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1、2019-2020 学年广西省南宁三中重点班高二第二学期期末数学试卷（文科）一、选择题（共12 小题）.1已知集合Ax|x22x 30，集合 Bx|2x+11，则?BA（）A3，+）B（3，+）C（，1 3，+）D（，1）（3，+）2设 i 为虚数单位，复数z满足 z（i2）5，则在复平面内，对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3某珠宝店丢了一件珍贵珠宝，以下四人中只有一人说真话，只有一人偷了珠宝甲：我没有偷；乙：丙是小偷；丙：丁是小偷；丁：我没有偷根据以上条件，可以判断偷珠宝的人是（）A甲B乙C丙D丁4已知函数f（x）x32x2，x 1，3，则下列说法不正确的是（）A最大
2、值为9B最小值为3C函数 f（x）在区间 1，3上单调递增Dx0 是它的极大值点5函数 f（x）+x 的值域是（）A，+）B（，C（0，+）D1，+）6以下四个命题：若 pq 为假命题，则p，q 均为假命题；对于命题p：?x0 R，x02+x0+10，则 p 为：?x?R，x2+x+10；“a2”是“函数f（x）logax 在区间（0，+）上为增函数”的充分不必要条件；f（x）sin（x+）为偶函数的充要条件是 其中真命题的个数是（）A1B2C3D47已知函数f（x）x5+ax3+bx8，且 f（2）10，那么 f（2）等于（）A 10B 18C 26D108已知 f（x）alnx+x2（a0
3、），若对任意两个不等的正实数x1，x2，都有2 恒成立，则a 的取值范围是（）A（0，1B（1，+）C（0，1）D1，+）9已知函数f（x）2x33x，若过点P（1，t）存在 3 条直线与曲线yf（x）相切，则t的取值范围为（）A（，3）B（3，1）C（1，+）D（0，1）10定义在R 上的奇函数f（x）满足f（）f（），当时，f（x）16x1，则 f（100）（）AB 1CD 211已知函数yf（x）（x R）满足 f（x+2）2f（x），且 x 1，1时，f（x）|x|+1，则当 x 10，10时，yf（x）与 g（x）log4|x|的图象的交点个数为（）A13B12C11D1012已知函
4、数f（x）x3+1+a（xe，e 是自然对数的底）与g（x）3lnx 的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（）A0，e34B0，+2C+2，e34De34，+）二、填空题（本大题共4 小题，每小题5 分）13计算：2+2log31 3log77+3ln114函数 f（x）x29lnx 的单调减区间为15若曲线yax2lnx 在点（1，a）处的切线平行于x 轴，则 a16已知函数f（x）2klnx+kx，若 x2 是函数f（x）的唯一极值点，则实数k 的取值集合是三、解答题（解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤.第 17-21 题每题12 分，选做题10分，共 70 分.）1
5、7如图，ABC 中，AC2，D 是边 BC 上一点（1）若，BD 2，求 C；（2）若 BD 3CD，求 ACD 面积的最大值18如图，三棱柱ABC A1B1C1中，D 是 AB 的中点（）证明：BC1平面 A1CD；（）若 ABC 是边长为2 的正三角形，且BCBB1，CBB160，平面ABC平面 BB1C1C，求三棱锥ADCA1的体积19近年来，国资委、党委高度重视扶贫开发工作，坚决贯彻落实中央扶贫工作重大决策部署，在各个贫困县全力推进定点扶贫各项工作，取得了积极成效，某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地，已知土地的使用面积以及相应的管理时间的关系如表所示：土地使用面积x
6、（单位：亩）12345管理时间y（单位：月）810132524并调查了某村300 名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如表所示：愿意参与管理不愿意参与管理男性村民15050女性村民50（1）求出相关系数r 的大小，并判断管理时间y与土地使用面积x 是否线性相关？（2）是否有 99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性？（3）若以该村的村民的性别与参与管理意愿的情况估计贫困县的情况，则从该贫困县中任取 3 人，记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为x，求 x 的分布列及数学期望参考公式：，其中 na+b+c+d临界值表：P（K2 k0）0.1000.0500.0250.0100.0
7、01k02.7063.8415.0246.63510.828参考数据：25.220已知椭圆的右焦点为F，上顶点为M，直线FM 的斜率为，且原点到直线FM 的距离为（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）若不经过点F 的直线 l：y kx+m（k0，m0）与椭圆C 交于 A，B 两点，且与圆 x2+y21 相切试探究ABF 的周长是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由21已知函数f（x）xlnx 2ax2+x，a R（）若f（x）在（0，+）内单调递减，求实数a 的取值范围；（）若函数f（x）有两个极值点分别为x1，x2，证明：x1+x2选做题：考生需从第22 题和第 23 题中选一道作答.
