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1、2.1 2.1 数学归纳法数学归纳法( (第一课时第一课时) )问题情境一问题情境一问题问题 1:大球中有大球中有5个小球，如何证明它们个小球，如何证明它们都是绿色的？都是绿色的？ 完全归纳法完全归纳法 不完全归纳不完全归纳法法 ,1, 1,11nnnnaaaaa 已已知知观观察察数数列列问题问题2：,212 a,313 a,414 anan1: 猜想归纳通项公式猜想归纳通项公式问题问题3：今天，据观察第一个到学校的是男同学，今天，据观察第一个到学校的是男同学，第二个到学校的也是男同学，第三个到学校的还是第二个到学校的也是男同学，第三个到学校的还是男同学，于是得出：这所学校里的学生都是男同学。
2、男同学，于是得出：这所学校里的学生都是男同学。问题问题 4：数列数列an的通项公式为的通项公式为an(n2-5n+5)2,计算得计算得 a11,a21, a3 1, 于是猜出于是猜出数列数列an的通项公式为：的通项公式为：an1。问题问题5：数列为数列为1,2,4,8，则它的通项公式为，则它的通项公式为an=2n-1(n44nN nN ) 完全完全归纳归纳法法不完全归不完全归纳法纳法数学家费马运用归纳法得出费马猜想的事例：数学家费马运用归纳法得出费马猜想的事例： 费马费马(1601-1665)法法国伟大的业余数学家。国伟大的业余数学家。201234221351725765537 .21nnnn
3、aaaaaaaN中，结论：是质数(n) 欧拉欧拉(17071783)，瑞，瑞士数学家及自然科学家。士数学家及自然科学家。 2521542949672976700417 641nnana中，时，费马您错了！问题情境二问题情境二:不完全归纳法不完全归纳法 回想等差数列通项公式的推倒过程：回想等差数列通项公式的推倒过程：像这种由像这种由一系列特殊事例一系列特殊事例得出得出一般结论一般结论的推理的推理方法，叫做方法，叫做归纳法归纳法。21aad32aad43aad.211aad32aad312aad43aad413aad.110aad1234,:a a a a由的表达式 我们得到11naand*,nN
4、对一切都有归纳法：归纳法：由一系列有限的特殊事例得出由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法一般结论的推理方法（结论一定可靠，但需逐一核对，实施较难）（结论一定可靠，但需逐一核对，实施较难）（结论不一定可靠，但有利于发现问题，形成猜想）（结论不一定可靠，但有利于发现问题，形成猜想）（1 1）完全归纳法完全归纳法：考察：考察全体全体对象，得到对象，得到一般结论的推理方法一般结论的推理方法（2 2）不完全归纳法不完全归纳法，考察，考察部分部分对象，得对象，得到一般结论的推理方法到一般结论的推理方法归纳法分为归纳法分为 完全归纳法完全归纳法 和和 不完全归纳不完全归纳法法问题情境三问题情境三 多
5、多米米诺诺骨骨牌牌课课件件演演示示 问题情境三问题情境三 如何解决不完全归纳法存在的问题呢？如何解决不完全归纳法存在的问题呢？ 如何保证骨牌一一倒下？需要几个步如何保证骨牌一一倒下？需要几个步骤才能做到？骤才能做到？（1 1）处理第一个问题；（相当于推倒）处理第一个问题；（相当于推倒第一块骨牌）第一块骨牌）（2）验证前一问题与后一问题有递推）验证前一问题与后一问题有递推关系；（相当于前牌推倒后牌）关系；（相当于前牌推倒后牌） 数学归纳法的概念：数学归纳法的概念： 定义：对于某些与正整数定义：对于某些与正整数n有关的命题常有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：常采用下面的方法来证明它的正
6、确性：1.先证明当先证明当n取第一个值取第一个值n0 (n0 N*)时命题成立时命题成立 (归纳奠基归纳奠基） ；2.然后假设当然后假设当n=k(k N*，kn0)时命题成立，时命题成立，证明当证明当n=k+1时命题也成立时命题也成立(归纳递推归纳递推）。）。这种证明方法就叫做这种证明方法就叫做_。数学归纳法数学归纳法例例1.1. 用数学归纳法证明用数学归纳法证明 2*1 3 5(21)().nn n N 证明证明（1）当）当n=1时，左边时，左边=1，右边，右边=1，等式成立，等式成立21 3 5(21) 2(1) 1 (1)kkk 目标：这就是说，当这就是说，当n=k+1时，等式也成立时，
