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1、2019-2020 学年高二第二学期期中数学试卷（文科）一、选择题（共12 小题）.1复数52-?的共轭复数是（）A2+iB 2+iC 2 iD2i2如表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A 产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据，根据表提供的数据，求出y 关于 x 的线性回归方程为?=0.7x+0.35，则下列结论错误的是（）x3456y2.5t44.5A产品的生产能耗与产量呈正相关B t 的取值必定是3.15C回归直线一定过点（4.5，3.5）DA 产品每多生产1 吨，则相应的生产能耗约增加0.7 吨3观察下面“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出a
2、的值为（）A23B75C77D1394若三角形的周长为L，面积为 S，内切圆半径为r，则有?=2?，类比此结论，在四面体中，设其表面积为S，体积为V，内切球半径为R，则有（）A?=3?B?=4?C?=9?D?=8?5命题结论为：“实数a，b，c，d 中存在负数”，则用反证法证明时的假设为（）Aa，b，c，d 中存在正数Ba，b，c，d 中全为正数Ca，b，c，d 中存在非负数Da，b，c，d 全为非负数6已知复数z 满足：|z+1+2i|z1|，则|z|的最小值是（）A1B?C 22D?7关于 x 方程|?-1|=?-1的解集为（）A0Bx|x0，或 x1Cx|0 x1D（，1）（1，+）8不
3、等式|x+1|+|x4|7 的解集是（）A（，3 4，+）B3，4C（，2 5，+）D2，59已知双曲线C：?2?2-?2?2=1（a0，b0）的一条渐近线方程为y=52x，且与椭圆?212+?23=1 有公共焦点，则C 的方程为（）A?28-?210=1B?24-?25=1C?25-?24=1D?24-?23=110已知 a 为函数 f（x）x312x 的极小值点，则a（）A 4B 2C4D211已知函数f（x）x3+x2+mx+1 在区间（1，2）上不是单调函数，则实数m 的取值范围是（）A（，16）（13，+）B16，13C（16，13）D（13，+）12已知函数f（x）满足f（x）f（
4、x），且当x（，0时，f（x）+xf（x）0成立，若a（20.6）?f（20.6），b（ln2）?f（ln2），c（?18）?f（?18），则 a，b，c 的大小关系是（）AabcBcbaCacbDca b二、填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共 30 分，请将答案填写在答题卡相应的位置.13在复平面内，复数z1与 z2对应的点关于虚轴对称，且z1 1+i，则 z1z214若抛物线y22px（p0）的准线经过双曲线x2y2 1的左顶点，则p15已知函数f（x）x3+3x2+9x+1，则 f（x）在点（2，f（2）处的切线方程是16若函数f（x）x2+（a+3）x+lnx 在区间（1，2）
5、上存在唯一的极值点，则实数a 的取值范围为17将正数作如图排列：则第 30 组第 16 个数对为18已知 ab 0，且?=1?(?-?)，?=?+1?，则 m+n 的最小值是三、解答题：本大题共5 小题，共计70 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.19已知复数z1 2+i，z1z2 5+5i（其中 i 为虚数单位）（1）求复数 z2；（2）若复数 z3（3z2）（m2 2m 3）+（m1）i所对应的点在第四象限，求实数m 的取值范围20“开门大吉”是某电视台推出的游戏节目，选手面对18 号 8 扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐（将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式
