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1、第 1页（共 8页）2017 年全国各地高考数学试题及解答分类大全（解三角形）一、选择题1（2017 全国新课标文）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c已知sinsin(sincos)0BACC，a=2，c=2，则 C=（）A12B6C4D3【答案】B2.（2017 山东理）在C中，角，C的对边分别为a，b，c若C为锐角三角形，且满足sin12cosC2sincosCcossinC，则下列等式成立的是()（A）2ab（B）2ba（C）2（D）2【答案】A【解析】试题分析：sin()2sincos2sincoscossinACBCACAC所以2sincossincos2sinsin
2、2BCACBAba，选 A.【考点】1.三角函数的和差角公式2.正弦定理.【名师点睛】本题较为容易，关键是要利用两角和差的三角函数公式进行恒等变形.首先用两角和的正弦公式转化为含有，C的式子，用正弦定理将角转化为边，得到2ab.解答三角形中的问题时，三角形内角和定理是经常用到的一个隐含条件，不容忽视.二、填空1（2017 全国新课标文）ABC的内角,A B C的对边分别为,a b c,若2 coscoscosbBaCcA,则B.【答案】3【解析】由正弦定理可得12sincossincossincossin()sincos23BBACCAACBBB.2（2017 全国新课标文）ABC的内角 A，
3、B，C 的对边分别为a，b，c.已知 C=60，b=6，c=3，则 A=_.【答案】75【考点】正弦定理【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.3（2017 浙江）已知 ABC，AB=AC=4，BC=2点 D 为 AB延长线上一点，BD=2，连结 CD，则 BDC的面积是 _，cosBDC=_第 2页（共 8页）【答案】1
4、510,24【解析】【考点】解三角形【名师点睛】利用正、余弦定理解决实际问题的一般思路：（1）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可以利用正弦定理或余弦定理求解；（2）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，再逐步解其他三角形，有时需要设出未知量，从几个三角形中列出方程（组），解方程（组）得出所要的解三、解答题1.(2017北京理)在 ABC中，A=60，c=37a.（）求sinC的值；（）若a=7，求 ABC的面积.【答案】（）3 314；（）934.【解析】试题分析：（）根据正弦定理=sinsinacA
5、C求sinC的值；（）根据条件可知7,3,ac根据（）的结果求cosC，再利用sinsinBAC求解，最后利用三角形的面积1sin2SacB.【考点】1.正余弦定理；2.三角形面积；3.三角恒等变换.【名师点睛】高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理实现边角互化；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式第 3页（共 8页）2（2017
6、全国新课标理）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知 ABC 的面积为23sinaA.（1）求 sin Bsin C;（2）若 6cos BcosC=1，a=3，求 ABC 的周长.【解析】（1）由题设得21sin23sinaacBA，即1sin23sinacBA.由正弦定理得1sinsinsin23sinACBA.故2sinsin3BC.3.（2017 全国新课标理）ABC的内角ABC、所对的边分别为,a b c，已知2sin8sin2BAC，（1）求cosB；（2）若6ac，ABC的面积为2，求b。【答案】(1)15cos17B；(2)2b。第 4页（共 8页）4（201
7、7全国新课标理）ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知sin3cos0AA，27a，2b（1）求 c；（2）设 D 为 BC 边上一点，且ADAC，求ABD的面积【解析】（1）由sin3cos0AA得2sin03A，即3AkkZ，又0,A，3A，得23A.由余弦定理2222cosabcbcA.又12 7,2,cos2abA代入并整理得2125c，故4c.（2）2,2 7,4ACBCAB，由余弦定理2222 7cos27abcCab.ACAD，即ACD为直角三角形，则cosACCDC，得7CD.由勾股定理223ADCDAC.又23A，则2 326DAB，1sin326ABDSAD
