【精编】数值分析典型例题.pdf

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1、第一章典型例题例 3 ln2=0.69314718，精确到 10 3的近似值是多少？解 精确到 1030.001，即绝对误差限是0.0005,故至少要保留小数点后三位才可以。ln20.693第二章典型例题例 1 用顺序消去法解线性方程组xxxxxxxxx解 顺序消元1717005.555.0014125.025.105.555.001412142141231412bA)3()2/1()2/3(231312rrrrrr于是有同解方程组17175.555.0142332321xxxxxx回代得解x3=1,x2=1,x1=1,原线性方程组的解为X(1,1,1)T例 2取初始向量X(0)=(0,0,0

2、)T,用雅可比迭代法求解线性方程组xxxxxxxxx解 建立迭代格式5223122)(2)(1)1(3)(3)(1)1(2)(3)(2)1(1kkkkkkkkkxxxxxxxxx(k=1,2,3,)第 1 次迭代,k=0X(0)0，得到X(1)(1,3,5)T第 2 次迭代，k=13532123351515232)2(3)2(2)2(1xxxX(2)(5,3,3)T第 3 次迭代，k=215)3(25213)3(511)3(2)3(2)2(3)3(2)3(1xxxX(3)(1,1,1)T第 4 次迭代，k=31512121311111212)2(3)2(2)2(1xxx X(4)(1,1,1)

3、T例 4证明例 2 的线性方程组，雅可比迭代法收敛，而高斯赛德尔迭代法发散。证明 例 2 中线性方程组的系数矩阵为A122111221于是D100010001D1D022001000L000100220U雅可比迭代矩阵为B0022101220022101220100010001)UL(D10)1(22 2)1(2)2(2221102221122BI30得到矩阵B0的特征根03,2,1，根据迭代基本定理4，雅可比迭代法收敛。高斯赛德尔迭代矩阵为GU)LD(120032022000010022012001100100010022012201100110)2(20032022I2G解得特征根为1=0

4、，2,3=2。由迭代基本定理 4 知，高斯赛德尔迭代发散。例 5 填空选择题：1.用高斯列主元消去法解线性方程组xxxxxxxx作第 1 次消元后的第 2，3 个方程分别为。答案：5.35.125.15.03232xxxx解答 选a21=2为主元，作行互换，第 1 个方程变为：2x1+2x2+3x3=3，消元得到5.35.125.15.03232xxxx是应填写的内容。3.用高斯赛德尔迭代法解线性方程组xxxxxxxxx的迭代格式中)1(2kx (k=0,1,2,)答案：)(3)1(13kkxx解答：高斯赛德尔迭代法就是充分利用已经得到的结果，求x2的值时应该用上x1的新值。第三章典型例题例

5、1 已知函数y=f(x)的观察数据为xk2045yk5131试构造拉格朗日插值多项式Pn(x)，并计算f(1)的近似值。只给 4 对数据，求得的多项式不超过3 次解 先构造基函数)()()()()(xxxxxxxl)()()()()()()(xxxxxxxl)()()()()()(xxxxxxxl35)4()2()45)(05)(25()4()2()(3xxxxxxxl所求三次多项式为P3(x)=nkkkxly0)()(xxx)()(xxx)()(xxx)()(xxxxxxf(1)P3(1)例 3 设nxxxx,.,是n+1 个互异的插值节点，),.,)(nkxlk是拉格朗日插值基函数，证明：

6、(1)nkkxl)(2),.,()(nmxxxlmnkmkk证明(1)Pn(x)=y0l0(x)+y1l1(x)+ynln(x)=nkkkxly0)()()()(),()!()()()(xRxPxfxnfxRnnnnn当f(x)1 时，1)()!()()()()()(xnfxlxRxPnnkkknn由于)()(xfn，故有nkkxl)(2)对于f(x)=xm,m=0,1,2,n，对固定xm(0m n),作拉格朗日插值多项式，有)()!()()()()()(xnfxlxxRxPxnnnkkmknnm当nm1 时，f(n+1)(x)=0，Rn(x)=0，所以mnkkmkxxlx)(注意：对于次数不

7、超过n的多项式axaxaxaxQnnnnn.)(,利用上结果，有axaxaxaxQnnnnn.)(=nkknkkknknkknnknkknxlaxxlaxxlaxxla)()(.)()(=nkkknnkknknnknkxlxQaaxxaxaxl00011)()(.)(上式nkkknxlxQ0)()(正是Qn(x)的拉格朗日插值多项式。可见，Qn(x)的拉格朗日插值多项式就是它自身，即次数不超过n的多项式在n+1 个互异节点处的拉格朗日插值多项式就是它自身。例 5 已知数据如表的第2，3 列，试用直线拟合这组数据。解计算列入表中。n=5。a0,a1满足的法方程组是kxkykkxxkyk11414

