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1、数学归纳法数学归纳法（一）（一）请问：请问：以上四个结论正确吗？为什么以上四个结论正确吗？为什么? 得出以上结论所用的方法有什么共同点和什么不同点得出以上结论所用的方法有什么共同点和什么不同点问题问题1：今天，据观察第一个到学校的是男同学，第二个到学校今天，据观察第一个到学校的是男同学，第二个到学校的也是男同学，第三个到学校的还是男同学，于是得出：这所的也是男同学，第三个到学校的还是男同学，于是得出：这所学校里的学生都是男同学。学校里的学生都是男同学。问题问题 2：数列数列an的通项公式为的通项公式为an(n2-5n+5)2,计算得计算得 a11,a21, a3 1, 于是猜出数列于是猜出数列
2、an的通项公式为：的通项公式为：an1。问题问题3：三角形的内角和为三角形的内角和为180，四边形的内角和为，四边形的内角和为2180，五边形，五边形的内的内 角和为角和为3180，于是有：凸，于是有：凸n边形的内角和为边形的内角和为(n-2) 180。问题问题4：数列为数列为1,2,4,8，则它的通项公式为，则它的通项公式为an=2n-1(n44，nN nN ) 1 1、错；、错； 2 2、错，、错，a a5 5=25=2511； 3 3、对；、对； 4 4、对。、对。共同点：均用了归纳法得出结论；不同点：问题共同点：均用了归纳法得出结论；不同点：问题1 1、2 2、3 3是用的不完全是用的
3、不完全 归纳法，问题归纳法，问题4 4是用的完全归纳法。是用的完全归纳法。一、一、概念概念1、归纳法：归纳法：对于某类事物，由它的一些特殊事例或其全部可能情况，对于某类事物，由它的一些特殊事例或其全部可能情况，归纳出一般结论的推理方法，叫归纳出一般结论的推理方法，叫归纳法归纳法。归纳法归纳法 完全归纳法完全归纳法不完全归纳法不完全归纳法用不完全归纳法得出的结论不一定正确，如问题用不完全归纳法得出的结论不一定正确，如问题1,2。2、数学归纳法：、数学归纳法： 我们知道，有一些命题是和正整数有关的，我们知道，有一些命题是和正整数有关的，如果这个命题的情况如果这个命题的情况有无限种，那么我们不可能用
4、完全归纳法逐一进行证明，而不完全归有无限种，那么我们不可能用完全归纳法逐一进行证明，而不完全归纳法又不可靠，怎么办？纳法又不可靠，怎么办？-用数学归纳法用数学归纳法步骤：步骤：验证验证n=nn=n0 0时命题成立。（时命题成立。（n n0 0为为n n取的第一个值）取的第一个值） 假设假设n=k(kN ,knn=k(kN ,kn0 0) )时命题成立时命题成立, ,证明证明n=k+1n=k+1 时命题也成立。时命题也成立。 根据根据得出结论。得出结论。 例例1、用数学归纳法证明、用数学归纳法证明1+3+5+1+3+5+(2n-1)=n+(2n-1)=n2 2 （nN nN ）. . 证明：证明
5、：当当n=1n=1时，左边时，左边=1=1，右边，右边=1=1，等式成立。，等式成立。 假设假设n=k(kN ,k1)n=k(kN ,k1)时等式成立时等式成立, ,即：即： 1+3+5+1+3+5+(2+(2k-1)=kk-1)=k2 2， 当当n=k+1n=k+1时：时： 1+3+5+1+3+5+(2+(2k-1)k-1)+2(k+1)-1=+2(k+1)-1=k k2 2+2k+1=(k+1)+2k+1=(k+1)2 2， 所以当所以当n=k+1n=k+1时等式也成立。时等式也成立。 由由和和可知，对可知，对nN nN ，原等式都成立。，原等式都成立。请问：请问：A A、第第步中步中“当
6、当n=k+1n=k+1时时”的证明可否改换为：的证明可否改换为：1+3+5+1+3+5+(2+(2k-1)+2(k+1)-1= 1+3+5+k-1)+2(k+1)-1= 1+3+5+(2k-1)+(2k+1)+(2k-1)+(2k+1)= = (k+1)= = (k+1)2 2 ? ?为什么？为什么？2)12(1)1kk（B B、假设、假设n=k(kN )n=k(kN )时，等式时，等式 成立，那么成立，那么当当 n=k+1n=k+1时是否成立？能否由此得出对一切时是否成立？能否由此得出对一切nN nN ，等式都成立？，等式都成立？21) 1(1431321211nnnn1、三个步骤却一不可、