8、AB.5.(2017 江苏)如图,水平放置的正四棱柱形玻璃容器和正四棱台形玻璃容器的高均为32cm,容器的底面对角线AC的长为 107 cm,容器的两底面对角线EG,11E G 的长分别为 14cm 和 62cm.分别在容器和容器中注入水,水深均为 12cm.现有一根玻璃棒l,其长度为 40cm.（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将 l 放在容器中,l 的一端置于点A 处,另一端置于侧棱1CC 上,求 l 没入水中部分的长度；（2）将 l 放在容器中,l 的一端置于点E 处，另一端置于侧棱1GG 上，求 l 没入水中部分的长度.(第 18 题)【答案】（1）16（2）20【解析】解:（1
9、）由正棱柱的定义，1CC 平面ABCD，所以平面11A ACC 平面ABCD，1CCAC.记玻璃棒的另一端落在1CC上点M处.第 5页（共 8页）(如果将“没入水中部分冶理解为“水面以上部分冶，则结果为24cm)（2）如图，O，O1是正棱台的两底面中心.由正棱台的定义，OO1平面EFGH，所以平面E1EGG1平面 EFGH，O1OEG.同理，平面E1EGG1平面 E1F1G1H1，O1OE1G1.记玻璃棒的另一端落在GG1上点 N 处.过 G 作 GKE1G，K 为垂足，则 GK=OO1=32.因为 EG=14，E1G1=62，所以 KG1=6214242，从而222211243240GGKG
10、GK.设1,EGGENG则114sinsin()cos25KGGKGG.因为2，所以3cos5.在ENG中，由正弦定理可得4014sinsin，解得7sin25.因为02，所以24cos25.于是42473sinsin()sin()sinco3scossin()5252555NEG.记 EN 与水面的交点为P2，过 P2作 P2Q2EG，Q2为垂足，则 P2Q2平面EFGH，故 P2Q2=12，从而 EP2=2220sinPNEGQ.答:玻璃棒 l 没入水中部分的长度为20cm.(如果将“没入水中部分冶理解为“水面以上部分冶，则结果为20cm)【考点】正余弦定理【名师点睛】解三角形问题，多为边
11、和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.第 6页（共 8页）6.（2017 山东文）在 ABC中,角 A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 b=3,6AB AC,SABC=3,求 A 和 a.【答案】3=,=29.4Aa【解析】又3b，所以2 2c，由余弦定理2222cosabcbcA，得22982 3 2 2()292a，所以29a.【考点】解三角形
12、【名师点睛】正、余弦定理是应用极为广泛的两个定理,它将三角形的边和角有机地联系起来,从而使三角与几何产生联系,为求与三角形有关的量(如面积、外接圆、内切圆半径和面积等)提供了理论依据,也是判断三角形形状、证明三角形中有关等式的重要依据其主要方法有：化角法,化边法,面积法,运用初等几何法注意体会其中蕴涵的函数与方程思想、等价转化思想及分类讨论思想7.（2017 天津文）在ABC中，内角,A B C所对的边分别为,a b c.已知sin4 sinaAbB，2225()acabc.（I）求cosA的值；（II）求sin(2)BA的值.【答案】()55；()2 55.【解析】试题分析（）首先根据正弦定
13、理sinsinAaBb代入得到2ab，再根据余弦定理求得cosA；（）根据（）的结论和条件，根据cosA求sinA，和2,ab以及正弦定理求得sinB，再求cosB，以及sin 2,cos 2BB，最后代入求sin 2BA的值.第 7页（共 8页）（）解：由（），可得2 5sin5A，代入sin4 sinaAbB，得sin5sin45aABb.由（）知，A 为钝角，所以22 5cos1sin5BB.于是4sin22sincos5BBB，来源：23cos212sin5BB，故4532 52 5sin(2)sin2coscos2sin()55555BABABA.【考点】1.正余弦定理；2.三角恒等
14、变换.【名师点睛】高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理实现边角互化；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式8.（2017 天津理）在ABC中，内角,A B C所对的边分别为,a b c.已知ab，5,6ac，3sin5B.（）求b和sin A的值；（）求sin(2)4A的值.【答案】(1)13b.(2)7 226【解析】试题分析：利
15、用正弦定理“角转边”得出边的关系2ab，再根据余弦定理求出cosA，进而得到sin A，由2ab转化为sin2sinAB，求出sinB，进而求出cosB，从而求出2B的三角函数值，利用两角差的正弦公式求出结果.（）由（）及ac，得2 13cos13A，所以12sin 22sincos13AAA，25cos212sin13AA.故7 2sin(2)sin 2coscos2sin44426AAA.考点：正弦定理、余弦定理、解三角形第 8页（共 8页）【名师点睛】利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值.利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.