8、224.5493369184481632558.52542.5153155105.5.aaaa解得a0=2.45,a1=1.25。所求拟合直线方程为y=2.45+1.25x例 6 选择填空题1.设y=f(x),只要x0,x1,x2是互不相同的3 个值，那么满足P(xk)=yk(k=0,1,2)的f(x)的插值多项式P(x)是 (就唯一性回答问题)答案：唯一的3.拉格朗日插值多项式的余项是(),牛顿插值多项式的余项是()(A)()!()()()()()(xnfxPxfxRnnnn(B)f(x,x0,x1,x2,xn)(xx1)(xx2)(xxn 1)(xxn)(C)!()()()()()(nfx

9、PxfxRnnn (D)f(x,x0,x1,x2,xn)(xx0)(xx1)(xx2)(xxn 1)(xxn)答案：(A)，(D)。见教材有关公式。第四章典型例题例 1 试确定求积公式)()(d)(ffxxf的代数精度。依定义，对xk(k=0,1,2,3,)，找公式精确成立的k数值解 当f(x)取 1,x,x2,时，计算求积公式何时精确成立。(1)取f(x)=1,有左边xxxfdd)(,右边)()(ff(2)取f(x)=x,有左边xxxfdd)(,右边)()(ff(3)取f(x)=x2,有左边=xxxxfdd)(,右边=)()()()(ff(4)取f(x)=x3,有左边=xxxxfdd)(,右

10、边=)()()()(ff(5)取f(x)=x4,有左边=xxxxfdd)(,右边=)()()()(ff当k3 求积公式精确成立，而x4公式不成立，可见该求积公式具有 3 次代数。例 5 试确定求积公式)()0()()0(2d)(20hffahhffhxxfh中的参数a，并证明该求积公式具有三次代数精度。解公式中只有一个待定参数a。当f(x)=1,x时，有0 112d10hxh,即h=h)11(02d120ahhhxxh,2222hh不能确定a，再令f(x)=x2,代入求积公式，得到)202(02d2202hahhhxxh,即333223ahhh得121a.求积公式为)()0(12)()0(2d

11、)(20hffhhffhxxfh将f(x)=x3代入上求积公式，有)303(1202d22303hhhhxxh可见，该求积公式至少具有三次代数精度。再将f(x)=x4代入上公式中，有)404(1202d32404hhhhxxh所以该求积公式具有三次代数精度。例 6 选择填空题1.牛 顿 科 茨 求 积 公 式 与 高 斯型 求 积 公 式的 关 键 不同 点是。解答：牛顿科茨求积公式的节点和求积系数确定后，再估计其精度；高斯型求积公式是由精度确定其节点和求积系数。第五章典型例题例 1 证明方程 1xsinx0 在区间0,1 内有一个根，使用二分法求误差不超过 0.5104的根要迭代多少次？证明

12、 令f(x)1xsinxf(0)=10，f(1)=sin10(x0，1),故f(x)0 在区间0，1 内有唯一实根。给定误差限0.5 104，有.lnln.lnlnln)ln(abn只要取n14。例 2 用迭代法求方程x54x20 的最小正根。计算过程保留4位小数。分析 容易判断 1，2 是方程的有根区间。若建立迭代格式),()(,)(,xxxxxxx即，此时迭代发散。建立迭代格式)21(54)24(54)(,24)(,245455xxxxxxx，此时迭代收敛。解 建立迭代格式xxxx)(,1),21(54)24(54)(054xxxx取初始值(可任取1，2 之间的值)xx1.431 0 .x

13、x1.505 1.xx1.516 5 .xx1.518 2.xx1.5185 取x1.5185例 3 试建立计算a的牛顿迭代格式，并求.的近似值，要求迭代误差不超过105 分析 首先建立迭代格式。确定取几位小数,求到两个近似解之差的绝对值不超过 105。解 令axxfax)(,，求x的值。牛顿迭代格式为),.,()()(kxaxxaxxxfxfxxkkkkkkkkk迭代误差不超过 105，计算结果应保留小数点后6 位。当x=7或 8 时，x3=343或 512，)()(,)()(ffff而,取x0=8,有.xaxx7.478 078.xaxx7.439 956 .xx.xaxx7.439760

14、.xx.xaxx7.439760于是，取x7.439760例 4 用弦截法求方程x3x210，在x=1.5 附近的根。计算中保留 5 位小数点。分析 先确定有根区间。再代公式。解f(x)=x3x21，f(1)=1，f(2)=3，有根区间取 1,2取x1=1,迭代公式为)()()()(nnnnnnnxxxfxfxfxx(n=1,2,).)(xxxxxxxxxx).(.x1.37662).(.x1.48881).(.x1.46348).(.x1.46553取x1.46553，f(1.46553)0.000145例 4 选择填空题1.设函数f(x)在区间a,b 上连续，若满足，则方程f(x)=0 在区间 a,b 一定有实根。答案：f(a)f(b)0 4牛顿切线法是用曲线f(x)上的与x轴的交点的横坐 标 逐 步逼 近f(x)0 的解；而 弦 截 法 是 用 曲 线f(x)上 的与x轴的交点的横坐标逐步逼近f(x)0 的解。答案：点的切线；两点的连线解答：见它们的公式推导.