个实系数一元二次方程的两根，求21,zz。（2）若miz11（i 为虚数单位，Rm），2|1z，复数32zw，求|w的取值范围。解：（1）21,zz是一个实系数一元二次方程的两个虚根，因此必共轭，可设Rbabiaz,(1且)0b
4、，则biaz2由221zz得biabia2)(即：biaabiba222根据复数相等，bababa2220b解得2321ba或2321baiziz2321232121或iziz2321232121（2）由于mizzz1,1221，32zwmimmiw243)1(2212)2(4)4(|22222mmmw由于2|1z且0m，可解得102m，令um2，12)2(|2uw在1,0(u上，12)2(2u是减函数)4,13|w 例 6 已知复数z 满足izizz31)3(，求 z。方法一：设),(Ryxyixz，则)3(1)(322iyixiyx即ixiyyx313322由复数相等得331322xyyx
5、解得01yx或31yx1z或iz31方法二：)3(1)3(izizzizizz331即Rziz)1(31|21z是纯虚数或0可令)(1Raaiz则iaiia31)33(12即032aa0a或3a故1z或iz31 例 7 已知复数z 满足1|z且0212zzz，求 z 的值。解：设),(Ryxyixz，由已知得122yx（1）zzz212)(21)(2yixyixyixiyxyxyx)2()3(22依题意得)3(02)2(0322yxyxyx由（3）得0y或21x（1）当0y时，由（1）知1x但1x与（2）矛盾1x，即11z（2）当21x时，由（1）得23y把y值代入（2）均成立综上可知：11z
6、iz23212，iz23213 例 8 设ba,为共轭复数，且iabiba643)(2，求a和b。解：ba,为共轭复数 设),(Ryxyixa则yixb由iabiba643)(2得iiyxx64)(3)2(222，即6)(344222yxx1122yx11yxia1，ib1；ia1，ib1；ia1，ib1；ia1，ib1。例 9 已知关于x 的方程)(09)6(2Raaixix有实数根b。（1）求实数ba,的值；（2）若复数z满足0|2|zbiaz，当 z 为何值时|z有最小值，并求出|z的最小值。解：（1）b是方程)(09)6(2Raaixix的实根0)()96(2ibabb00962bab
7、b3ba（2）设),(Ryxyixz0|2|33|ziz|2|33|yixiyix即)(4)3()3(2222yxyx整理，得8)1()1(22yx 复数z对应点的轨迹是以)1,1(1O为圆心，以22为半径的圆。如图所示连结圆心1O和原点 O，并延长交圆1O于点 P，当复数z 为点 P对应的复数时,|z最小可求得)1,1(Piz1,2|minz【模拟试题】1.已 知 关 于x的 实 系 数 方 程044222aaaxx的 两 虚 根 为21,xx,且3|21xx，则a的值为。2.已知iyyix)3()12(，其中Ryx,，求 x=，y=。3.200532iiii。4.已知Rtyx,，1t且0t
8、，求满足ittttyix)1(1时，点),(yx的轨迹方程。5.计算（1）)34)(7()26)(4(1175iiii（2）745)11()11()22(1iiiii（3）812)3122()2123(iii6.计算：（1）2219)21()5(32132iiii（2）54)31()22(ii7.设i2321，计算：)1)(1(22【试题答案】1.212.25；4 3.i4.1xy5.解析：（1）原式=)34)(7()3)(4(2iiii)321428()4312(222iiiiii)1(25)711(2iii3947（2）745)11()11()22(1iiiii722225)1(1)1()
9、1()2(iiiiiii41)1(216i)1216()41216(（3）812)3122()2123(iii8121223211)2123()(iiii334212)2321()2321()1()2321(iiii)388()2321(43iiii38738816.解析：（1）2219)21()5(32132iiii112244)21()(5321)321(iiiiiiiiiii5511（2）令i2321，则13，于是525544542)2()2321(2)1(2)31()22(iiiiii 312267.解析：因为i2321所以012，13从而21，21所以，原式44)2)(2(32201
