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1、第第八八讲讲.阶梯位势阶梯位势：讨论最简单的定讨论最简单的定态问题态问题 （1 1）当当 令令 ，由波函数有界由波函数有界,C0在在x0处，波函数连续，波函数导数连续，处，波函数连续，波函数导数连续，解得解得 对对E E没有限制，任何没有限制，任何E E都可取，即取连续值。都可取，即取连续值。讨论讨论：A.处处，经典粒子不能去的地方，但，经典粒子不能去的地方，但仍有一定的几率发现量子粒子。仍有一定的几率发现量子粒子。B区域区域，有沿，有沿x方向的平面波和沿方向的平面波和沿x反方向的平面波反方向的平面波,且振幅相同，构成一驻波。且振幅相同，构成一驻波。这一驻波，在这一驻波，在处为处为0。x0C.
2、几率流密度矢：几率流密度矢：i.透射几率流密度矢（透射几率流密度矢（）jT0（因因是实函数）是实函数）.在区域在区域 ，有向右的几率流密度，有向右的几率流密度，即入射几率流密度矢即入射几率流密度矢=iii.在区域在区域，也有向左的几率流密度，也有向左的几率流密度，即反射几率流密度矢即反射几率流密度矢 =所以，总几率流密度矢为所以，总几率流密度矢为 0。当当，入射，入射粒子完全被反射回来，没有几率流流入到区域粒子完全被反射回来，没有几率流流入到区域中。中。定义：定义：1.反射系数反射系数，现，现R=1;2.透射系数透射系数，现，现T=0。(2)(2)当当 ,求粒子从左向右方入射的解。求粒子从左向
3、右方入射的解。令令 ，由初条件，由初条件，粒子由左向右入射粒子由左向右入射，由于在，由于在x=0处位势有间断点，所以，处位势有间断点，所以，区域有入射波，区域有入射波，也有反射波；但在也有反射波；但在处，位势无间断点，所处，位势无间断点，所以，只有入射波，无反射波，以，只有入射波，无反射波，因此，因此，C0。由波函数及其导数连续，由波函数及其导数连续，得得 结果有结果有讨论：讨论：A.在在时，时，区域区域有一沿有一沿x方向传播方向传播的平面波，波数为的平面波，波数为k1但这并不是指粒子具有动但这并不是指粒子具有动量为量为，因这要全空间）。显然，因这要全空间）。显然，=。从而得从而得反射系数反射
4、系数=透射系数透射系数=显然显然.位垒穿透位垒穿透：（1）EV0：从左向右入从左向右入射射，所以在，所以在区域有区域有解解eikx（入射波）；入射波）；e-ikx（反射波）。反射波）。区域有区域有eikx（透射波）。透射波）。这形式是普遍的，只要远离作用区。而沿这形式是普遍的，只要远离作用区。而沿x方向的几率流密度为方向的几率流密度为，所以只要求得所以只要求得即可。即可。对于对于区域，有方程区域，有方程 有解有解其中其中由由，处，处，连续连续，得得 于是有于是有（2）当）当这时只要将这时只要将，并由并由，得得 从而有从而有 （3）结果讨论：）结果讨论：A（或或），即几率流），即几率流密度矢连续
5、密度矢连续。当当 时，仍有一定几率流透射时，仍有一定几率流透射过去；过去；B.B.当当 时，仍有一定几率流被反射。时，仍有一定几率流被反射。但但当当 时时，T T1 1，即完全透射过去。这即完全透射过去。这种现象称为共振透射（仅在种现象称为共振透射（仅在条件下发生条件下发生）这时这时被称为共振能级被称为共振能级。这种现象是量子这种现象是量子现象。现象。如一种解释，认如一种解释，认为为 ，所以，所以，即位垒，即位垒宽是半波长的整数倍时，宽是半波长的整数倍时，则经过多次反射而透射出去的波的位相相同，从则经过多次反射而透射出去的波的位相相同，从而出现共振透射。这是不对的，因在这区域中，而出现共振透射
6、。这是不对的，因在这区域中，没有确定的波长。没有确定的波长。.方位阱穿透方位阱穿透：这时只要将这时只要将 即可。即可。其中其中 ，。当当 时，则同样出现时，则同样出现 ，即，即共振透射。这时，共振透射。这时，(n取取值值应应保保证证En大于零大于零)如果我们将位势在如果我们将位势在 处选取为处选取为 ，那，那在在 和和 区域，入射能量区域，入射能量 ，而区域而区域 ，粒子能量为，粒子能量为 ，即，即3.53.5一维无限深方位阱一维无限深方位阱 （1 1）能量本征值和本征函数：）能量本征值和本征函数：，有解有解其中其中 要求波函数在要求波函数在 处连续处连续（当然，并不（当然，并不要求导数连续）
7、，于是有要求导数连续），于是有要求要求A，B不同时为不同时为0，则必须系数行列式为，则必须系数行列式为0。即即 .代入方程得代入方程得 .代入方程得代入方程得 所以，所以，相应的本征能量为相应的本征能量为（2 2）结果讨论：）结果讨论：A.根据一定边条件根据一定边条件，要求要求(处，波处，波函数连续），薛定谔方程自然地给出能级的量子函数连续），薛定谔方程自然地给出能级的量子化。化。B.一个经典粒子处于无限深位阱中，可一个经典粒子处于无限深位阱中，可以安静地躺着不动。但对以安静地躺着不动。但对量子粒子而言，量子粒子而言，所以，所以，即，即不能精确为不能精确为0。因此，无限深方位势的粒子最低能量不