6、演绎），选手需正确回答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金在一次场外调查中，发现参赛选手多数分为两个年龄段：20 30；3040（单位：岁）其猜对歌曲名称与否的人数如图所示（1）写出 22 列联表；判断能否在犯错误的概率不超过0.10 的前提下认为猜对歌曲名称与年龄有关系，说明你的理由（下面的临界值表供参考）P（K2k0）0.100.050.0100.005k02.7063.8416.6357.879（2）现计划在这次场外调查中按年龄段用分层抽样的方法选取6 名选手，求2030 岁与 30 40 岁各有几人参考公式：K2=?(?-?)2(?+?)(?+?)(?+?)(?+?)，其中
7、 na+b+c+d21如图，在四棱锥PABCD 中，底面ABCD 是正方形，E、F 分别为 PC、BD 的中点，侧面 PAD 底面 ABCD（1）求证：EF 平面 PAD；（2）若 EF PC，求证：平面PAB 平面 PCD 22已知函数f（x）|x2|，g（x）f（x）2|x|（1）求 g（x）的最大值m；（2）若 a0，b0，且2?+2?=m，求证：f（a+3）+f（b+1）423已知椭圆C：?2?2+?2?2=?（ab0）的实轴长为4，焦距为2?（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）设直线经过点P（2，1）且与椭圆C 交于不同的两点M，N（异于椭圆的左顶点）设点 Q 是 x 轴上的一个动点
8、，直线 QM，QN 的斜率分别为k1，k2，试问：是否存在点Q，使得1?1+1?2为定值？若存在，求出点Q 的坐标及定值；若不存在，请说明理由，参考答案一选择题：（本题共12 小题，每小题5 分，共 60 分.每小题分别给出四个选项，只有一个选项符合题意.）1复数52-?的共轭复数是（）A2+iB 2+iC 2 iD2i【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案解：52-?=5(2+?)(2-?)(2+?)=5(2+?)5=?+?，复数52-?的共轭复数是2i故选：D【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题2如表提供了某厂节能降耗技术改造
9、后在生产A 产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据，根据表提供的数据，求出y 关于 x 的线性回归方程为?=0.7x+0.35，则下列结论错误的是（）x3456y2.5t44.5A产品的生产能耗与产量呈正相关B t 的取值必定是3.15C回归直线一定过点（4.5，3.5）DA 产品每多生产1 吨，则相应的生产能耗约增加0.7 吨【分析】先求出这组数据的?，把?代入线性回归方程，求出?，即可得到结果解：由题意，?=3+4+5+64=4.5，?=0.7x+0.35，?=0.74.5+0.35 3.5，t43.52.544.5 3，故选：B【点评】本题考查回归分析的初步应
10、用，考查样本中心点的性质，考查方程思想的应用，是一个基础题，解题时注意数字计算不要出错3观察下面“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出a 的值为（）A23B75C77D139【分析】根据数字的变化规律即可求出解：观察每个图形最上边的正方形中的数字规律为1，3，5，7，9，11，左下角数字的变化规律为2，22，23，24，25，26，右下角的数字等于前图形的两个数字之和，所以a26+1175，故选：B【点评】本题考查了归纳推理的问题，关键值找到规律，属于基础题4若三角形的周长为L，面积为 S，内切圆半径为r，则有?=2?，类比此结论，在四面体中，设其表面积为S，体积为V，内切球半径为R
11、，则有（）A?=3?B?=4?C?=9?D?=8?【分析】设四面体的内切球的球心为O，则球心O 到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和，从而得到 V=13?，可得 R解：设四面体的内切球的球心为O，则球心O 到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4 个三棱锥体积的和，则四面体的体积V=13(?+?+?+?)?=13?，所以?=3?，故选：A【点评】本题主要考查了合情推理中的类比推理，是基础题5命题结论为：“实数a，b，c，d 中存在负数”，则用反证法证明时的假设为（）Aa，b，c，d 中存在正数Ba，
