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1、第1页（共 11页）2016 年全国各地高考数学试题及解答分类大全（解三角形）一、选择题1.（2016 全国 文）ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为a、b、c.已知5a,2c,2cos3A,则 b=（）（A）2（B）3（C）2（D）3【答案】D【解析】试题分析：由余弦定理得3222452bb,解得3b（31b舍去）,故选 D.考点：余弦定理【名师点睛】本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于b 的一元二次方程,再通过解方程求 b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！2.（2016 全国文）在ABC中，4B，BC边上的高等于13BC,则sinA（）（A）310（B）10
2、10（C）55（D）3 1010【答案】D【解析】设BC边上的高线为AD，则3,2BCAD DCAD，所以225ACADDCAD由正弦定理，知sinsinACBCBA，即53sin22ADADA，解得3 10sin10A，故选 D考点：正弦定理【方法点拨】在平面几何图形中求相关的几何量时，需寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，常常将所涉及到已知几何量与所求几何集中到某一个三角形，然后选用正弦定理与余弦定理求解3.（2016 全国理）在ABC中，4B，BC边上的高等于13BC,则cosA（）（A）3 1010（B）1010（C）1010（D）3 1010【答案】C【解析】试题分析：设BC
3、边上的高线为AD，则3BCAD，所以225ACADDCAD，2ABAD由余弦定理，知22222225910cos210225ABACBCADADADAAB ACADAD，故第2页（共 11页）选 C考点：余弦定理【方法点拨】在平面几何图形中求相关的几何量时，需寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，常常将所涉及到已知几何量与所求几何集中到某一个三角形，然后选用正弦定理与余弦定理求解4.（2016 山东文）ABC中，角 A，B，C 的对边分别是a，b，c，已知22,2(1sin)bc abA,则A=（）（A）34（B）3（C）4（D）6【答案】C 考点：余弦定理【名师点睛】本题主要考查余弦定
4、理的应用、三角函数的同角公式及诱导公式，是高考常考知识内容.本题难度较小，解答此类问题，注重边角的相互转换是关键，本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等.5.（2016 天津理）在ABC中，若=13AB,BC=3，120C,则AC=（）（A）1（B）2（C）3（D）4【答案】A【解析】试题分析：由余弦定理得213931ACACAC,选 A.考点：余弦定理【名师点睛】1.正、余弦定理可以处理四大类解三角形问题，其中已知两边及其一边的对角，既可以用正弦定理求解也可以用余弦定理求解2利用正、余弦定理解三角形其关键是运用两个定理实现边角互化，从而达到知三求三的目的二、填空1.（20
5、16 北京文）在ABC 中，23A，3ac，则bc=_.【答案】1 第3页（共 11页）考点：解三角形【名师点睛】根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用2.（2016 江苏）在锐角三角形ABC中，若sin2sinsinABC，则tantantanABC的最小值是 .【答案】8.考点：三角恒等变换，切的性质应用【名师点睛】消元与降次是高中数学主旋律，利用三角形中隐含的边角关系作为消元依据是本题突破口，斜三角形ABC中恒有tantantantantantanABCABC，这类同于正余弦定理，是
6、一个关于切的等量关系，平时多总结积累常见的三角恒等变形，提高转化问题能力，培养消元意识3.（2016 全国文、理）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，若4cos5A，5cos13C，a=1，则 b=_.【答案】2113【解析】试题分析：因为45cos,cos513AC，且,A C为三角形内角，所以312sin,sin513AC，13sinsin()sin()sincoscossin65BACABACAC，又因为sinsinabAB，所以sin21sin13aBbA.考点：正弦定理，三角函数和差公式.【名师点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理