10、0 年高考数学选择题试题分类汇编复数（2010 湖南文数）1.复数21i等于A.1+I B.1-i C.-1+i D.-1-i（2010 浙江理数）（5）对任意复数i,Rzxyx y，i为虚数单位，则下列结论正确的是（A）2zzy（B）222zxy（C）2zzx（D）zxy解析：可对选项逐个检查，A项，yzz2，故 A错，B项，xyiyxz2222，故 B错，C项，yzz2，故 C错，D项正确。本题主要考察了复数的四则运算、共轭复数及其几何意义，属中档题（2010 全国卷 2 理数）（1）复数231ii（A）34i（B）34i（C）34i（D）34i【答案】A 【命题意图】本试题主要考查复数的
11、运算.【解析】231ii22(3)(1)(12)342iiii.（2010 陕西文数）2.复数z=1ii在复平面上对应的点位于A(A)第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限解析：本题考查复数的运算及几何意义1iiiii21212)1(，所以点（)21,21位于第一象限（2010 辽宁理数）(2)设 a,b 为实数，若复数11+2iiabi，则（A）31,22ab (B)3,1ab(C)13,22ab (D)1,3ab【答案】A【命题立意】本题考查了复数相等的概念及有关运算，考查了同学们的计算能力。【解析】由121iiabi可得12()()iabab i，所以12abab，解得32a
12、，12b，故选 A。（2010 江西理数）1.已知（x+i）（1-i）=y，则实数x，y 分别为（）A.x=-1，y=1 B.x=-1，y=2 C.x=1，y=1 D.x=1，y=2【答案】D【解析】考查复数的乘法运算。可采用展开计算的方法，得2()(1)xix iy，没有虚部，x=1,y=2.（2010 安徽文数）(2)已知21i，则 i(13i)=(A)3i (B)3i (C)3i (D)3i2.B【解析】(13)3iii，选 B.【方法总结】直接乘开，用21i代换即可.（2010 浙江文数）3.设 i 为虚数单位，则51ii(A)-2-3i(B)-2+3i(C)2-3i(D)2+3i 解
13、析：选C，本题主要考察了复数代数形式的四则运算，属容易题（2010 山东文数）（2）已知2,aibi a bRi，其中i为虚数单位，则abA.1 B.1 C.2 D.3 答案：B（2010 北京文数）在复平面内，复数6+5i,-2+3i 对应的点分别为A,B.若 C 为线段AB的中点，则点C对应的复数是（A）4+8i (B)8+2i （C）2+4i (D)4+i 答案：C（2010 四川理数）（1）i是虚数单位，计算ii2i3（A）1 （B）1 （C）i（D）i解析：由复数性质知：i2 1 故ii2i3i(1)(i)1 答案：A（2010 天津文数）(1)i是虚数单位，复数31ii=(A)1+
14、2i (B)2+4i (C)-1-2i (D)2-i【答案】A【解析】本题主要考查复数代数形式的基本运算，属于容易题。进行复数的除法的运算需要份子、分母同时乘以分母的共轭复数，同时将i2改为-1.331+24121-(1-)(1+)2iiiiiiii（）()【温馨提示】近几年天津卷每年都有一道关于复数基本运算的小题，运算时要细心，不要失分哦。（2010 天津理数）（1）i 是虚数单位，复数1312ii(A)1 i (B)55i (C)-5-5i (D)-1i 【答案】A【解析】本题主要考查复数代数形式的基本运算，属于容易题。进行复数的除法的运算需要份子、分母同时乘以分母的共轭复数，同时将i2改
15、为-1.1312ii-+551(12)(12)5iiii（1 3i）(1-2i)【温馨提示】近几年天津卷每年都有一道关于复数基本运算的小题，运算时要细心，不要失分哦。（2010 广东理数）2.若复数z1=1+i，z2=3-i，则z1z2=（）A4+2 i B.2+i C.2+2 i D.3 2.A 12(1)(3)1 31 1(31)42zziiii（2010 福建文数）4i是虚数单位,41i()1-i等于 ()Ai B-i C1 D-1【答案】C【解析】41i()1-i=244(1i)=i=12,故选 C【命题意图】本题考查复数的基本运算,考查同学们的计算能力（2010 全国卷 1 理数）(
16、1)复数3223ii(A)i (B)i (C)12-13i (D)12+13i（2010 山东理数）(2)已知2(,)aibi a bi2aibii（a,b R），其中 i 为虚数单位，则 a+b=(A)-1 (B)1 (C)2 (D)3【答案】B【解析】由a+2i=b+ii得a+2i=bi-1,所以由复数相等的意义知a=-1,b=2,所以a+b=1,故选B.【命题意图】本题考查复数相等的意义、复数的基本运算，属保分题。1.（2010 安徽理数）1、i是虚数单位，33iiA、13412iB、13412iC、1326iD、1326i1.B【解析】(33)3313391241233iiiiii，选