7、等式也成立由（由（1）和（）和（2），可知等式对任何正整数），可知等式对任何正整数n都成立都成立（2）假设当）假设当n=k时，等式成立，即时，等式成立，即21 3 5(21).kk 递推基础递推基础递推依据递推依据2221 3 5(21) 2(1) 1(2(1) 121(1)kkkkkkk 那么当那么当n=k+1n=k+1时，时，数学运用数学运用22222222221 2 31,62 3 512,63 4 7123,64 5 91234,6. 情境情境1.观察下列各等式，你发现了什么？观察下列各等式，你发现了什么？归纳归纳22222(1) (21)1234.6nnnn思考思考：你由不完全归纳法
8、：你由不完全归纳法所发现的结论正确吗？若所发现的结论正确吗？若不正确，请举一个反例不正确，请举一个反例;若正确，如何证明呢？若正确，如何证明呢？222222(1)(1) 12(1) 11234(1)6kkkkk目标：证明证明 当当n=1n=1时，左边时，左边1 1 右边右边, ,等式显然成立。等式显然成立。练习：练习： 用数学归纳法证明：用数学归纳法证明：递推基础递推基础递推依据递推依据22222*(1)(21)1234().6nnnnnN22222(1) (21)12346kkkk22222221234(1)(1)(21)(1)6(1)(1)12(1)16kkkkkkkkk假设当假设当n=k
9、n=k时等式成立，即时等式成立，即那么那么, ,当当n=k+1n=k+1时，有时，有这就是说，当这就是说，当n=k+1n=k+1时时, ,等式也成立。等式也成立。根据根据和和，可知对任何，可知对任何n n N N* *等式都成立。等式都成立。用数学归纳法证明与用数学归纳法证明与正整数正整数有关命题的步骤是：有关命题的步骤是：（1）证明当证明当 取第一个值取第一个值 （如（如 或或2等）时结论正确；等）时结论正确； 10 nn0n （2）假设时假设时 结论正确，证明结论正确，证明 时结论也正确时结论也正确 )N(0nkkkn 且且1 kn递推基递推基础础递推依据递推依据“找准起点，奠基要稳找准起
10、点，奠基要稳”“用上假设，递推才真用上假设，递推才真”“综合（综合（1）、（）、（2），），”不可少！不可少！注意注意:数学归纳法使用要点：数学归纳法使用要点： 两步骤两步骤,一结论。一结论。 练习2：用数学归纳法证明 1212121751531311nnnn证明：(1) n=1时，左边= 311那么,(2) 假设n=k（kN*)时等式成立，即 右边=1121等式成立。1212121751531311kkkk3212112121751531311kkkk3212112kkkk321kk即当n=k+1时等式也成立。根据（1）和（2），可知等式对任何nN* 都成立。 分析下列各题用分析下列各题用数
11、学归纳数学归纳法法证明过程中的错误：证明过程中的错误：练习3纠错!（1）2+4+6+8+2n=n2+n+1(n N*)证明证明 ：假设当：假设当n=kn=k时等式成立，即时等式成立，即 2+4+6+8+2k=k2+4+6+8+2k=k2 2+k+1(k+k+1(k N N* *) )那么，当那么，当n=k+1n=k+1时，有时，有 2+4+6+8+2k+22+4+6+8+2k+2（k+1)k+1) =k =k2 2+k+1+2(k+1)+k+1+2(k+1) =(k+1) =(k+1)2 2+(k+1)+1 ,+(k+1)+1 ,因此，对于任何因此，对于任何n n N N* *等式都成立。等式