8、选修 4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系xOy 中，曲线C1的参数方程为（为参数），以坐标原点 O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，点A 为曲线 C1上的动点，点B 在线段 OA 的延长线上，且满足|OA|?|OB|8，点 B 的轨迹为C2（）求曲线C1，C2的极坐标方程；（）设点M 的极坐标为，求 ABM 面积的最小值选修 4-5：不等式选讲23设函数f（x）|2x1|+|2xa|，x R（1）当 a4 时，求不等式f（x）9 的解集；（2）对任意 x R，恒有 f（x）5a，求实数a 的取值范围参考答案一、选择题（本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分，在每小题给
9、出的四个选项中，只有-项是符合题目要求的）1已知集合Ax|x22x 30，集合 Bx|2x+11，则?BA（）A3，+）B（3，+）C（，1 3，+）D（，1）（3，+）【分析】根据集合A 是二次不等式的解集，集合B 是指数不等式的解集，因此可求出集合 A，B，根据补集的求法求得?BA解：Ax|x22x30 x|1x3，B x|2x+11x|x 1，?BA3，+）故选：A2设 i 为虚数单位，复数z满足 z（i2）5，则在复平面内，对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义即可得出解：z（i2）5，则 z 2 i则在复平面内，2
10、+i 对应的点（2，1）位于第二象限故选：B3某珠宝店丢了一件珍贵珠宝，以下四人中只有一人说真话，只有一人偷了珠宝甲：我没有偷；乙：丙是小偷；丙：丁是小偷；丁：我没有偷根据以上条件，可以判断偷珠宝的人是（）A甲B乙C丙D丁【分析】此题可以采用假设法进行讨论推理，即可得出结论解：假如甲：我没有偷是真的，乙：丙是小偷、丙：丁是小偷是假的，丁：我没有偷就是真的，与他们四人中只有一人说真话矛盾，假如甲：我没有偷是假的，那么丁：我没有偷就是真的，乙：丙是小偷、丙：丁是小偷是假的，成立，故选：A4已知函数f（x）x32x2，x 1，3，则下列说法不正确的是（）A最大值为9B最小值为3C函数 f（x）在区间
11、 1，3上单调递增Dx0 是它的极大值点【分析】对f（x）求导，分析f（x）的正负，进而得f（x）的单调区间，极值可判断C 错误，D 正确，再计算出极值，端点处函数值f（1），f（3），可得函数f（x）的最大值，最小值，进而可判断A 正确，B 正确解：f（x）3x24x，令 f（x）3x24x0，解得 x0 或 x，所以当 x 1，0），（，3时，f（x）0，函数 f（x）单调递增，当 x（0，）时，f（x）0，函数 f（x）单调递减，C 错误，所以 x0 是它的极大值点，D 正确，因为 f（0）0，f（3）27299，所以函数f（x）的最大值为9，A 正确，因为 f（1）12 3，f（）2，
12、所以函数f（x）的最小值为 3，B 正确，故选：C5函数 f（x）+x 的值域是（）A，+）B（，C（0，+）D1，+）【分析】由y，+）和 yx 在，+）上均为增函数，可得故f（x）+x在，+）上为增函数，求出函数的定义域后，结合单调性，求出函数的最值，可得函数的值域解：函数f（x）+x 的定义域为，+）y，+）和 yx 在，+）上均为增函数故 f（x）+x 在，+）上为增函数当 x时，函数取最小值，无最大值，故函数 f（x）+x 的值域是，+）故选：A6以下四个命题：若 pq 为假命题，则p，q 均为假命题；对于命题p：?x0 R，x02+x0+10，则 p 为：?x?R，x2+x+10；
