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1、4.3.2 4.3.2 空间两点间的距离公式空间两点间的距离公式类比类比猜想猜想两点间距离公式两点间距离公式长长a a，宽，宽b b，高，高c c的长方体的对角线，怎么求？的长方体的对角线，怎么求？d dc ca ab bO OP Pz zy yx xx xy yz z在空间直角坐标系中在空间直角坐标系中,点点P(xP(x，y y，z)z)到点到点xOyxOy平面的距离，平面的距离，怎么求？怎么求？一、探究：空间两点间的距离公式一、探究：空间两点间的距离公式垂线段垂线段的长的长在空间直角坐标系中在空间直角坐标系中,点点P(xP(x0 0，y y0 0，z z0 0)到到坐标轴的距离，怎么求？坐
2、标轴的距离，怎么求？垂线段垂线段的长的长1.1.空间点到原点的距离空间点到原点的距离探究：探究：如果如果是定是定长长r,r,那么那么表示什么表示什么图图形？形？O Ox xy yz zP P在空间中，到定点的距离在空间中，到定点的距离等于定长的点的轨迹是等于定长的点的轨迹是以原点为球心，以原点为球心，半径长为半径长为 r r 的的球面球面 2.2.如如果果是是空空间间中中任任意意一一点点P P1 1（x x1 1，y y1 1，z z1 1）到到点点P P2 2（x x2 2，y y2 2，z z2 2）之）之间间的距离公式会是怎的距离公式会是怎样样呢？呢？如图，设如图，设P P1 1（x x
3、1 1，y y1 1，z z1 1）、）、P P2 2（x x2 2，y y2 2，z z2 2）是空间中任意两点，且点是空间中任意两点，且点P P1 1（x x1 1，y y1 1，z z1 1）、）、P P2 2（x x2 2，y y2 2，z z2 2）在在xOyxOy平面上的射影分别为平面上的射影分别为M,N,M,N,那那么么M,NM,N的坐标为的坐标为M M（x x1 1，y y1 1，0 0），），N N（x x2 2，y y2 2，0 0）.O OyzxMP1P2NM1N2N1M2H在在xOyxOy平面上平面上,过点过点P P1 1作作P P2 2N N的垂线，垂足为的垂线，垂足
4、为H,H,则则所以所以因此，空间中任意两点因此，空间中任意两点P P1 1（x x1 1，y y1 1，z z1 1）、）、P P2 2（x x2 2，y y2 2，z z2 2）之间的距离之间的距离 在空间直角坐标系中，点在空间直角坐标系中，点P(xP(x1 1,y,y1 1,z,z1 1)和点和点Q(xQ(x2 2,y,y2 2,z,z2 2)的的中点坐标中点坐标(x,y,zx,y,z):):二、空间中点坐标公式二、空间中点坐标公式原结论成立原结论成立.解解:例例1 1 求证以求证以M M1 1(4,3,1)(4,3,1)、M M2 2(7,1,2)(7,1,2)、M M3 3(5,2,3
5、)(5,2,3)三点为顶点的三点为顶点的三角形是一个等腰三角形三角形是一个等腰三角形.答案：答案：1.1.求下列两点的距离求下列两点的距离例例2.2.在在z z轴上求与两点轴上求与两点A(A(4,1,7)4,1,7)和和B(3,5,B(3,5,2)2)等距离等距离的点的点 解：解：设所求的点为设所求的点为M M(0,0,(0,0,z z)，依题意有，依题意有 解之得解之得即即所以所求点的坐标是所以所求点的坐标是答案：答案：在在z z轴上求一点轴上求一点M M，使点，使点M M 到到A A（1,0,21,0,2）与点）与点B B（1 1，-3,1-3,1）的距离相等的距离相等.1 1到定点到定点
6、(1(1，0 0，0)0)的距离小于或等于的距离小于或等于1 1的点的集合是的点的集合是（）（A A）(x(x，y y，z)|(x-1)z)|(x-1)2 2+y+y2 2+z+z2 21 1 （B B）(x(x，y y，z)|(x-1)z)|(x-1)2 2+y+y2 2+z+z2 2=1 =1 （C C）(x(x，y y，z)|xz)|x2 2+y+y2 2+z+z2 22 2 （D D）(x(x，y y，z)|xz)|x2 2+y+y2 2+z+z2 211A A2 2在在RtABCRtABC中，中，BAC=90BAC=90，三点的坐标为，三点的坐标为A(2A(2，1 1，1)1)，B
7、B(1(1，1 1，2)2)，C(xC(x，0 0，1)1)，则，则x=_.x=_.3 3若点若点P(xP(x，y y，z)z)到到A(1A(1，0 0，1)1)，B(2B(2，1 1，0)0)两点的距离两点的距离相等，则相等，则x x、y y、z z满足的关系式是满足的关系式是_._.4 4已知点已知点P P在在z z轴上满足轴上满足|OP|=1|OP|=1（O O是坐标原点），则点是坐标原点），则点P P到到点点A(1A(1，1 1，1)1)的距离是的距离是_。5 5正方体不在同一平面上的两个顶点的坐标分别为正方体不在同一平面上的两个顶点的坐标分别为A(-1A(-1，2 2，-1)-1)，B(3B(3，-2-2，3)3)，则正方体的棱长为，则正方体的棱长为_。2 22x+2y-2z-3=0 2x+2y-2z-3=0 4 4类比类比猜想猜想一、两点间距离公式一、两点间距离公式在空间直角坐标系中，点在空间直角坐标系中，点P(xP(x1 1,y,y1 1,z,z1 1)和点和点Q(xQ(x2 2,y,y2 2,z,z2 2)的中点的中点坐标坐标(x,y,zx,y,z):):二、空间中点坐标公式二、空间中点坐标公式