12、b，c，d 中全为正数Ca，b，c，d 中存在非负数Da，b，c，d 全为非负数【分析】用反证法证明数学命题时，应先假设结论的否定成立解：“实数a，b，c，d 中存在负数”的否定为“a，b，c，d 全都为非负数”，由用反证法证明数学命题的方法可得，应假设“a，b，c，d 全是非负数”，故选：D【点评】本题主要考查用反证法证明数学命题，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的突破口，属于基础题6已知复数z 满足：|z+1+2i|z1|，则|z|的最小值是（）A1B?C 22D?【分析】设出复数z，根据|z+1+2i|z1|，求出其满足的条件，进而求得结论解：设 zx+yi 对应的点为
13、（x，y），x，y R，|z+1+2i|z 1|，(?+?)?+(?+?)?=(?-?)?+?x+y+10；即 zx+yi 对应的点为（x，y）在直线x+y+10 上，|z|的最小值是原点（0，0）到直线x+y+10 的距离：即|z|的最小值等于：|0+0-1|12+12=22；故选：C【点评】本题考查复数的模的计算、复数的代数表示法及其几何意义等基础知识，考查运算求解能力7关于 x 方程|?-1|=?-1的解集为（）A0Bx|x0，或 x1Cx|0 x1D（，1）（1，+）【分析】利用绝对值的意义，即可得出方程的解集解：由题意，?-1 0，x0，或 x 1，方程|?-1|=?-1的解集为 x
14、|x0，或 x 1，故选：B【点评】本题考查绝对值的意义，考查学生解不等式的能力，比较基础8不等式|x+1|+|x4|7 的解集是（）A（，3 4，+）B3，4C（，2 5，+）D2，5【分析】通过讨论x 的范围，得到关于区间上的x 的范围，取并集即可解：x4 时，x+1+x47，解得：x5；1x4 时，x+1+4x7，无解；x 1时，x1+4 x7，解得：x 2，综上，不等式的解集是（，25，+），故选：C【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，是一道基础题9已知双曲线C：?2?2-?2?2=1（a0，b0）的一条渐近线方程为y=52x，且与椭圆?212+?23=1 有公共焦
15、点，则C 的方程为（）A?28-?210=1B?24-?25=1C?25-?24=1D?24-?23=1【分析】求出椭圆的焦点坐标，得到双曲线的焦点坐标，利用双曲线的渐近线方程，求出双曲线实半轴与虚半轴的长，即可得到双曲线方程解：椭圆?212+?23=1 的焦点坐标（3，0），则双曲线的焦点坐标为（3，0），可得c3，双曲线 C：?2?2-?2?2=1（a0，b0）的一条渐近线方程为y=52x，可得?=52，即?2-?2?2=54，可得?=32，解得 a2，b=?，所求的双曲线方程为：?24-?25=1故选：B【点评】本题考查椭圆与双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，考查计算能力10已知
16、 a 为函数 f（x）x312x 的极小值点，则a（）A 4B 2C4D2【分析】可求导数得到f（x）3x212，可通过判断导数符号从而得出f（x）的极小值点，从而得出a 的值解：f（x）3x212；x 2 时，f（x）0，2x2 时，f（x）0，x2 时，f（x）0；x2是 f（x）的极小值点；又 a 为 f（x）的极小值点；a2故选：D【点评】考查函数极小值点的定义，以及根据导数符号判断函数极值点的方法及过程，要熟悉二次函数的图象11已知函数f（x）x3+x2+mx+1 在区间（1，2）上不是单调函数，则实数m 的取值范围是（）A（，16）（13，+）B16，13C（16，13）D（13，
17、+）【分析】求出函数的导数，利用函数在区间（1，2）上不是单调函数，声明导函数在区间上有零点，转化求解即可解：函数f（x）x3+x2+mx+1，可得 f（x）3x2+2x+m，函数 f（x）x3+x2+mx+1 在区间（1，2）上不是单调函数，可知 f（x）3x2+2x+m，在区间（1，2）上有零点，导函数 f（x）3x2+2x+m 对称轴为：x=-13（1，2），只需：?-?+?+?，解得 m（16，13）故选：C【点评】本题考查函数与导数的应用，函数的最值以及函数的极值的求法，考查转化思想的应用12已知函数f（x）满足f（x）f（x），且当x（，0时，f（x）+xf（x）0成立，若a（20