13、“a2”是“函数f（x）logax 在区间（0，+）上为增函数”的充分不必要条件；f（x）sin（x+）为偶函数的充要条件是 其中真命题的个数是（）A1B2C3D4【分析】直接利用命题的否定的应用，真值表的应用，三角函数关系式的恒等变换，指数函数的性质的应用求出结果解：若 p q 为假命题，则命题p 和 q 为一真一假和全部为假，故p，q 均为假命题错误；对于命题p：?x0 R，x02+x0+10，则 p 为：?x R，x2+x+10；故错误“a2”是“函数 f（x）logax 在区间（0，+）上为增函数；当函数f（x）logax在区间（0，+）上为增函数，则a1故“a2”是“函数f（x）lo
14、gax 在区间（0，+）上为增函数”的充分不必要条件；正确 f（x）sin（x+）为偶函数则 k+（k Z），故错误故选：A7已知函数f（x）x5+ax3+bx8，且 f（2）10，那么 f（2）等于（）A 10B 18C 26D10【分析】令g（x）x5+ax3+bx，由函数奇偶性的定义得其为奇函数，根据题意和奇函数的性质求出f（2）的值解：令 g（x）x5+ax3+bx，易得其为奇函数，则 f（x）g（x）8，所以 f（2）g（2）810，得 g（2）18，因为 g（x）是奇函数，即g（2）g（2），所以g（2）18，则 f（2）g（2）8 188 26，故选：C8已知 f（x）alnx+
15、x2（a0），若对任意两个不等的正实数x1，x2，都有2 恒成立，则a 的取值范围是（）A（0，1B（1，+）C（0，1）D1，+）【分析】先将条件“对任意两个不等的正实数x1，x2，都有2 恒成立”转换成 f（x1）2x1f（x2）2x2，构造函数h（x）f（x）2x，根据增减性求出导函数，即可求出a 的范围解：对任意两个不等的正实数x1，x2，都有2 恒成立，假设x1x2，f（x1）f（x2）2x12x2，即 f（x1）2x1 f（x2）2x2对于任意x1 x20 成立，令 h（x）f（x）2x，h（x）在（0，+）为增函数，h（x）+x20 在（0，+）上恒成立，+x20，则 a（2xx
16、2）max1故选：D9已知函数f（x）2x33x，若过点P（1，t）存在 3 条直线与曲线yf（x）相切，则t的取值范围为（）A（，3）B（3，1）C（1，+）D（0，1）【分析】设出切点，由斜率的两种表示得到等式，化简得三次函数，将题目条件化为函数有三个零点，得解解：设过点P（1，t）的直线与曲线yf（x）相切于点（x，2x33x），则6x23，化简得，4x36x2+3+t0，令 g（x）4x3 6x2+3+t，则令 g（x）12x（x1）0，则 x0，x1g（0）3+t，g（1）t+1，又过点P（1，t）存在 3 条直线与曲线yf（x）相切，则（t+3）（t+1）0，解得，3t 1故选：B
17、10定义在R 上的奇函数f（x）满足f（）f（），当时，f（x）16x1，则 f（100）（）AB 1CD 2【分析】根据题意，分析可得f（x+）f（x），变形可得f（x+）f（x+）f（x），即函数f（x）是周期为的周期函数，据此可得f（100）f（），结合函数的解析式分析可得答案解：根据题意，函数f（x）满足 f（）f（），则有f（x）f（+x），又由 f（x）为定义在R 上的奇函数，即f（x）f（x），则 f（x+）f（x），变形可得f（x+）f（x+）f（x），即函数f（x）是周期为的周期函数；则 f（100）f（+67）f（）f（），又由 f（）f（+）f（）f（）11；故 f（10
18、0）f（）1；故选：B11已知函数yf（x）（x R）满足 f（x+2）2f（x），且 x 1，1时，f（x）|x|+1，则当 x 10，10时，yf（x）与 g（x）log4|x|的图象的交点个数为（）A13B12C11D10【分析】在同一坐标系中画出函数f（x）与函数 ylog4|x|的图象，结合图象容易解答本题解：由题意，函数f（x）满足：定义域为R，且 f（x+2）2f（x），当 x 1，1时，f（x）|x|+1；在同一坐标系中画出满足条件的函数f（x）与函数 ylog4|x|的图象，如图：由图象知，两个函数的图象在区间10，10内共有 11 个交点；故选：C12已知函数f（x）x3+
