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1、第四讲数学归纳法证明不等式第四讲数学归纳法证明不等式4.1 4.1 数学归纳法数学归纳法1 1了解数学归纳法的原理及其使用范围了解数学归纳法的原理及其使用范围2 2会用数学归纳法证明一些简单问题会用数学归纳法证明一些简单问题3掌握数学归纳法证明的两个步骤和一个结论掌握数学归纳法证明的两个步骤和一个结论1 1数学归纳法是一个递推的数学论证方法，论证的第数学归纳法是一个递推的数学论证方法，论证的第一步是证明命题在一步是证明命题在_时成立，这是递推的基础；时成立，这是递推的基础；第二步是假设在第二步是假设在_时命题成立，再证时命题成立，再证明明_时命题也成立，这是递推的依据实际上它使时命题也成立，这
2、是递推的依据实际上它使命题的正确性突破了有限，达到无限证明时，关键是命题的正确性突破了有限，达到无限证明时，关键是k k1 1步的推证，要有目标意识步的推证，要有目标意识2 2从试验、观察出发，用不完全归纳法作出从试验、观察出发，用不完全归纳法作出_，再用数学归纳法进行，再用数学归纳法进行_，这是探索性问题的证法，这是探索性问题的证法，数列中经常用到数列中经常用到(试值试值猜想猜想证明证明)nn0(n0N*)nk(kn0，kN*)nk1归纳猜想归纳猜想严格证明严格证明题型一题型一 证明恒等问题证明恒等问题变变 式训式训 练练所以当所以当nk1时，等式仍然成立时，等式仍然成立由由(1)、(2)可
3、知，对于可知，对于nN*，等式恒成立，等式恒成立点评：点评：用数学归纳法证明恒等式应注意：明确初始值用数学归纳法证明恒等式应注意：明确初始值n0的取值并验证的取值并验证nn0时命题的真假时命题的真假(必不可少必不可少)明确从明确从“假设假设nk时命题正确时命题正确”到写出到写出“nk1时时”命题形式是什命题形式是什么，并找出与么，并找出与“nk”时命题形式的差别弄清左端应增加时命题形式的差别弄清左端应增加的项，明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方的项，明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等简言之：两法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等简言之
4、：两个步骤、一个结论；递推基础不可少，归纳假设要用到，个步骤、一个结论；递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉结论写明莫忘掉.题型二题型二 证明整除问题证明整除问题例例2 求证：求证：an1(a1)2n1能被能被a2a1整除，整除，nN*.由归纳假设，上式中的两项均能被由归纳假设，上式中的两项均能被a a2 2a a1 1整除，故整除，故n nk k1 1时命题成立时命题成立由由(1)(2)(1)(2)知，对知，对n nNN*，命题成立，命题成立点评：点评：证明整除性问题的关键是证明整除性问题的关键是“凑项凑项”，而采用增，而采用增项、减项、拆项和因式分解等手段，凑出项、减项、拆项和因
5、式分解等手段，凑出n nk k时的情形，时的情形，从而利用归纳假设使问题获证从而利用归纳假设使问题获证 栏栏目目链链接接变变 式训式训 练练2用数学归纳法证明用数学归纳法证明(3n1)7n1能被能被9整除整除(nN*)分析：分析：证明一个与证明一个与n有关的式子有关的式子f(n)能被一个数能被一个数a或或一个代数式一个代数式g(n)整除，主要是找到整除，主要是找到f(k1)与与f(k)的关系，的关系，设法找到式子设法找到式子f1(k)，f2(k)，使得，使得f(k1)f(k)f1(k)af2(k)，就可证得命题成立，就可证得命题成立证明：证明：(1)当当n1时，原式时，原式(311)7127，
6、能，能被被9整除，命题成立整除，命题成立(2)假设当假设当nk(k1)时，时，栏栏目目链链接接变变 式训式训 练练(3k1)7k1能被能被9整除，则当整除，则当nk1时，时，3(k1)17k1121(k1)77k1(3k1)(18k27)7k1(3k1)7k19(2k3)7k，(3k1)7k1和和9(2k3)7k都能被都能被9整除，整除，(3k1)7k19(2k3)7k能被能被9整除，整除，即即3(k1)17k11能被能被9整除，整除，即当即当nk1时命题成立时命题成立由由(1)(2)可知，对任何可知，对任何nN*命题都成立命题都成立分析：分析：本题如果将本题如果将nk1时，时，3(k1)17
7、k11变为变为7(3k1)7k137k16，再去证明，再去证明37k16能被能被9整除，困难就大一些，即为了能利用归纳假设，整除，困难就大一些，即为了能利用归纳假设，拼凑结构式以利于出现题目所需要的形式，需要观察式拼凑结构式以利于出现题目所需要的形式，需要观察式子的特点，不能盲目变形，要有目标子的特点，不能盲目变形，要有目标题型一题型一 证明几何或数列问题证明几何或数列问题例例3 平面内有平面内有n个圆，任意两个圆都相交于两点，任个圆，任意两个圆都相交于两点，任意三个圆不相交于同一点，求证：这意三个圆不相交于同一点，求证：这n个圆将平面分成个圆将平面分成f(n)n2n2(nN*)个部分个部分分
8、析：分析：因为因为f f(n n)为为n n个圆把平面分割成的区域数，那个圆把平面分割成的区域数，那么再有一个圆和这么再有一个圆和这n n个圆相交，就有个圆相交，就有2 2n n个交点，这些交点个交点，这些交点将增加的这个圆分成将增加的这个圆分成2 2n n段弧，且每一段弧又将原来的平面段弧，且每一段弧又将原来的平面区域一分为二，因此增加一个圆后，平面分成的区域数增区域一分为二，因此增加一个圆后，平面分成的区域数增加加2 2n n个，即个，即f f(n n1)1)f f(n n)2 2n n.有了上述关系，数学归纳法的第二步证明可迎刃而有了上述关系，数学归纳法的第二步证明可迎刃而解解证明：证明
9、：(1)(1)当当n n1 1时，一个圆将平面分成两个部分，时，一个圆将平面分成两个部分，且且f f(1)(1)1 11 12 22 2，所以，所以n n1 1时命题成立时命题成立(2)(2)假设假设n nk k(k k1)1)时命题成立，即时命题成立，即k k个圆抒平面分个圆抒平面分成成f f(k k)k k2 2k k2 2个部分个部分则则n nk k1 1时，在时，在k k1 1个圆中任取一个圆个圆中任取一个圆O O，剩下的，剩下的k k个圆将平面分成个圆将平面分成f f(k k)个部分，而圆个部分，而圆O O与与k k个圆有个圆有2 2k k个交点，个交点，这这2 2k k个点将圆个点将圆O O分成分成2 2k k段弧，段弧，每段弧将原平面一分为二，故得每段弧将原平面一分为二，故得f f(k k1)1)f f(k k)2 2k kk k2 2k k2 22 2k k(k k1)1)2 2(k k1)1)2.2.当当n nk k1 1时命题成立时命题成立综上综上(1)(2)(1)(2)可知，对一切可知，对一切n nNN*命题成立命题成立变变 式训式训 练练