18、.6）?f（20.6），b（ln2）?f（ln2），c（?18）?f（?18），则 a，b，c 的大小关系是（）AabcBcbaCacbDca b【分析】根据题意，构造函数 h（x）xf（x），则 ah（20.6），bh（ln2），c（?18）?f（?18）h（3），分析可得h（x）为奇函数且在（，0上为减函数，进而分析可得h（x）在 0，+）上为减函数，分析有?180ln2 120.6，结合函数的单调性分析可得答案解：根据题意，令h（x）xf（x），h（x）（x）f（x）xf（x）h（x），则 h（x）为奇函数；当 x（，0时，h（x）f（x）+xf（x）0，则 h（x）在（，0上为减函数，
19、又由函数h（x）为奇函数，则h（x）在 0，+）上为减函数，a（20.6）?f（20.6）h（20.6），b（ln 2）?f（ln2）h（ln2），c（?18）?f（?18）h（?18）h（3），因为?180ln2120.6，则有 cba；故选：B【点评】本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，关键是构造函数h（x）xf（x），并分析 h（x）的奇偶性与单调性二、填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共 30 分，请将答案填写在答题卡相应的位置.13在复平面内，复数z1与 z2对应的点关于虚轴对称，且z1 1+i，则 z1z22【分析】直接由复数z1与 z2对应的点关于虚轴对称，且z1 1+i
20、，求出z21+i，然后把 z1，z2代入 z1z2，再由复数代数形式的乘法运算化简，则答案可求解：由复数z1与 z2对应的点关于虚轴对称，且z1 1+i，则 z21+i，则 z1z2（1+i）（1+i）1i+i+i2 2故答案为：2【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题14若抛物线y22px（p0）的准线经过双曲线x2y2 1的左顶点，则p2【分析】先求出x2y21 的左顶点，得到抛物线y22px 的准线，依据p 的意义求出它的值解：双曲线x2y21 的左顶点为（1，0），故抛物线y22px 的准线为x 1，?2=1，p 2，故答案为：2【点评】本题考查抛物线
21、和双曲线的简单性质，以及抛物线方程y2 2px 中 p 的意义15 已知函数f（x）x3+3x2+9x+1，则 f（x）在点（2，f（2）处的切线方程是15x+y+270【分析】先对函数f（x）求导数，然后求出切点处的函数值、导数值，利用直线方程的点斜式写出切线方程解：由题意得f（x）3x2+6x+9，f（2）3，f（2）15所以切线方程为：y3 15（x+2），即 15x+y+270故答案为：15x+y+270【点评】本题考查导数的几何意义以及切线方程的求法同时考查学生的运算能力属于基础题16若函数f（x）x2+（a+3）x+lnx 在区间（1，2）上存在唯一的极值点，则实数a 的取值范围为
22、（-152，6）【分析】求出函数的导数，由已知条件结合零点存在定理，可得 f（1）?f（2）0，解出不等式求并集即可解：f（x）2x+a+3+1?=2?2+(?+3)?+1?，若 f（x）在（1，2）上存在唯一的极值点，则 f（1）f（2）0，即（a+6）（2a+15）0，解得：-152a 6，故答案为：（-152，6）【点评】本题考查导数的运用：求函数的极值，考查函数的零点存在定理，注意导数为0 与函数的极值的关系，属于易错题，也是中档题17将正数作如图排列：则第 30 组第 16 个数对为（16，15）【分析】根据前3 组的规律可得第30 组的两数的和为31，从而求出第30 组第 16 个
23、数对解：（1，1），两数的和为2，共 1 个，（1，2），（2，1），两数的和为3，共 2个，（1，3），（2，2），（3，1），两数的和为4，共 3 个，所以第 30 组的两数的和为31，所以第 30 组第 16 个数对为（16，15），故答案为：（16，15）【点评】本题主要考查了合情推理中的归纳推理，是基础题18已知 ab 0，且?=1?(?-?)，?=?+1?，则 m+n 的最小值是4【分析】根据条件进行转化，结合基本不等式的性质进行转化求解即可解：由已知可得，?+?=1?2-?+?+1?=1?2-?+(?-?)+1?+?，当且仅1?2-?=a2ab 且1?=ab，即 a=?，b=22