12、都成立。缺乏缺乏“递推基础递推基础”事实上，我们可事实上，我们可以用等差数列求以用等差数列求和公式验证原等和公式验证原等式是不成立的！式是不成立的！这就是说，当这就是说，当n=k+1时时,命题也成立命题也成立.11111(1)()()22312111=2(1)1kkkkk左边右边*111(2)()1 223(1)1nnNnnn没有用上没有用上“假假设设”，故此法，故此法不是数学归纳不是数学归纳法法请修改为数学请修改为数学归纳法归纳法证明证明 当当n=1时时,左边左边= , 212111) 1(1321211kkkk假设假设n=k(kN*)时原等式成立时原等式成立 ，即，即此时，原等式成立。此时
13、，原等式成立。 那么那么n=k+1时时,由由 知知,对一切正整数对一切正整数n,原等式均正确原等式均正确. 11=1+12右边证明证明 当当n=1时时,左边左边= , 21211*111(2)()1 223(1)1nnNnnn1) 1(1321211kkkk11111 22 3(1)(1) (2)111 (1) (2)(1) 1kkkkkkkkkk 这这才才是是数数学学归归纳纳法法假设假设n=k(kN*)时原等式成立时原等式成立 ，即，即21111右边右边= 此时，原等式成立。此时，原等式成立。 那么那么n=k+1时时,这就是说，当这就是说，当n=k+1时时,命题也成立命题也成立.由由 知知,
14、对一切正整数对一切正整数n,原等式均正确原等式均正确. 11111=(1) ()()223111=11nnnnn 证二：左边右边，所以原等式成立。*111(2)()122 3(1)1nnNn nn这不是这不是数学归纳法数学归纳法（3）（纠错题纠错题）课本）课本P87P87 T3 2nn2(n N*)证明证明 ：当当n=1n=1时，时，2 21 1112 2, ,不等式显然成立。不等式显然成立。假设当假设当n=kn=k时等式成立，即时等式成立，即2 2k kkk2 2, ,那么当那么当n=k+1n=k+1时，有时，有2 2k+1k+1=2=2 2 2k k=2=2k k+2+2k kkk2 2+
15、k+k2 2 k k2 2+2k+1=(k+1)+2k+1=(k+1)2 2. .这就是说，当这就是说，当n=k+1n=k+1时不等式也成立。时不等式也成立。根据（根据（1 1）和（）和（2 2），可知对任何），可知对任何n n N N* *不等式不等式都成立。都成立。虽然既有虽然既有“递推基础递推基础”，又用到假设，又用到假设（“递推依据递推依据”），但在证明过程中出现），但在证明过程中出现错误，故上述证法错误！错误，故上述证法错误！事实上，原不等式不成立，如事实上，原不等式不成立，如n=2时不等式就不成立。时不等式就不成立。练习巩固练习巩固 n+2n+22n+12n+1* *- -+=a
16、+=a 1,nN1,nN1 11-a1-a1+1+a aaaaaa a.1、 用数学归纳法证明：用数学归纳法证明：“ ”在验证在验证 n=1n=1成立时，左边计算所得的结果是（成立时，左边计算所得的结果是（ ） A A1 1 B. B. C C D.D. 1+a1+a2 21 1+ +a a+ +a a2 23 31 1+ +a a+ +a a + +a a2 2. .已知已知: ,: ,则则 等于等于( )( ) A: B: A: B: C: D: C: D: 131.2111)( nnnnf)1( kf1)1(31)( Kkf231)( Kkf11431331231)( KKKKkf114
17、31)( KKkfCC3. . 用数学归纳法证明用数学归纳法证明: 1 12 22 23 33 34 4n(nn(n1) 1) )2)(1(31 nnn练习巩固练习巩固 4、用数学归纳法证明：、用数学归纳法证明： 2)1()1()1(4321121222 nnnnn5求证求证:当当nN*时，时，nnnnn212111211214131211 3. .用数学归纳法证明用数学归纳法证明 1 12 22 23 33 34 4n(nn(n1) 1) )2)(1(31 nnn练习巩固练习巩固 从从n=kn=k到到n=k+1n=k+1有什么变化有什么变化凑假设凑假设凑结论凑结论证明证明:2)假设假设n=k
