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1、28.1 圆的认识圆的认识圆的对称性圆的对称性 (1)(1)以旧引新，引导探究以旧引新，引导探究.圆是轴对称图形圆是轴对称图形.圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无它有无数条对称轴数条对称轴.O可利用折叠的方法即可解决上述问题可利用折叠的方法即可解决上述问题.n圆也是旋转对称图形圆也是旋转对称图形.用旋转的方法可解决下面问用旋转的方法可解决下面问题题.将图将图1中的扇形中的扇形AOB（阴影部分）绕点（阴影部分）绕点O逆时针旋转某逆时针旋转某个角度，画出旋转之后的图形，比较前后两个图形，个角度，画出旋转之后的图形，比较前后两个图形，你能发现什么。你能发现什
2、么。图图1ABO图图2ABOBA扇形扇形AOB旋转到扇形旋转到扇形AOB的位置，我们可以发现，在旋转的位置，我们可以发现，在旋转过程中，过程中，AOB=AO B,AB=AB AB=AB,(1)(1)以旧引新，引导探究以旧引新，引导探究.在一个圆中，如果圆心角相等，那么它所对的弧在一个圆中，如果圆心角相等，那么它所对的弧相等，所对的弦相等。相等，所对的弦相等。在一个圆中，如果弧相等，那么所对的圆心角相在一个圆中，如果弧相等，那么所对的圆心角相等，所对的弦相等。等，所对的弦相等。在一个圆中，如果弦相等，那么所对的圆心角相等，在一个圆中，如果弦相等，那么所对的圆心角相等，所对的弧相等。所对的弧相等。
3、DCOBA12例例1、如图，在、如图，在O中，中，145o，求，求2的度数。的度数。AC=BD A=D 2145ADBC BDBC AC=BD 解：解：我们还知道：圆是轴对称图形，它的任意一我们还知道：圆是轴对称图形，它的任意一条直径所在的直线都是它的对称轴。条直径所在的直线都是它的对称轴。试一试，我们如何十分简捷地将一个圆试一试，我们如何十分简捷地将一个圆2等等分，分，4等分，等分，8等分。等分。OOOAB(2)(2)动手操作，观察猜想动手操作，观察猜想.OCDE 操作操作：CD是圆是圆0的直径，的直径，过直径上任一点过直径上任一点E作弦作弦AB CD，将圆，将圆0沿沿CD对折，对折，比较图
4、中的线段和弧，你比较图中的线段和弧，你有什么发现？有什么发现？猜想猜想：AE=BE,AD=BD,AC=BC AB OCDE(3)(3)指导论证，引申结论指导论证，引申结论.求证求证：AE=BE,AD=BD,AC=BC 已知已知：在：在 O中，中，CD为直径，为直径，AB为弦，且为弦，且CD AB于点于点E，分析：直径分析：直径CD所在直线既所在直线既是等腰三角形是等腰三角形OAB的对称的对称轴，又是轴，又是 O的对称轴，把的对称轴，把 O沿直径沿直径CD折叠，由图形折叠，由图形的重合，即可得到所求证的重合，即可得到所求证结论。结论。(3)(3)指导论证，引申结论指导论证，引申结论.垂径定理：垂
5、直于弦的直径平分弦，并且平分弦垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。所对的两条弧。平分弦平分弦平分弦所对的优弧平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧平分弦所对的劣弧直径（或过圆心的直线）直径（或过圆心的直线）垂直于弦垂直于弦题设题设结论结论判断题：判断题：(1)过圆心的直线平分弦过圆心的直线平分弦(2)垂直于弦的直线平分弦垂直于弦的直线平分弦(3)O中，中，OE 弦弦AB于于E，则，则AE=BE错错 oABCDE(1)oABCDE(2)O ABE(3)错错对对(3)(3)指导论证，引申结论指导论证，引申结论.例例1、如图在、如图在 O中，直径中，直径CD交弦交弦AB于点于点E，AE