19、1+a（xe，e 是自然对数的底）与g（x）3lnx 的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（）A0，e34B0，+2C+2，e34De34，+）【分析】根据题意，可以将原问题转化为方程a+1x33lnx 在区间，e上有解，构造函数 g（x）x33lnx，利用导数分析g（x）的最大最小值，可得g（x）的值域，进而分析可得方程a+1x33lnx 在区间，e上有解，必有1a+1e33，解可得 a 的取值范围，即可得答案解：根据题意，若函数f（x）x3+1+a（xe，e 是自然对数的底）与g（x）3lnx 的图象上存在关于x 轴对称的点，则方程 x3+1+a 3lnx 在区间，e上有
20、解，x3+1+a 3lnx?a+1x33lnx，即方程a+1x33lnx 在区间，e上有解，设函数 g（x）x33lnx，其导数g（x）3x2，又由 x，e，g（x）0 在 x1 有唯一的极值点，分析可得：当 x 1 时，g（x）0，g（x）为减函数，当 1x e时，g（x）0，g（x）为增函数，故函数 g（x）x33lnx 有最小值g（1）1，又由 g（）+3，g（e）e33；比较可得：g（）g（e），故函数 g（x）x33lnx 有最大值g（e）e33，故函数 g（x）x33lnx 在区间，e上的值域为 1，e33；若方程 a+1x3 3lnx 在区间，e上有解，必有 1a+1e33，则有
21、 0ae34，即 a 的取值范围是0，e34；故选：A二、填空题（本大题共4 小题，每小题5 分）13计算：2+2log31 3log77+3ln10【分析】进行对数的运算即可解：原式 3+2 0 31+30 0故答案为：014函数 f（x）x29lnx 的单调减区间为（0，3【分析】先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系即可求解解：定义域（0，+），易得当 0 x3 时，f（x）0，函数单调递减，故函数的单调递减区间（0，3，故答案为：（0，315若曲线yax2lnx 在点（1，a）处的切线平行于x 轴，则 a【分析】求出原函数的导函数，得到函数在x1 时的导数值，由导数值等于0 求得a的
22、值解：由 yax2lnx，得：，y|x12a1曲线 yax2lnx 在点（1，a）处的切线平行于x 轴，2a10，即 a故答案为：16已知函数f（x）2klnx+kx，若 x2 是函数f（x）的唯一极值点，则实数k 的取值集合是，+）【分析】由已知可知x2 是 f（x）0 唯一的根，进而可转化为k在 x 0 时没有变号零点，构造函数g（x），x0，结合导数及函数的性质可求解：函数定义域（0，+），由题意可得，x2 是 f（x）0 唯一的根，故 ex+kx20 在（0，+）上没有变号零点，即 k在 x0 时没有变号零点，令 g（x），x0，则，当 x2 时，g（x）0，函数单调递增，当0 x2
23、时，g（x）0，函数单调递减，故当 x2 时，g（x）取得最小值g（2），故 k即 k故答案为：）三、解答题（解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤.第 17-21 题每题12 分，选做题10分，共 70 分.）17如图，ABC 中，AC2，D 是边 BC 上一点（1）若，BD 2，求 C；（2）若 BD 3CD，求 ACD 面积的最大值【分析】（1）在 ADC 中，应用正弦定理即可得出答案；（2）从面积公式入手，将面积的最大值问题转移到边的上面，然后通过已知条件，应用余弦定理找出边的关系解：（1）B，BD 2，ABD 是等腰直角三角形，AD在 ADC 中，由正弦定理得：又，C（2）在 ABC
24、 中，由余弦定理得：AC2AB2+BC2 2AB?BCcosB，即，BD 3CD，当且仅当时，取“”所以 AC 面积的最大值为18如图，三棱柱ABC A1B1C1中，D 是 AB 的中点（）证明：BC1平面 A1CD；（）若 ABC 是边长为2 的正三角形，且BCBB1，CBB160，平面ABC平面 BB1C1C，求三棱锥ADCA1的体积【分析】（）在三棱柱ABCA1B1C1中，连接 AC1交 CA1于 E，由三角形中位线定理可得 DEBC1，再由直线与平面平行的判定，可得BC1平面 A1CD；（）取BC 的中点H，连接B1H，证明B1H平面 ABC，得 B1H 是三棱柱的高，且，再求出三角形