18、时命题成立时命题成立,即即122334k(k+1)2)(1(31 kkk则当则当n=k+1时，时， )1(.433221 kk)2)(1( kk)2)(1(31 kkk+)2)(1( kk= =)2)(1( kk)131( k n=k+1时命题正确。时命题正确。 由由(1)和和(2)知，当知，当 ，命题正确，命题正确。 nn = 2111)1(31 kkk1)当当n=1时，左边时，左边=12=2,右边右边= =2. 命题成立命题成立1 111223 33 33. .用数学归纳法证明用数学归纳法证明 1 12 22 23 33 34 4n(nn(n1) 1) )2)(1(31 nnn练习巩固练习
19、巩固 从从n=kn=k到到n=k+1n=k+1有什么变化有什么变化凑假设凑假设凑结论凑结论证明证明:2)假设假设n=k时命题成立时命题成立,即即122334k(k+1)2)(1(31 kkk则当则当n=k+1时，时， )1(.433221 kk)2)(1( kk)2)(1(31 kkk+)2)(1( kk= =)2)(1( kk)131( k n=k+1时命题正确。时命题正确。 由由(1)和和(2)知，当知，当 ，命题正确，命题正确。 nn = 2111)1(31 kkk1)当当n=1时，左边时，左边=12=2,右边右边= =2. 命题成立命题成立1 111223 33 3练习巩固练习巩固 4
20、、用数学归纳法证明、用数学归纳法证明2222121(1)1234( 1)( 1)2nnn nn 证明证明: (1)当当n=1n=1时，左边时，左边=1,=1,右边右边= =1. = =1. 命题成立命题成立 )221()1(1 n(2)(2)假设假设n=kn=k时命题正确，即时命题正确，即 2 22 22 22 2k k- -1 12 2k k- -1 1k k( (k k+ +1 1) )1 1 - -2 2 + +3 3 - -4 4 + + +( (- -1 1) )k k = =( (- -1 1) )2 2则当则当 n=k+1n=k+1时时, , = + = + = = 2)1()1
21、(1 kkk2)1()1( kk2 22 22 22 2k k- -1 12 21 1 - -2 2 + +3 3 - -4 4 + + +( (- -1 1) )k kk2k2+(-1)(k+1)+(-1)(k+1)k k- -k k+ +2 2k k+ +2 2( (- -1 1) )( (k k+ +1 1) )( () )2 22)2)(1()1( kkk( (k k+ +1 1) )- -1 1( (k k+ +1 1) )( (k k+ +1 1) )+ +1 1= =( (- -1 1) )2 2 n=k+1 n=k+1时命题正确。时命题正确。 由由(1)(1)和和(2)(2)知
22、，当知，当 ，命题正确。，命题正确。 * *n nN N提什么提什么 好呢好呢? ?注意结论的注意结论的形式形式 练习巩固练习巩固 nnnnn212111211214131211 5求证求证:当当nN*时时，证明证明: )1(2111121213121 KKKKKK 121121213121 KKKKK 12111212121211111 KKkKK n=k+1时命题正确。时命题正确。 由由(1)和和(2)知，当知，当 ，命题正确，命题正确。 nn(1)当当n=1时，左边时，左边=21211 ;右边右边21 左边左边=右边，右边，n=1时，命题成立时，命题成立。(2)假设假设n=k时命题正确，
23、即时命题正确，即: KKKKK212111211214131211 当当n=k+1时时， 左边左边= KK211214131211 )1(211)1(21KKKKK212111 221121KK(2)数学归纳法证题的步骤：数学归纳法证题的步骤：两个步骤，一个结论两个步骤，一个结论； (3)数学归纳法优点：即克服了数学归纳法优点：即克服了完全归纳法完全归纳法的繁杂的缺的繁杂的缺 点，又克服了点，又克服了不完全归纳法不完全归纳法结论不可靠的不足。结论不可靠的不足。(4)数学归纳法的基本思想：运用数学归纳法的基本思想：运用“有限有限”的手段的手段来来 解决解决“无限无限”的问题的问题(1)数学归纳法是一种证明与数学归纳法是一种证明与正整数正整数有关的数学命题有关的数学命题 的重要方法的重要方法回顾反思回顾反思