6、=BE 求证：求证：CD AB，AB OCDEAD=BD,AC=BC 证明：连结证明：连结AO、BO，AO=BOAOB为等腰三角形为等腰三角形AE=BE CD ABAB CD是直径，是直径，推论推论：平分弦（不是直径）的直径：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，且平分弦所对的两条弧。垂直于弦，且平分弦所对的两条弧。AD=BD,AC=BC 小组讨论：下列命题是否正确，说明理由小组讨论：下列命题是否正确，说明理由1、弦的垂直平分线经过圆心，且平分弦所对的、弦的垂直平分线经过圆心，且平分弦所对的两条弧。两条弧。2、平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，且、平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，且平分弦所对
7、的另一条弧。平分弦所对的另一条弧。(3)(3)指导论证，引申结论指导论证，引申结论.(3)(3)指导论证，引申结论指导论证，引申结论.五个条件五个条件(1)垂直于弦垂直于弦(2)过圆心过圆心(3)平分弦平分弦(4)平分弦所对的优弧平分弦所对的优弧(5)平分弦所对的劣弧平分弦所对的劣弧规律规律知二知二推三推三例例2、已知：如图在、已知：如图在 O中，弦中，弦AB的长是的长是8cm，圆心，圆心O到到AB的距离为的距离为3cm，求，求 O的半径的半径(4)(4)多方练习，分层评价多方练习，分层评价.oABE解：连结解：连结解：连结解：连结OAOA，作，作，作，作OEOE ABAB于于于于E E，则，
8、则，则，则OE=3cm,AE=BEOE=3cm,AE=BE AB=8cmAB=8cm AE=4cmAE=4cm在在在在RtRt中有中有中有中有OA=OA=5cm =5cm OO的半径为的半径为的半径为的半径为5cm5cm解后指出：从例解后指出：从例2看出圆的半径看出圆的半径OA，圆心到弦的垂线段，圆心到弦的垂线段OE及半弦及半弦长长AE构成构成Rt AOE.把垂径定理和把垂径定理和勾股定理结合起来，解决这类问题勾股定理结合起来，解决这类问题就显得很容易了。就显得很容易了。A组组 在圆中某弦长为在圆中某弦长为8cm，圆的直径是，圆的直径是10cm，则圆心到弦的距离是，则圆心到弦的距离是()cmB
9、组组 在圆在圆o中弦中弦CD24，圆心到弦，圆心到弦CD的距的距离为离为5,则圆则圆o的直径是的直径是()C组组 若若AB为圆为圆O的直径，弦的直径，弦CD AB于于E，AE16，BE=4,则则CD()(4)(4)多方练习，分层评价多方练习，分层评价.ABDCEO oCDECDOE答案：答案：3 3答案：答案：2626答案：答案：1616例例3 如图已知如图已知 O的直径为的直径为4cm，弦，弦AB=cm，求，求OAB的度数。的度数。oABD解：过解：过O作作OD AB于点于点D,则则AD=BD AB=cm AD=cm OO的直径为的直径为的直径为的直径为4cm4cm OA2cm 在在Rt O
10、AD中中 cos OABOAB =锐角锐角OABOAB 30你还有没有其它方法？你还有没有其它方法？(5)(5)反思小结，布置作业反思小结，布置作业.1、对垂径定理的理解、对垂径定理的理解(1)证明定理的方法是典型的证明定理的方法是典型的“叠合法叠合法”(2)定理是解决有关弦的问题的重要方法定理是解决有关弦的问题的重要方法(3)定理中反映的弦的中点，弦所对的两条弧的中定理中反映的弦的中点，弦所对的两条弧的中点都集中在点都集中在“垂直于弦的直径垂直于弦的直径”上。圆、弦又关上。圆、弦又关于直径所在的直线对称。于直径所在的直线对称。2、关于垂径定理的运用、关于垂径定理的运用(1)辅助线的常用作法辅助线的常用作法(2)注意把问题化为解直角三角形的问题注意把问题化为解直角三角形的问题