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1、第 1 页2023 年普通高等学校招生全国统一考试模拟试卷（一）数学答案2023 年普通高等学校招生全国统一考试模拟试卷（一）数学答案一、选择题1B2D3C4B5D6C7D8A二、选择题9AC10AD11ABC12ACD三、填空题13甲142515416.52【解析】解析】1B【详解】因为2,0,MaNab，MN所以2200aababa，解得10ab，所以ab1.故选：B.2D【详解】因为在ABC中，若2ADAB，所以点B为AD中点，所以22CDCBCAab ，故选：D3C【详解】设izab（,Ra b且0b），代入原方程可得222(22)i0bamabba 所以2220220abamabb，
2、解得2101bma，因为22|2zab，所以21,2bm故选：C.4B【详解】设O为正四棱锥底面中心，连接POOH，则3 3,3PHOH，223 2POHOHP，tan2PHOOPOH，第 2 页取BC的中点M，连接AM，过D作DGOH于G，则2DGAM在直角DGH中2tanPDGGOHH过E作/EN AB交AD于，N连接NF则2 2ANADDN，所求体积ABC NEFD NEFVVVV四棱锥22311111366 6 3 2(2 2)2 2(2 2)2232323m 故选：B5D【详解】由题意可得555222axyayxyy xyxx，在52axyx的展开式中，由15455C22Crrrrr
3、rraxxyaxy令422rr解得2r，即52axyx的展开式中22x y的项的系数为2252C40aa，在52y xy的展开式中，由55155C22Crrrrrrryxyxy，令5212rr 无解，即52y xy的展开式中没有22x y项；又22x y的系数为 80，所以4080a，解得2a.故选：D6C【详解】不妨设点A为曲线1C与2C在y轴上的交点，如图，设点D为AC的中点，连接BD，BC则|12TAD，|2|2 sin(0)33BDOAaa因为ABC是等腰直角三角形，所以|ADBD，所以33a 故选：C7D【详解】设00(,)A xy，11,B x y，11,Dxy，2200221xy
4、ab，2211221xyab，相减整理得2010120101yyyybxxxxa，第 3 页即2214ABADbkka ，1tantan4 coscoscossinsin1tantan5coscoscossinsin1tantan3，1cos335cos,cos102222210，-，故选：D8A【详解】112ln11411010ca，令()21141f xln xx，则2(141)()1142()1214xxfxxxxx，()f x在(0,2)上单调递增，(0.1)00ff，2 1.11.41ln，即ca又111112(sinln)2 sinln110101010bc令 sinln1g xx
5、x，10,3x，则 1cos1h xgxxx，10,3x，21sin1hxxx，在10,3上单调递减，当10,3x时，1sin0,sin3x，219,1161x，911sinsin16263，当10,3x时，21sin01h xxx，1cos1h xgxxx在区间10,3上单调递增，当10,3x时，00gxg，g x在区间10,3上单调递增，1111sinln00101010gg，即0bc，bc，综上有acb.故选：A.二、多项选择题（共 4 小题，每小题 5 分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对得 5 分，部分选对得 2 分，有选错的得 0 分）9AC第 4 页【详解】对于
6、 A 选项，120nxxxxn，120nxxxnx，01200011nxxxxxnxxnn，平均数不变，所以 A 选项正确；22220102001nsxxxxxxn，2222102211nsxxxxxxxxn0000222120211nxxxnxxxxx，所以220ss，故 B 错误，C 正确；对于 D 选项，由于原数据的中位数与平均数的大小关系不确定，所以不能比较新数据与原数据的中位数的大小，故 D 错误.故选：AC10AD【详解】点P到平面MNC的距离为a为定值，又221111111222222238MNCSaaaaaaaa，所以23113388MPNCP MNCVVaaa，即三棱锥MPN
7、C的体积为定值，故A正确；设CD中点为Q，连接,MQ PQ,则PMQ即为异面直线BC与MP所成的角在Rt PMQ中，2cos2MQaPMQPMPM所以异面直线BC与MP所成的最小角为 45,故B不正确；若P为11C D中点，则PQABCD 平面，所以PQMN，又MNNQ，PQNQQ，所以MN 平面NPQ，NP 平面NPQ，所以MNNP，故C不正确；取1DD的中点E，11BC的中点F，1BB的中点G，连接NE、EP、PF、FG、GM，所以过M、N、P三点的平面截正方体所得截面为正六边形，面积为23 34a，故D正确故选：AD11ABC【详解】对于 A，由抛物线的定义的，PFPMPN,所以MFFN