25、ABC 的面积，然后利用等体积法求三棱锥ADCA1的体积解：（）证明：在三棱柱ABCA1B1C1中，连接AC1交 CA1于 E，D 是 AB 的中点，E 是 AC1的中点，DE BC1又 DE?平面 A1CD，BC1?平面 A1CD，BC1平面 A1CD；（）取BC 的中点 H，连接 B1H，BC BB1，CBB1 60，CBB1是等边三角形，得B1HBC平面 ABC平面 BB1C1C，平面 ABC 平面 BB1C1CBC，B1H平面 ABC，B1H 是三棱柱的高，且 ABC 是边长为2的正三角形，则19近年来，国资委、党委高度重视扶贫开发工作，坚决贯彻落实中央扶贫工作重大决策部署，在各个贫困
26、县全力推进定点扶贫各项工作，取得了积极成效，某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地，已知土地的使用面积以及相应的管理时间的关系如表所示：土地使用面积x（单位：亩）12345管理时间y（单位：月）810132524并调查了某村300 名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如表所示：愿意参与管理不愿意参与管理男性村民15050女性村民50（1）求出相关系数r 的大小，并判断管理时间y与土地使用面积x 是否线性相关？（2）是否有 99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性？（3）若以该村的村民的性别与参与管理意愿的情况估计贫困县的情况，则从该贫困县中任取 3 人，记取到不
27、愿意参与管理的男性村民的人数为x，求 x 的分布列及数学期望参考公式：，其中 na+b+c+d临界值表：P（K2 k0）0.1000.0500.0250.0100.001k02.7063.8415.0246.63510.828参考数据：25.2【分析】（1）分别求出3，16，从而 10，254，47，求出0.933，从而得到管理时间y 与土地使用面积x 线性相关（2）完善列联表，求出K218.7510.828，从而有99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性（3）x 的可能取值为0，1，2，3，从该贫困县中随机抽取一名，取到不愿意参与管理的男性村民的概率为，由此能求出X 的分布列
28、和数学期望解：（1）依题意3，16，故4+1+1+4 10，64+36+9+81+64 254，（2）（8）+（1）（6）+19+2847，则0.933，故管理时间y 与土地使用面积x 线性相关（2）依题意，完善表格如下：愿意参与管理不愿意参与管理总计男性村民15050200女性村民5050100总计200100300计算得 K2的观测值为：18.7510.828，故有 99.9%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿具有相关性（3）依题意，x 的可能取值为0，1，2，3，从该贫困县中随机抽取一名，则取到不愿意参与管理的男性村民的概率为，故 P（X0）（）3，P（X1），P（X 2），P（X3）
29、，故 X 的分布列为：X0123P则数学期望为：E（X）+320已知椭圆的右焦点为F，上顶点为M，直线FM 的斜率为，且原点到直线FM 的距离为（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）若不经过点F 的直线 l：y kx+m（k0，m0）与椭圆C 交于 A，B 两点，且与圆 x2+y21 相切试探究ABF 的周长是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由【分析】（1）可设 F（c，0），M（0，b），由直线的斜率公式和点到直线的距离公式，解方程可得b，c，进而得到a，可得椭圆方程；（2）设 A（x1，y1），B（x2，y2）（x10，x20），运用勾股定理和点满足椭圆方程，求得|AQ|x1，同理
