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1、第八章第八章 圆锥曲线方程圆锥曲线方程第 讲（第一课时）（第一课时）1考点搜索曲线的方程与方程的曲线的概念，以及轨迹与轨迹方程的含义求轨迹方程的基本方法高考猜想1.以直线与圆锥曲线为背景，求动点的轨迹方程(或轨迹图形).2.利用轨迹思想解决变量的取值范围与最值问题.21.对于曲线C和方程F(x,y)=0,如果曲线C上的点的坐标都是_,且以方程F(x，y)=0的解为坐标的点都在_,则方程F(x,y)0叫做_,曲线C叫做_.2.直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线是基本的轨迹图形，其中：(1)在平面内，到两定点的距离相等的点的轨迹是_.方程方程F(x，y)=0的解的解曲线曲线C上上曲线曲线C的方程的方程
2、方程方程F(x，y)=0的曲线的曲线连结两定点的线段的中垂线连结两定点的线段的中垂线3(2)平面内到角两边距离相等的点的轨迹是_.(3)平面内到定直线的距离等于某一定值的点的轨迹是_.(4)平面内到定点的距离与到定直线距离之比等于常数的点的轨迹是圆锥曲线.当常数大于1时，表示_;当常数等于1时，表示_;当 常 数 大 于 0而 小 于 1时,表 示_.(5)平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是 _.角平分线角平分线与这条直线平行的两条直线与这条直线平行的两条直线双曲线双曲线抛物线抛物线椭圆椭圆圆圆4(3)动点所满足的条件不易表达或求出，但形成轨迹的动点P(x，y)却随另一动点Q(x，y)的运
3、动而有规律的运动，且动点Q的轨迹为给定或容易求得，则可先将x，y表示为x、y的式子，再代入Q的轨迹方程，然后整理得P的轨迹方程，这种方法称之为 _.(4)求轨迹方程有时很难直接找出动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量(参数)，使x、y之间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程，这种方法称之为 _.代入法代入法参数法参数法61.已知两点M(-2，0)，N(2，0)，点P为坐标平面内的动点，且满足 则动点P的轨迹方程是()A.y2=8x B.y2=-8xC.y2=4x D.y2=-4x 解:设点P(x,y),则 由已知可得 化简得y2=-8x，故选B.B72.点P(
4、4，-2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点的轨迹方程是()A.(x-2)2+(y+1)2=1 B.(x-2)2+(y+1)2=4 C.(x+4)2+(y-2)2=4 D.(x+2)2+(y-1)2=1 解:设圆上任一点为Q(s,t),PQ的中点为A(x,y),则 解得 将其代入圆的方程,得(2x-4)2+(2y+2)2=4，整理得(x-2)2+(y+1)2=1.A8故点F的轨迹是以A、B为焦点，实轴长为2的双曲线的下支.又c=7，a=1，所以b2=48，所以点F的轨迹方程为 (y-1).101.(2010北京卷改编)在平面直角坐标系xOy中，点B与点A(-1,1)关于原点O对称，P是动点，
5、且直线AP与BP的斜率之积等于-，求动点P的轨迹方程 题型题型1 直接法求轨迹方程直接法求轨迹方程11点评：本题的轨迹方程是用直接法求得动点所满足的条件已给出，只要设出动点坐标，代入条件即可列出方程，然后化简即可13152.已知圆A:(x+2)2+y2=1 与点A(-2，0)，B(2，0)，分 别求出满足下列条件的动点 P的轨迹方程.(1)PAB的周长为10；(2)圆P过点B(2，0)且与 圆A外切(P为动圆圆心)；(3)圆P与圆A外切且与直线x=1相切(P为动圆圆心).题型题型2 定义法求轨迹方程定义法求轨迹方程16且2a=1，2c=4，即因此其方程为 (3)依题意，知动点P到定点A的距离等
6、于它到定直线x=2的距离，故其轨迹为抛物线，且开口向左，p=4.因此其方程为y2=-8x.点评：根据给定的条件转换得出所求轨迹是符合某种定义的圆锥曲线，然后按此圆锥曲线的方程形式求得其对应的系数即可得出所求轨迹方程，这就是定义法求轨迹方程.18 设点P为直线l:x=-上一动点,F(-,0)为定点，连结PF并延长到点M，使|PM|=|PF|FM|,求点M的 轨迹方程.解：设直线l交x轴于A点，作MBl，垂足为B，则PAFPBM，所以 因为|PM|=|PF|FM|，19所以 即所以点M的轨迹是以点F为左焦点，l为左准线的椭圆位于直线x=-右侧的部分.由可得a=4，b=2，c=.因为|OF|=c，所
7、以O为椭圆的中心.故点M的轨迹方程是201.直接法求轨迹方程的一般步骤是：(1)建系建立适当的坐标系.(2)设点设轨迹上的任一点P(x，y).(3)列式列出动点P所满足的关系式.(4)代换依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为x，y的方程式，并化简.(5)证明证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程.212.求出的轨迹方程中若有的解不合轨迹条件,从而使轨迹图形上有不合轨迹条件的点存在,则该方程及其曲线不满足纯粹性；求出的轨迹方程所表示的曲线若不是所有适合条件的点的集合，即曲线之外还有适合条件的点存在，则该方程及曲线不满足完备性.求解轨迹方程时要避免方程不满足纯粹性和完备性的错误.3.