8、，故 A 正确.因为00,P xy，则01,4My，0012,4Nxy，点P处的切线斜率012PTky，而0002001222NFyykxyy，所以PTNFkk，第 5 页从而PTNF，又P是线段MN中点，所以T是线段MQ的中点，又90MFN，所以TFTQTM，所以FTQ是等腰三角形，故 B 正确.因为PTNF，所以MPTPNFPFNFPT ，所以PT平分FPM，故选项 C 正确；直线FN的方程为01124yxy，令14x ，得011,44Qy，所以000011121444MQyyyy，当且仅当012y 时，MQ最小值为 1，故 D 错误故选：ABC.12ACD【详解】因为()f x定义在(1
9、,1)上，且满足()()()1xyf xf yfxy恒成立，令0 xy，解得(0)0f，故A正确；再令yx，则()()(0)0fxf xf，故()()fxf x，故()f x是奇函数，故B错误；任取1x，2(1,1)x ，且12xx，则212112()()()1xxf xf xfx x因为122112(1)(1)10 xxxxx x，所以21121xxx x，所以2112011xxx x因为(0,1)x，()0f x，所以2112()01xxfx x，12()()f xf x，即()f x在区间(1,1)上单调递增故 C 正确；对于D，因为0nx，122(0,1)1nnnxxx令yx，则222
10、()()1xf xfx令nxx，则1222()()()1nnnnxf xff xx，所以1()2()nnf xf x因为1()1f x，所以()nf x是首项为 1，公比为 2 的等比数列，所以11()1 22nnnf x，故D正确故选：ACD三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13甲【详解】根据题意，因为线性相关系数的绝对值越大，线性相关性越强甲、乙、丙、丁四组数据的线性相关系数分别为0.95，0.87，0.76，0.92，所以甲组数据的线性相关性最强故答案为：甲1425第 6 页【详解】当13a 时，210a，35a，416a，58a，64a，72a，81a，94a，
11、.，则数列na从第 6 项开始，数列为周期为 3 的周期数列，一个周期三项的和为 7因为542S；所以5m，由7904271kk，kZ，得6k，所以255256 74290SSS，所以25m 故答案为：25154【详解】设直线2ykx与曲线31:Cyx相切的切点的坐标为0(x，0)y23yx，由题意可得2030032kxkxx，解得013xk，所以直线方程为：32yx因为直线32yx与圆222:10,0Cxaya相切，所以321010a，所以4a 或83a （舍）故答案为：41652【详解】因为平面SAD 平面ABCD，平面SAD 平面ABCDAD，AB 面ABCD，又因为ABAD，所以AB
12、平面SAD，所以BMA为直线MB与平面SAD所成的角，同理CMD为直线MC与平面SAD所成的角，所以tantanCMDBMA，所以ABCDAMDM，即2MDMA在平面SAD内，以A为坐标原点，以AD为x轴正方向，建立平面直角坐标系，设(,)M x y，则有2222(3)2xyxy，化简得22(1)4xy即M点的轨迹方程为22(1)4xy要使三棱锥MBCD的体积最大，只要M点的纵坐标的绝对值最大即可，令1x ，则2y ，当三棱锥MBCD的体积最大时，可取(1,2)M，此时M到平面ABCD的距离为 2三棱锥MBCD外接球的球心在过三角形BCD外接圆圆心且垂直平面BCD的直线上在三棱锥MBCD中，设
13、点Q即为等边三角形BCD外接圆的圆心，设三棱锥MBCD外接球的球心为O，半径为R，设OQx，第 7 页则有2224(2)12Rxx，解得3x，所以29413R，所以三棱锥MACD外接球的表面积2452SR故答案为：52四、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.【详解】（1）(49.95)0.02(50.05)P XP X，(49.9550.05)10.040.96PX，计划生产：12000.961250个零件最为合理；4 分（2）改进前，零件尺寸符合条件的有 1200 个，不符合的有 50 个，改进后，零件尺寸符合条件的有 1200 个，不符合的有 25 个其列联表如