7、三个步骤却一不可:第一步是是奠基步骤，是命题论证的基础，称之为第一步是是奠基步骤，是命题论证的基础，称之为 归纳基础归纳基础；第二步是；第二步是归纳步骤归纳步骤，是推理的依据，是判断命题的正确性能，是推理的依据，是判断命题的正确性能 否由特殊推广到一般，它反映了无限递推关系，其中否由特殊推广到一般，它反映了无限递推关系，其中 “假设假设n=k时成立时成立” 称为称为归纳假设归纳假设(注意是注意是“假设假设”，而不是确认命题成立，而不是确认命题成立)。如果没有第一步，。如果没有第一步， 第二步就没有了意义；如果没有第二步，就成了不完全归纳，结论就没第二步就没有了意义；如果没有第二步，就成了不完全
8、归纳，结论就没 有可靠性；第三步是总体结论，也不可少。有可靠性；第三步是总体结论，也不可少。2、在第二步的证明中、在第二步的证明中必须用到前面的归纳假设必须用到前面的归纳假设，否则就不是数学归纳法了。，否则就不是数学归纳法了。3、数学归纳法只适用于、数学归纳法只适用于和正整数有关和正整数有关的命题。的命题。由以上可知，用数学归纳法需注意：由以上可知，用数学归纳法需注意：例例2、求证、求证:(n+1)(n+2)(n+n)=2n 1 3 (2n-1)证明：证明： n=1 n=1时：左边时：左边=1+1=2=1+1=2，右边，右边=2=21 11=21=2，左边，左边= =右边，等式成立。右边，等式
9、成立。 假设当假设当n=k(kN n=k(kN ）时有：）时有： ( (k+1)(k+2)k+1)(k+2)(k+k)=2(k+k)=2k k 1 1 3 3 (2n-1), (2n-1), 当当n=k+1n=k+1时：时： 左边左边=(=(k+2)(k+3)k+2)(k+3)(k+k)(k+k+1)(k+k+2)(k+k)(k+k+1)(k+k+2) =(k+1)(k+2)(k+3) =(k+1)(k+2)(k+3)(k+k)(k+k) = 2 = 2k k 1 1 3 3(2k-1)(2k+1)(2k-1)(2k+1)2 2 = 2 = 2k+1k+11 1 3 3 (2k-1) (2k-
10、1) 2(k+1)-1=2(k+1)-1=右边，右边， 当当n=k+1n=k+1时等式也成立。时等式也成立。 由由 、可知，对一切可知，对一切nN ,nN ,原等式均成立。原等式均成立。 1)22)(12kkk（例例3、设、设S1=12，S2=12+22+12，S3=12+22+32+22+12，Sn=12+22+n2+(n-1)2+ +22+12.用数学归纳法证明：用数学归纳法证明：3)12(2nnSn证明：证明：1）n=1时：左边时：左边=S1=12=1，右边，右边= =1=S1，等式成立。，等式成立。 2）假设当）假设当n=k(kN )N )时，有：时，有： S Sk k= =12+22
11、+k2+(k-1)2+ +22+12 ， 当当n=k+1时：时：Sk+1=12+22+k2+(k+1)2+ k2 +22+12 =12+22+k2+ (k-1)2 +22+12 +(k+1)2+ k2 =Sk+2k2+2k+1 = + 2k2+2k+1 = (2k3+k+6k2+6k+3)= (2k3+2)+6(k2+k)+(k+1) = (k+1)(2k2+4k+2+1)= (k+1)2(k+1)2+1, 当当n=k+1时公式仍成立。时公式仍成立。 由由1）、）、 2）可知，对一切）可知，对一切nN N ，均有，均有 。 311212）（3) 12(2kk3) 12(2kk313131313
12、)12(2nnSn练习：练习：aaaaaann11121321、用数学归纳法证明、用数学归纳法证明 （a11），），在在验证验证n=1等式成立时等式成立时 ，左边应取的项是，左边应取的项是_.2、某个命题当、某个命题当n=k (kN )N )时成立，可证得当时成立，可证得当n=k+1时也成立。时也成立。现在已知当现在已知当n=5时该命题不成立，那么可推得（时该命题不成立，那么可推得（ ）A、n=6时该命题不成立时该命题不成立 B、 n=6时该命题成立时该命题成立 C、n=4时该命题不成立时该命题不成立 D、 n=4时该命题成立时该命题成立 3、证明：、证明： ) 12(2) 1() 12)(12(532311222nnnnnn1+a+a2C1、用数学归纳法证明问题，三个步骤缺一不可；、用数学归纳法证明问题，三个步骤缺一不可；2、注意证明等式时第一步中、注意证明等式时第一步中n=1时左右两边的形式，第二步中时左右两边的形式，第二步中 n=k+1时应增加的式子；时应增加的式子；3、第二步中证明、第二步中证明n=k+1命题成立是全局的主体，主要注意两个命题成立是全局的主体，主要注意两个 “凑凑”：一是：一是“凑凑”n=k时的形式时的形式（这样才好利用归纳假设），二（这样才好利用归纳假设），二 是是“凑凑”目标式目标式。小结：小结：