17、 B.【规律总结】33ii为分式形式的复数问题，化简时通常分子与分母同时乘以分母的共轭复数3i，然后利用复数的代数运算，结合21i得结论.2.（2010 福建理数）（2010 湖北理数）1若 i 为虚数单位，图中复平面内点Z 表示复数 Z，则表示复数1zi的点是AE B.F C.G D.H 1【答案】D【解析】观察图形可知3zi,则3211ziiii，即对应点H（2，1），故 D正确.导数一导数的概念（一）导数的定义1.导数的原始定义：设函数)(xfy在0 xx处附近有定义，如果0 x时，y与x的比xy(也叫函数的平均变化率)有极限即xy无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(xfy在
18、0 xx处的导数，记作0/xxy，即xxfxxfxfx)()(lim)(0000/2 导函数的定义：如果函数)(xfy在开区间),(ba内的每点处都有导数，此时对于每一个),(bax，都对应着一个确定的导数)(/xf，从而构成了一个新的函数)(/xf,称这个函数)(/xf为函数)(xfy在开区间内的导函数，简称导数。（二）导数的实际意义：1.导数的几何意义：/0()fx是曲线)(xfy上点()(,00 xfx)处的切线的斜率因此，如果)(xfy在点0 x可导，则曲线)(xfy在点()(,00 xfx)处 的切线方程为)()(00/0 xxxfxfy2.导数的物理意义：导数是物体变速直线运动的瞬
19、时速度，也叫做瞬时变化率。（三）概念部分题型：1.利用定义求函数)(xfy的导数主要有三个步骤：(1)求函数的改变量)()(xfxxfy(2)求平均变化率xxfxxfxy)()(3)取极限，得导数/y()fxxyx0lim2.利用导数的实际意义解题主要有两种：求切线方程和瞬时速度，考试重点为求切线方程。二导数的运算（一）常见函数的导数10C 21)(nnnxx 3xxee)(4aaaxxln)(51(ln)xx 6axexxaaln1log1)(log 7xxcos)(sin 8xxsin)(cos（二）导数的四则运算 1和差：()u vuv2积：vuvuuv)(3商：2)(vvuvuvu（三
20、）复合函数的导数：1运算法则复合函数导数的运算法则为：()()()fg xfgg x2复合函数的求导的方法和步骤：求复合函数的导数一定要抓住“中间变量”这一关键环节，然后应用法则，由外向里一层层求导，注意不要漏层。求复合函数的导数的方法步骤：(1)分清复合函数的复合关系，选好中间变量(2)运用复合函数求导法则求复合函数的导数，注意分清每次是哪个变量对哪个变量求导数(3)根据基本函数的导数公式及导数的运算法则求出各函数的导数，并把中间变量换成自变量的函数三导数的应用（一）利用导数判断函数单调性及求解单调区间。1.导数和函数单调性的关系：(1)若 f(x)0 在(a，b)上恒成立，则f(x)在(a
21、，b)上是增函数，f(x)0 的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；(2)若 f(x)0 在(a，b)上恒成立，则f(x)在(a，b)上是减函数，f(x)0，则f(x)在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f(x)0 时,和 s 总是趋向于一个定值,则该定值便称为函数()f x在,a b上的定积分,记为badxxf)(，即()baf x dxniiixf10)(lim其中,xiniif)(1称为函数()fx在区间,a b的积分和.2、定积分的几何意义定积分badxxf)(在几何上,当()0f x时,表示由曲线()yf x、直线xa、直线xb与x轴所围成的曲边梯形的面积；当()0f x时，表
22、示由曲线()yfx、直线xa、直线xb与x轴所围成的曲边梯形的面积的负值；一般情况下，表示介于曲线()yf x、两条直线xa、xb与x轴之间的个部分面积的代数和（二）微积分基本定理1、基本定理若函数()fx在ba,上连续，且存在原函数()F x，即baxxfxF,，则f在ba,上可积，且.aFbFdxxfba这称为牛顿一莱布尼茨公式，它也常写成.babaxFdxxf二、常用的不定积分公式：1.Cdx02.Cxdxx111(1)3.Cxdxxln14.Caadxaxxln1(0a，1a)5.Cedxexx6.Cxxdxcossin7.Cxxdxsincos8.Cxxdxtansec29.Cxxdxcotcsc2本节主要考察利用积分的公式熟练的计算。