8、为因此，无限深方位势的粒子最低能量不为0。C.对基态：对基态：而而所以，所以，无零点，即无节点，是偶函数无零点，即无节点，是偶函数。第一激发态第一激发态：而而有一零点，即有一节点，是奇函数有一零点，即有一节点，是奇函数。第二激发态第二激发态：而而有二个零点，即有二个节点，是偶函数有二个零点，即有二个节点，是偶函数。3.63.6宇称，一维有限深方势阱，双宇称，一维有限深方势阱，双 位势位势（1）宇称：）宇称：前面无限深位势的能量本征函数前面无限深位势的能量本征函数有两类形式：有两类形式：。显然显然我们把以我们把以偶函数描述的态称为偶宇称态偶函数描述的态称为偶宇称态奇函数描述的态称为奇宇称态。奇函
9、数描述的态称为奇宇称态。这不是偶然的，它这不是偶然的，它是由于位势在是由于位势在 的变换下不变的变换下不变 的结果。的结果。现对这一问题作进一步的讨论：如位势为偶现对这一问题作进一步的讨论：如位势为偶，当，当是方程的解，即满是方程的解，即满足足在在变换下，有变换下，有 于是有，于是有，所以，当是所以，当是解，则解，则也是解。也是解。A.当能级不简并时当能级不简并时：令：令P为宇称算符，为宇称算符，我们有我们有即即。因此，当体系在对称位势下运动（空间反射因此，当体系在对称位势下运动（空间反射是对称的）。若能级不简并，其所处的状态，也是对称的）。若能级不简并，其所处的状态，也是是宇宇称称算算符符的
10、的本本征征态态，而而本本征征值值为为 ，即即所所得得 的解必有确定宇称。的解必有确定宇称。B.B.当能级简并时当能级简并时，那所得解当然不一定有，那所得解当然不一定有确定的宇称。但奇、偶部分分别是解。确定的宇称。但奇、偶部分分别是解。已证明，已证明，是解，则是解，则也是解。由于能也是解。由于能级是简并的，所以级是简并的，所以不一定等于不一定等于。如果如果 ，则可作线性组合，则可作线性组合，前者为偶宇称解，后者为奇宇称解。前者为偶宇称解，后者为奇宇称解。因此，在一维对称位势下，我们总可选具有因此，在一维对称位势下，我们总可选具有确定的宇称的函数作为能量本征态的解，而这确定的宇称的函数作为能量本征
11、态的解，而这将使问题处理简化。将使问题处理简化。宇称的概念是量子力学所特有的宇称的概念是量子力学所特有的。（2）有限对称方位阱：）有限对称方位阱：仅讨论束缚态，所以仅讨论束缚态，所以由于是一维对称势的束缚态由于是一维对称势的束缚态。因此其解必具。因此其解必具有确定的宇称。所以，只要在区域有确定的宇称。所以，只要在区域中求解。中求解。A偶宇称解：偶宇称解：由于，由于，有解有解，其中，其中，。由于是由于是偶宇称解，所以其导数为奇函数偶宇称解，所以其导数为奇函数，即即在在处处，导导数数为为零零的的解解。于于是是，要要求求；。另外，要求解有界，所以可能解为另外，要求解有界，所以可能解为利用利用 处，波
12、函数及其导数连续，处，波函数及其导数连续，于，于是是有有 令令 ，则，则 而而由这两个方程由这两个方程 ()()。B奇宇称解：奇宇称解：由于是奇宇称解，波函数在由于是奇宇称解，波函数在处应为处应为0，于是，于是A0。得解的形式得解的形式同理在同理在处处连续，得连续，得 另外另外从而求得从而求得（）而相应波函数为而相应波函数为 C讨论讨论1.当当即即,只有一个解。而在区域只有一个解。而在区域 中无零点，即为基态中无零点，即为基态;当当时，这时交时，这时交二个点，即有二个分立能级。二个点，即有二个分立能级。基态无零点：第一激发态有一个零点。基态无零点：第一激发态有一个零点。当当时，交时，交 个点，
13、有个点，有 条能级。条能级。等高有限方位势，分立能级数目取决于等高有限方位势，分立能级数目取决于的大小。但不管如何小，总有分立能级，的大小。但不管如何小，总有分立能级，至少至少一个。一个。2.2.在经典力学中，当在经典力学中，当 时，粒子只能时，粒子只能 处于区域处于区域 中。而量子粒子，则有一定的几中。而量子粒子，则有一定的几率处于率处于 区域中，而且必须有。正是由于区域中，而且必须有。正是由于这一点，无论这一点，无论 如何小，至少有一个解。如何小，至少有一个解。（3 3）求粒子在双）求粒子在双位阱中运动位阱中运动A位势两边的波函数导数间的关系位势两边的波函数导数间的关系其中，其中，。当当
14、，B B求求双双位阱解位阱解 令令 在在 区域有解区域有解 ，即，即 在在 区域有界区域有界,于是有解于是有解 。1 1偶宇称态解偶宇称态解 由波函数在由波函数在a a处连续处连续由导数间的关系为由导数间的关系为所以，所以，于是有于是有 代代，得得偶宇称态的能量为偶宇称态的能量为 ，其相应的波函数为其相应的波函数为 2 2奇宇称解：奇宇称解：由波函数在由波函数在 处为零，于是有处为零，于是有 由波函数在由波函数在 处连续处连续 波函数导数在波函数导数在 处的联系处的联系 得得 奇宇称态的能量为奇宇称态的能量为 结论：结论：当位势有对称性时，用宇称概念求当位势有对称性时，用宇称概念求 解简易得多。解简易得多。位位势势如如为为 势势，则则在其宗量在其宗量为为零零处处的的波函数波函数导导数数间的联系为（间的联系为（）3.7 3.7 束束缚缚能能级级与反射振幅极点的关系与反射振幅极点的关系 Max Born Max Born 给出定态散射解给出定态散射解