7、都要用，要抓住能够利用某个定理的信息一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到4、（2016 上海文、理）已知ABC的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_.第4页（共 11页）【答案】7 33【解析】试题分析：由已知3,5,7abc，2221cos22abcCab，3sin2C，7 32sin3cRC考点：1.正弦定理；2.余弦定理.【名师点睛】此类题目是解三角形问题中的典型题目.解答本题，往往要利用三角公式化简三角恒等式，利用正弦定理实现边角转化，达到解题
8、目的；三角形中的求角问题，往往要利用余弦定理用边表示角的函数.本题较易，主要考查考生的基本运算求解能力等.三、解答题1.（2016 北京理）在ABC 中，2222acbac.（1）求B的大小；（2）求2 coscosAC的最大值.【答案】（1）4；（2）1.考点：1.三角恒等变形；2.余弦定理.【名师点睛】正、余弦定理是应用极为广泛的两个定理，它将三角形的边和角有机地联系起来，从而使三角与几何产生联系，为求与三角形有关的量(如面积、外接圆、内切圆半径和面积等)提供了理论依据，也是判断三角形形状、证明三角形中有关等式的重要依据其主要方法有：化角法，化边法，面积法，运用初等几何法注意体会其中蕴涵的
9、函数与方程思想、等价转化思想及分类讨论思想第5页（共 11页）2.（2016 江苏）在ABC中，AC=6，4cos.54BC，（1）求 AB 的长；（2）求cos(6A)的值.【答案】（1）52(2)7 2620【解析】试题分析：（1）利用同角三角函数关系求3sin5B，再利用正弦定理求26sin25 2.3sin5ACCABB(2)利用诱导公式及两角和余弦公式分别求722sinsin(),coscos()1010ABCABC，最后根据两角差余弦公式求7 26cos(A)620，注意开方时正负取舍.试题解析：解（1）因为4cos,0,5BB所以2243sin1cos1(),55BB由正弦定理知
10、sinsinACABBC，所以26sin25 2.3sin5ACCABB考点：同角三角函数关系，正余弦定理，两角和与差公式【名师点睛】三角函数是以角为自变量的函数，因此解三角函数题，首先从角进行分析，善于用已知角表示所求角，即注重角的变换.角的变换涉及诱导公式、同角三角函数关系、两角和与差公式、二倍角公式、配角公式等，选用恰当的公式，是解决三角问题的关键，明确角的范围，对开方时正负取舍是解题正确的保证.3.（2016 全国 理）ABC的内角 A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知2cos(coscos).C aB+bAc（I）求 C；第6页（共 11页）（II）若7,cABC的面积为3 32
11、,求ABC的周长【答案】（I）C3（II）57【解析】试题分析：（I）先利用正弦定理进行边角代换化简得得1cosC2,故C3；（II）根据13 3sin C22ab及C3得6ab再利用余弦定理得225ab再根据7c可得C的周长为57考点：正弦定理、余弦定理及三角形面积公式【名师点睛】三角形中的三角变换常用到诱导公式,sinsin,coscos,ABCABCtantanABC,就是常用的结论,另外利用正弦定理或余弦定理处理条件中含有边或角的等式,常考虑对其实施“边化角”或“角化边.”4.（2016 山东理）在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知tantan2(tantan)
12、.coscosABABBA（）证明：a+b=2c;（）求cosC 的最小值.【答案】（）见解析；（）12【解析】试题分析：（）根据两角和的正弦公式、正切公式、正弦定理即可证明；（）根据余弦定理公式表示出cosC，由基本不等式求cosC 的最小值.第7页（共 11页）试题解析：由题意知sinsinsinsin2coscoscoscoscoscosABABABABAB，化简得2 sincossincossinsinABBAAB，即2sinsinsinABAB.因为ABC,所以sinsinsinABCC.从而sinsin=2sinABC.由正弦定理得2abc.()由()知2abc,故cosC的最小值
13、为12.考点：1.和差倍半的三角函数；2.正弦定理、余弦定理；3.基本不等式.【名师点睛】此类题目是解三角形问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简三角恒等式，利用正弦定理实现边角转化，达到证明目的；三角形中的求角问题，往往要利用余弦定理用边表示角的函数.本题覆盖面较广，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力5（2016 四川文理）在 ABC 中，角 A,B,C 所对的边分别是a,b,c,且coscossinABCabc.（I）证明：sinsinsinABC；（II）若22265bcabc，求tanB.【答案】（）证明详见解析；（）4.试题解析：（）