30、可得|BQ|x2，再由焦半径公式，即可得到周长为定值解：（1）可设 F（c，0），M（0，b），可得，直线 FM 的方程为bx+cybc，即有，解得 b 1，c，a，则椭圆方程为+y21；（2）设 A（x1，y1），B（x2，y2）（x10，x20），连接 OA，OQ，在 OAQ 中，|AQ|2x12+y121 x12+11x12，即|AQ|x1，同理可得|BQ|x2，|AB|AQ|+|BQ|（x1+x2），|AB|+|AF|+|BF|（x1+x2）+x1+x22，ABF 的周长是定值221已知函数f（x）xlnx 2ax2+x，a R（）若f（x）在（0，+）内单调递减，求实数a 的取值范围
31、；（）若函数f（x）有两个极值点分别为x1，x2，证明：x1+x2【分析】（I）令 f（x）0 恒成立，分离参数得出4a，利用函数单调性求出函数 g（x）的最大值即可得出a 的范围；（II）令t，根据分析法构造关于t 的不等式，再利用函数单调性证明不等式恒成立即可解：（I）f（x）lnx 4ax+2，若 f（x）在（0，+）内单调递减，则f（x）0 恒成立，即 4a在（0，+）上恒成立令 g（x），则 g（x），当 0 x时，g（x）0，当 x时，g（x）0，g（x）在（0，）上单调递增，在（，+）上单调递减，g（x）的最大值为g（）e，4ae，即 aa 的取值范围是，+）（II）f（x）有两
32、个极值点，f（x）0 在（0，+）上有两解，即 4a有两解，由（1）可知 0a由 lnx14ax1+20，lnx2 4ax2+20，可得 lnx1lnx24a（x1x2），不妨设 0 x1x2，要证明 x1+x2，只需证明，即证明lnx1lnx2，只需证明ln，令 h（x）lnx（0 x1），则 h（x）0，故 h（x）在（0，1）上单调递减，h（x）h（1）0，即 lnx 在（0，1）上恒成立，不等式ln恒成立，综上，x1+x2选做题：考生需从第22 题和第 23 题中选一道作答.选修 4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系xOy 中，曲线C1的参数方程为（为参数），以坐标原点 O 为
33、极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，点A 为曲线 C1上的动点，点B 在线段 OA 的延长线上，且满足|OA|?|OB|8，点 B 的轨迹为C2（）求曲线C1，C2的极坐标方程；（）设点M 的极坐标为，求 ABM 面积的最小值【分析】（）利用参数方程，普通方程，极坐标方程之间的转化关系直接求解可；（）先表示出ABM 的面积，再利用余弦函数的有界性求解即可解：（）将曲线C1化为普通方程为（x 1）2+y21，即 x2+y22x0，又，则曲线C1的极坐标方程为12cos；又根据题意有128，可知，即为曲线C2的极坐标方程；（）由，而 cos2 1，故 ABM 面积的最小值为2选修 4-5：不等
34、式选讲23设函数f（x）|2x1|+|2xa|，x R（1）当 a4 时，求不等式f（x）9 的解集；（2）对任意 x R，恒有 f（x）5a，求实数a 的取值范围【分析】（1）将 a4 代入 f（x）中，然后将f（x）写为分段函数的形式，再根据f（x）9，分别解不等式可得解集；（2）利用绝对值三角不等式求出f（x）的最小值，然后根据对任意x R，恒有 f（x）5a，可得 f（x）min 5a，再解关于a 的不等式可得a 的范围解：（1）当 a4 时，f（x）|2x1|+|2x4|f（x）9，或，x 1 或，不等式的解集为；（2）f（x）|2x 1|+|2xa|（2x1）（2x a）|a1|，f（x）min|a1|对任意x 一、选择题，恒有f（x）5 a，f（x）min 5a，即|a1|5a，a3，a 的取值范围为3，+）