14、下：合格不合格总计改进前1200501250改进后1200251225总计2400752475222475(120025 1200 50)8.0826.6351250 1225 2400 75K，有99%的把握认为生产工艺改进与生产零件的尺寸误差有关10 分18【详解】证明：（1）224(3)sin2sinSabCabC，sin0C则22230aabb，即(3)()0ab ab，a，0b，30ab，即3ab，由正弦定理可得，sin3sinAB4 分（2）解：假设存在正整数m，n，使得cmb和tantanAnC同时成立sinsincoscosACnAC，即22222222ancbcaabcbca
15、b，化简整理可得，222222()abcn bca，cmb，3ab，222222229(9)bbm bn bm bb，即2281mn10 分m，n均为正整数，1n，3m 第 8 页故存在1n，3m 使得cmb和tantanAnC同时成立12 分19【详解】（1）因为2122nnnaa，所以11222nnnnaa，因为120a，数列2nna 为常数列，所以*2nnanN.即所求数列 na的通项公式为：*2nnanN.4 分（2）由（1）及题设得，21142nnkkknkkkaba22424242nn 224 1 42 1 24442221 41 2nnnn11111143 2221 2233nn
16、nn 1221 213nn，8 分所以113231122 21212121nnnnnnnba，所以1223131111112 212121212121nnnS+113 2131122121nnn.12 分20【详解】（1）连接1A B与1AB相交于点F，连接CF，如图所示：四边形11AAB B为菱形，F为1AB的中点，则11ABAB1ABCV为等边三角形，有1CFAB，1,AB CF 平面1ABC，1ABCFF，1AB 平面1ABC4 分BC平面1ABC，1ABBC，又ACBC，1,AB AC 平面1AB C，1ABACA，BC 平面1AB C1BC 平面1ABC，1CBCB6 分（2）分别取
17、,AC AB的中点,O G，连接1,BO OG，则/OG BC，OG平面1AB C，1ABCV为等边三角形，1BOAC，以O为原点，OG，OC，1OB的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,2,0)A，(0,2,0)C，(4,2,0)B，1(0,0,2 3)B，第 9 页设1101CECCBB ，则4,22,2 3E，4,42,2 3AE ，10,2,2 3AB 设平面1AB E的一个法向量,x y zn，则有14422 3022 30AExyzAByz nn令z，则=3y，33x，即33,3,n又平面ABC的法向量为100 2 3OB，平面1AB E与平面A
18、BC的夹角的余弦值为12222 31cos,42 3313OBn23210，13或1（舍），10 分此时2 33 1,333 n，又4,4,0AB 点B到平面1AB E的距离为：2224 33 32 331333AB nn.12 分21【详解】（1）设直线AB：=1xyab，由题意得，2251252baabab，21ab，故双曲线C的标准方程为2214xy4 分（2）显然直线l的斜率存在，设l的方程为12yk x，联立221214yk xxy，消去y得222(14)8128 2210kxkk xkk，由20140k，得12k 设1(M x，1)y，2(N x，2)y，12282141kkxxk
19、，2122822141kkx xk6 分AB方程为1(2)2yx，令1xx，得112,2xP x，AN方程为22(2)2yyxx，令1xx得11222(,)2xQ xyx，第 10 页因为121212121212411221222224yyxxkkxxxxx xxx10 分所以11111122221222212212222yxyMPxxxyPQyxx，即P是MQ的中点12 分22【详解】（1）函数2()2 ln20f xaxxxx恒成立即ln12axx，在(0,)上恒成立令ln1()xg xx，则 2lnxgxx，当01x，时，()0g x，g x单调递增，当1,x时，g()0 x，g()x单
20、调递减，所以当1x 时 g x取得最大值，即 112ag，即2a，故a的取值范围是2，；4 分（2）因为0 x 时，存在正实数a 2eeaxf xaxx成立，即e22ln(e2)0axaxxx在0,上有解，即lne2ln(e2)0axxaxx在0,上有解，令lntaxx，11axtaxx，又0a，所以lntaxx在10a，上递减，在1,a上递增，所以当1xa时，lntaxx有最小值1lna，则1lnta，8 分则e2(e2)0tt在1ln,a上有解令 e2(e2)th tt，则 e2th t，所以当ln2t 时 0h t，当ln2t 时 0h t，即 h t在,ln2上单调递减，在ln2,上单调递增，又 10h，03e0h ，所以存在00,ln2t 使得 00h t，所以当1t 时 0h t，当0tt时 0h t，当01tt 时 0h t，所以只需1ln1a，即01a时满足题意，故实数a的取值范围是0,112 分