8、为保证纯粹性和完备性，在求曲线方程时，要注意分析其隐含条件，若是曲线的一部分，则应对方程注明x的取值范围，或同时注明x，y的取值范围；若轨迹有不同的情况，应分别讨论，以保证它的完整性.22题型题型3 代入法求轨迹方程代入法求轨迹方程242526 求经过定点A(1，2)，以x轴为准线，离心率为 的椭圆下方的顶点的轨迹方程.解：设椭圆下方的焦点为F(x0，y0)，由定义知 所以|AF|=1，故点F的轨迹方程为(x0-1)2+(y0-2)2=1.又设椭圆下方顶点为P(x,y),则x0=x,y0=y,所以点P的轨迹方程是(x-1)2+(y-2)2=1.282.如右图,P是抛物线C：上一点，直线l过点P
9、且与抛物线C交于另一点Q.若直线l与过点P的切线垂直，求线段PQ的中点M的轨迹方程.解：设P(x1,y1)、Q(x2,y2)、M(x0,y0)，依题意知x10，y10，y20.由 由得y=x,题型题型4 参数法求轨迹方程参数法求轨迹方程29消去x1，得 所以PQ的中点M的轨迹方程为 方法2：由 得 则 所以 将上式代入式并整理，得 所以PQ的中点M的轨迹方程为31点评：本题主要考查了直线、抛物线的基础知识，以及求轨迹方程的常用方法.本题求解的关键是利用导数求切线的斜率以及灵活运用数学知识分析问题、解决问题.本题先设P，Q两点的坐标为参数，然后利用抛物线方程、切线方程等得出横坐标的关系及中点M的
10、坐标，再把所求点M的坐标(x0，y0)转化为所设参数x1的式子，然后通过消去所设参数，就得到x0,y0的方程，这就是参数法求轨迹方程.应用参数法的关键是找到各参数之间的关系及如何代入或整体消参.3233343536设椭圆方程为 过点M(0，1)的直线l交椭圆于点A、B，O是坐标原点，点P满足 点N的坐标为 当l绕点M旋转时,求 的最小值与最大值.解法1：直线l过点M(0,1),设其斜率为k，则l的方程为y=kx+1.记A(x1，y1)，B(x2，y2).题型题型 轨迹思想的应用轨迹思想的应用37由题设可得点A、B的坐标(x1，y1)、(x2，y2)是方程组 的解,将代入并化简,得(4+k2)x
11、2+2kx-3=0，所以 于是 设点P的坐标为(x，y)，则 消去参数k得4x2+y2-y=0.38当k不存在时，线段AB的中点为坐标原点(0，0)，也满足方程，所以点P的轨迹方程为4x2+y2-y=0.所以又即 所以所以当 时，当x=时，|NP|min=.39解法2：设点P的坐标为(x，y).因为A(x1，y1)，B(x2，y2)在椭圆上，所以 由-得所以 当x1x2时,有 40并且 将代入并整理得4x2+y2-y=0.当x1=x2时，点A、B的坐标分别为(0，2)和(0，-2)，此时点P(0，0)也满足.所以点P的轨迹方程是4x2+y2-y=0.以下同解法1.411.求轨迹方程是解析几何的
12、基本内容，必须理解各种方法在什么情况下使用.常用方法：定义法、直接法、代入法、参数法.在解题时考虑顺序使用往往是寻求解题方法的思维程序.2.求轨迹方程与求轨迹是有不同要求的，若是求轨迹则一般先求出方程，然后说明和讨论所求轨迹是什么样的图形，即图形的形状、位置、大小都需说明、讨论清楚.423.某些最值问题常常化归为轨迹问题来解决，即先研究动点的轨迹或轨迹方程，再在此基础上求相关最值，这就是轨迹思想.4.利用参数法求动点轨迹也是解决问题的常用方法，应注意如下几点：(1)参数的选择要合理，应与动点坐标x、y有直接关系，且易用参数表达.可供选择作为参数的元素很多，有点参数、角参数、线段参数、斜率参数等.43(2)消参数的方法有讲究，基本方法有代入法，加减法，构造公式法等，解题时应注意积累.(3)对于所选的参数，要注意其取值范围，并注意参数范围对x、y的取值范围的制约.44