24、时，等号成立故 m+n 的最小值是4，故答案为：4【点评】本题主要考查不等式最值的求解，结合基本不等式的性质进行转化是解决本题的关键三、解答题：本大题共5 小题，共计70 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.19已知复数z1 2+i，z1z2 5+5i（其中 i 为虚数单位）（1）求复数 z2；（2）若复数 z3（3z2）（m2 2m 3）+（m1）i所对应的点在第四象限，求实数m 的取值范围【分析】（1）由复数z1 2+i，z1z2 5+5i，则?=-5+5?-2+?，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，则复数z2可求；（2）直接把z2 3i 代入 z3进行化简，再由复数z3所
25、对应的点在第四象限，列出不等式组，求解即可得答案解：（1）复数z1 2+i，z1z2 5+5i，?=-5+5?-2+?=(-5+5?)(-2-?)(-2+?)(-2-?)=15-5?5=?-?；（2）z3（3 z2）（m22m3）+（m 1）ii（m22m3）+（m1）i（m1）+（m22m3）i，复数 z3所对应的点在第四象限，-(?-?)?-?-?，解得 1m1实数 m 的取值范围是1m 1【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题20“开门大吉”是某电视台推出的游戏节目，选手面对18 号 8 扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐（将一
26、首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎），选手需正确回答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金在一次场外调查中，发现参赛选手多数分为两个年龄段：20 30；3040（单位：岁）其猜对歌曲名称与否的人数如图所示（1）写出 22 列联表；判断能否在犯错误的概率不超过0.10 的前提下认为猜对歌曲名称与年龄有关系，说明你的理由（下面的临界值表供参考）P（K2k0）0.100.050.0100.005k02.7063.8416.6357.879（2）现计划在这次场外调查中按年龄段用分层抽样的方法选取6 名选手，求2030 岁与 30 40 岁各有几人参考公式：K2=?(?-?)2(?+?)(?
27、+?)(?+?)(?+?)，其中 na+b+c+d【分析】（1）根据题目所给的数据填写22 列联表，计算K 的观测值K2，对照题目中的表格，得出统计结论；（2）利用分层抽样的定义即可求出结果解：（1）根据所给的二维条形图得到列联表：分类正确错误总计2030 岁1030403040 岁107080总计20100120根据列联表所给的数据代入观测值的公式得到：k=120 (10 70-10 30)220 100 40 80=3，因为 32.706，所以在犯错误的概率不超过0.10 的前提下认为猜对歌曲名称与年龄有关系；（2）按照分层抽样方法可知，2030 岁年龄段抽取：640120=2（人），30
28、40 岁年龄段抽取：680120=4（人）在上述抽取的6 名选手中，年龄在20 30 岁的有 2 人，年龄在3040 岁的有 4 人【点评】本题考查了独立性检验的应用问题，以及分层抽样，也考查了计算能力的应用问题，是基础题目21如图，在四棱锥PABCD 中，底面ABCD 是正方形，E、F 分别为 PC、BD 的中点，侧面 PAD 底面 ABCD（1）求证：EF 平面 PAD；（2）若 EF PC，求证：平面PAB 平面 PCD【分析】（1）连结 AC，则 F 是 AC 的中点，E 为 PC 的中点，从而EF PA，由此能证明 EF 平面 PAD（2）由 EF PA，又 EF PC，得 PAPC
