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1、3.43.4基本不等式基本不等式万源市第三中学万源市第三中学-黄少林黄少林20022002年国际数学家大会会标年国际数学家大会会标 一、一、创设情境、体会感知创设情境、体会感知：第第24届国际数学家大会于届国际数学家大会于02年年8月在北京举行，大会会标看上去像月在北京举行，大会会标看上去像一个旋转的风车，它的设计基础是公元一个旋转的风车，它的设计基础是公元3世纪中国数学家赵爽弦图。世纪中国数学家赵爽弦图。赵爽弦图赵爽弦图ABCDABCDaba=b重要不等式：重要不等式：一般地，对于任意实数一般地，对于任意实数a、b，我们有，我们有当且仅当当且仅当a=b时，等号成立。时，等号成立。二二、数学构
2、建数学构建问题问题1:1:如果用如果用 去替换去替换 中的中的 ,前提是什么？能得到什么结论前提是什么？能得到什么结论?问题问题2：你能否从多个角度去证明基本不等式？你能否从多个角度去证明基本不等式？（当且仅当当且仅当a=b时时，等号成立等号成立）基本不等式：基本不等式：正数正数a,b的几的几何平均数何平均数两个正数的几何平均数小于等于算术平均数两个正数的几何平均数小于等于算术平均数正数正数a,b的算术的算术平均数平均数证明：要证证明：要证 只要证只要证要证要证，只要证，只要证要证要证，只要证，只要证显然显然,是成立的是成立的.当且仅当当且仅当a=b时时,中的等号成立中的等号成立.证明不等式：
3、证明不等式：你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?如何用如何用a,b表示表示CD?CD=_如何用如何用a,b表示表示OD?OD=_OD与与CD的大小关系怎样的大小关系怎样?OD_CD如图如图,AB是圆的直径是圆的直径,O为圆心，为圆心，点点C是是AB上一点上一点,AC=a,BC=b.过点过点C作垂直于作垂直于AB的弦的弦DE,连接连接AD、BD、OD.几何意义：半径不小于弦长的一半几何意义：半径不小于弦长的一半ADBEOCab结构特点结构特点：基本不等式的左式为积的形式基本不等式的左式为积的形式,右式为和结构右式为和结构,该不等式表明两正数的和与两正数的
4、积之间的大小关系该不等式表明两正数的和与两正数的积之间的大小关系,运用该不等式可作运用该不等式可作和和与与积积之间的之间的不等变换不等变换.（当且仅当当且仅当a=b时时，等号成立等号成立）基本不等式：基本不等式：三、想一想，错在哪里？想一想，错在哪里？各项皆为各项皆为正数正数；和或积为和或积为定值定值；注意注意等号等号成立的条件成立的条件.一一“正正”二二“定定”三三“相等相等”利用基本不等式求最值时，要注意利用基本不等式求最值时，要注意四四、小结、小结本节课主要探究基本不等式的证明与初步应用本节课主要探究基本不等式的证明与初步应用一个不等式：一个不等式：两种思想两种思想：数形结合思想、归纳类比思想。三个注意三个注意：利用基本不等式求最值时注意：“一正、二定、三相等”五、五、作业：作业：1.课本课本P 100 A组第组第1、2题题 2.求函数求函数 f(x)=x+的最小值的最小值.（选做）（选做）1x+1