14、根据正弦定理，可设sinaA=sinbB=sincC=k(k0)第8页（共 11页）则 a=ksin A，b=ksin B，c=ksin C代入cos Aa+cosBb=sin Cc中，有cossinAkA+cossinBkB=sinsinCkC，变形可得sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B)在 ABC 中，由 A+B+C=，有 sin(A+B)=sin(C)=sin C，所以 sin Asin B=sin C（）由已知，b2+c2 a2=65bc，根据余弦定理，有cos A=2222bcabc=35所以 sin A=21 cos A=45由（），s
15、in Asin B=sin Acos B+cos Asin B，所以45sin B=45cos B+35sin B，故sintan4cosBBB考点：正弦定理、余弦定理、商数关系、平方关系.【名师点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、商数关系等基础知识，考查学生的分析问题的能力和计算能力.在解三角形的应用中，凡是遇到等式中有边又有角时，可用正弦定理进行边角互化，一种是化为三角函数问题，一般是化为代数式变形问题在角的变化过程中注意三角形的内角和为180这个结论，否则难以得出结论6、（2016 四川文）在 ABC 中，角 A,B,C 所对的边分别是a,b,c,且coscossinABCabc.（I）证
16、明：sinsinsinABC；（II）若22265bcabc，求tanB.【答案】（）证明详见解析；（）4.试题解析：（）根据正弦定理，可设sinaA=sinbB=sincC=k(k0)第9页（共 11页）则 a=ksin A，b=ksin B，c=ksin C代入cos Aa+cosBb=sin Cc中，有cossinAkA+cossinBkB=sinsinCkC，变形可得sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B)在ABC 中，由 A+B+C=，有 sin(A+B)=sin(C)=sin C，所以 sin Asin B=sin C（）由已知，b2+c2
17、 a2=65bc，根据余弦定理，有cos A=2222bcabc=35所以 sin A=21 cos A=45由（），sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B，所以45sin B=45cos B+35sin B，故sintan4cosBBB考点：正弦定理、余弦定理、商数关系、平方关系.【名师点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、商数关系等基础知识，考查学生的分析问题的能力和计算能力.在解三角形的应用中，凡是遇到等式中有边又有角时，可用正弦定理进行边角互化，一种是化为三角函数问题，一般是化为代数式变形问题在角的变化过程中注意三角形的内角和为180这个结论，否则难以得出结论7（
18、2016 浙江文）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知b+c=2acos B（）证明：A=2B；（）若 cos B=23，求 cos C的值【答案】（I）证明见解析；（II）22cos27C.第10页（共 11页）因此，A（舍去）或2AB，所以，2AB.（II）由2cos3B，得5sin3B，21cos22cos19BB，故1cos9A，4 5sin9A，22coscos()coscossinsin27CABABAB.考点：三角函数及其变换、正弦和余弦定理.【思路点睛】（I）用正弦定理将边转化为角，进而用两角和的正弦公式转化为含有，的式子，根据角的范围可证2；（II）先用同角
19、三角函数的基本关系及二倍角公式可得cos2，进而可得cos和sin，再用两角和的余弦公式可得cosC8.（2016 浙江理）在 ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c.已知 b+c=2a cos B.（I）证明：A=2B；（II）若 ABC 的面积2=4aS，求角 A 的大小.【答案】（I）证明见解析；（II）2或4试题分析：（I）先由正弦定理可得sinsinC2sincos，进而由两角和的正弦公式可得sinsin，再判断的取值范围，进而可证2；（II）先由三角形的面积公式可得21sinC24aab，进而由二倍角公式可得sinCcos，再利用三角形的内角和可得角的大小试题解析：（I）由正弦定理得sinsinC2sincos，故2sincossinsinsinsincoscossin，于是sinsin又，0,，故0，所以或，因此（舍去）或2，所以，2第11页（共 11页）考点：1、正弦定理；2、两角和的正弦公式；3、三角形的面积公式；4、二倍角的正弦公式【思路点睛】（I）用正弦定理将边转化为角，进而用两角和的正弦公式转化为含有，的式子，根据角的范围可证2；（II）先由三角形的面积公式及二倍角公式可得含有，C的式子，再利用三角形的内角和可得角的大小