29、，从而 CD平面 PAD，进而 CD PA，PA平面 PDC，由此能证明平面PAB平面 PCD【解答】证明：（1）连结 AC，则 F 是 AC 的中点，E 为 PC 的中点，故在 CPA 中，EF PA，PA?平面 PAD，EF?平面 PAD，EF平面 PAD（2）由（1）可得，EF PA，又 EF PC，PA PC平面 PAD平面 ABCD，平面 ABCD 为正方形CD平面 PAD，CD PA，又 CDPCC，PA平面 PDC，又 PA?平面 PAB，平面 PAB平面 PCD【点评】本题考查线面平行、面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数
30、与方程思想，是中档题22已知函数f（x）|x2|，g（x）f（x）2|x|（1）求 g（x）的最大值m；（2）若 a0，b0，且2?+2?=m，求证：f（a+3）+f（b+1）4【分析】（1）g（x）f（x）2|x|x2|2|x|去绝对值后判断f（x）的单调性，然后求出最大值可得m；（2）由（1）知 m2，可得1?+1?=?，然后由 f（a+3）+f（b+1）a+b 可利用“1“的代换转化为利用用基本不等式求最值问题解：（1）g（x）f（x）2|x|x2|2|x|=-?-?，?-?，?+?，?，g（x）在（，0）上单调递增，在（0，+）上单调递减，mg（x）maxg（0）2；（2）由（1）知2
31、?+2?=m2，1?+1?=?，f（a+3）+f（b+1）a+b，a0，b0，a+b=(?+?)(1?+1?)=?+?+?2+?=?，当且仅当ab2 时取等号，f（a+3）+f（b+1）a+b4【点评】本题考查了绝对值不等式单调性的判断和利用基本不等式求最值，考查了转化思想和运算能力，属中档题23已知椭圆C：?2?2+?2?2=?（ab0）的实轴长为4，焦距为2?（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）设直线经过点P（2，1）且与椭圆C 交于不同的两点M，N（异于椭圆的左顶点）设点 Q 是 x 轴上的一个动点，直线 QM，QN 的斜率分别为k1，k2，试问：是否存在点Q，使得1?1+1?2为定值？
32、若存在，求出点Q 的坐标及定值；若不存在，请说明理由，【分析】（1）可得 2a4，2c2?，又 a2b2+c2得 a，b 即可（2）假设存在满足条件的点Q（t，0）当直线 l 与 x 轴垂直时，它与椭圆只有一个交点，不符合题意 当过点 P（2，1）的直线 l 的斜率存在时，设其方程为y k（x2）1，联立方程，结 合 韦 达 定 理 可 得：1?1+1?2=?1+?2?1?2=?1?1-?+?2?2-?1?1-?2?2-?=?1(?2-?)+?2(?1-?)?1?2=(?1-2?-1)(?2-?)+(?2-2?-1)(?1-?)(?1-2?-1)(?2-2?-1)=(4?-8)?+2?4?+1
33、，即可得当且仅当4?-84=2?1，即 t 2 时，1?1+1?2为定值 4解：（1）椭圆C：?2?2+?2?2=?（ab0）的实轴长为4，焦距为2?2a4，2c2?，又 a2b2+c2解得 a2，b 1，c=?椭圆 C 的标准方程：?24+?=?；（2）假设存在满足条件的点Q（t，0）当过点 P（2，1）直线 l 与 x 轴垂直时，它与椭圆只有一个交点，不符合题意 当过点 P（2，1）直线 l 的斜率存在时，设其方程为yk（x2）1，联立?=?(?-?)-?+?=?（1+4k2）x2（16k2+8k）x+16k2+160 0，设 M（x1，y1），N（x2，y2），则?+?=16?2+8?1
34、+4?2，?=16?2+161+4?2，1?1+1?2=?1+?2?1?2=?1?1-?+?2?2-?1?1-?2?2-?=?1(?2-?)+?2(?1-?)?1?2=(?1-2?-1)(?2-?)+(?2-2?-1)(?1-?)(?1-2?-1)(?2-2?-1)=2?1?2-(2?+1+?)(?1+?2)+2(2?+1)?2?1?2-(2?2+?)(?1+?2)+4?2+4?+1=(4?-8)?+2?4?+1当且仅当4?-84=2?1，即 t 2 时，1?1+1?2为定值 4所以存在Q（2，0），使得1?1+1?2为定值 4【点评】不本题考查了椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系；考查了计算能力，属于中档题