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1、如图，请正确的方式表示出以点如图，请正确的方式表示出以点A为端点的优弧及劣弧为端点的优弧及劣弧.ACDACFADEADCACAEAFAD动态动态：如图，在一个平面内，线段：如图，在一个平面内，线段OP绕它固绕它固定的一个端点定的一个端点O旋转一周，另一个端点旋转一周，另一个端点P所形所形成的封闭曲线叫做成的封闭曲线叫做圆圆静态静态：圆心为：圆心为O、半径为、半径为r的圆可以看成是的圆可以看成是所有所有到定点到定点O的距离等于定长的距离等于定长r 的点组成的图形的点组成的图形圆的对称性圆的对称性O圆除了是旋转对称图形外，还是轴对称图形提问：提问：圆是什么对称图形？OACBNMD圆是轴对称图形圆是
2、轴对称图形，经过经过圆心圆心的的每一条每一条直线直线都是它的对称轴。OACBNMD或或：任意一条任意一条直径所在的直线直径所在的直线都是圆的对称轴都是圆的对称轴。任意一条直径任意一条直径都是都是圆的对称轴（圆的对称轴（）将图中的扇形将图中的扇形AOBAOB绕点绕点O O逆时针旋转逆时针旋转某个角度。在得到的图形中，同学们可某个角度。在得到的图形中，同学们可以通过比较前后两个图形，发现有何关以通过比较前后两个图形，发现有何关系？系？实践操作：实践操作：如果如果那么那么在同圆（或等圆）中，相等的圆心角所对的弧在同圆（或等圆）中，相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等。相等、所对的弦相等。讨论：讨论
3、：1.1.在同圆（或等圆）在同圆（或等圆）中，如果弧中，如果弧相等，那么所对的圆心角、所对相等，那么所对的圆心角、所对的弦是否相等呢？的弦是否相等呢？2.2.在同圆（或等圆）中，如果弦在同圆（或等圆）中，如果弦相等，那么所对的圆心角、所对相等，那么所对的圆心角、所对的弧是否相等呢？的弧是否相等呢？1.1.在同圆（或等圆）中，相等的圆心角所对的在同圆（或等圆）中，相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等。弧相等、所对的弦相等。结论：结论：2.2.在同圆（或等圆）中，如果弦相等，那么所在同圆（或等圆）中，如果弦相等，那么所对的圆心角、所对的弧相等。对的圆心角、所对的弧相等。以上三句话如没有在同一以上
4、三句话如没有在同一圆中，这个结论还会成立圆中，这个结论还会成立吗？吗？3.3.在同圆（或等圆）在同圆（或等圆）中，如果弧相等，那么所中，如果弧相等，那么所对的圆心角、所对的弦相等。对的圆心角、所对的弦相等。简称：知一推三一一.判断：判断：1相等的圆心角所对的弧相等。（相等的圆心角所对的弧相等。（）2相等的弧所对的弦相等。（相等的弧所对的弦相等。（）二二.如图，如图，OO中，中，AB=CDAB=CD，则，则ODCAB12试一试你的能力试一试你的能力50o 如图，在如图，在OO中，中，AC=BD AC=BD，求求22的度数。的度数。你会做吗？你会做吗？解：解：AC=BDAC=BD（已知）（已知）A
5、B=CDAB=CDAC-BC=BD-BCAC-BC=BD-BC（等式的性质）1=21=2（在同圆中，相等的弧所对的圆心角相等）1、如图，在、如图，在 O中，中，B=求求C的度数。的度数。AB=AC分析：分析：ABACAB=ACABC是等腰三角形是等腰三角形解：解：ABAC AB=AC（）等弧对等弦等弧对等弦B=C=如果求A的度数该怎么办？练习练习:2.2.如如图图，AB是是直直径径，BCCDDE，BOC40，求求AOE的度数的度数 分析：分析：BCCDDE BOC=COD=DOE=AOE=解：解：BCCDDE BOC=COD=DOE=（）等弧对等弦等弧对等弦AOE=1.如图，如图，AB、CD、
6、EF都是都是 O的直径，的直径，且且123，弦，弦AC、EB、DF是否相等？是否相等？为什么？为什么？2.如图，如图，AB是是 O的直径，的直径，AC、CD、DE、EF、FB都是都是 O的弦，且的弦，且ACCDDEEFFB，求求AOC与与COF的度数的度数.3 3.如图，已知如图，已知ADB BC，试说明试说明AB=CDAB=CD4 4、如图，已知、如图，已知OO中，中，ABAB是直径，是直径，COABCOAB，D D是是COCO的的中点，中点，DEABDEAB，求证：求证：CE=2AECE=2AE。拓展提升拓展提升A AD DC CO OE EB B三、小结三、小结1、圆的对称性情况怎样？、
7、圆的对称性情况怎样？2、圆中的圆心角、弦和弧三者之间有何、圆中的圆心角、弦和弧三者之间有何关系？关系？在在O中，若中，若 则则AB与与CD的关系是（）的关系是（）A AB2CD B AB2CDC AB2CD D CDAB2CD 如如图图23.1.7，如果在图形纸片上任意画一条，如果在图形纸片上任意画一条垂直于直径垂直于直径CD的弦的弦AB，垂足为垂足为P，再将纸片沿着再将纸片沿着直径直径CD对折，比较对折，比较AP与与PB、弧弧AC与弧与弧CB，你能发现什么结论？你能发现什么结论？探索探索2 2：再做一做：再做一做,想一想想一想:演示演示P结论结论：BPOACD在在OO中，如果中，如果CDCD
8、是直径是直径AD=BD，AC=BC那么：那么：AP=BP，垂直于弦的直径垂直于弦的直径 平分这条弦，平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。并且平分弦所对的两条弧。垂径定理垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。且平分弦所对的两条弧。已知已知结论结论（1）过圆心）过圆心（2）垂直于弦）垂直于弦（3）平分弦）平分弦（4）平分弦所对的优弧）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧）平分弦所对的劣弧如图如图,O直径直径CD与弦与弦AB（非直径）（非直径）交于点交于点M，添加一个条件：，添加一个条件：_，就可得到点就可得到点M是是AB的中点的中点.试一试你的能力
9、试一试你的能力1 1、如图，在、如图，在O O中，弧中，弧ABAB弧弧ACAC，B B70.70.求求C C 度数度数.达标练习：达标练习：2 2、如图，、如图，ABAB是直径，弧是直径，弧BCBC弧弧CDCD弧弧DEDE，BOCBOC4040，求，求AOEAOE的度数的度数1 1、在同圆或等圆中、在同圆或等圆中,对应弧、弦、圆心角之对应弧、弦、圆心角之间的关系。间的关系。2 2、垂径定理、垂径定理探究二：探究二：动手操作：动手操作：如何将圆如何将圆两等分两等分？四等分四等分？八等分八等分？你还可以将圆你还可以将圆多少等分呢？多少等分呢？今天你学到了什么？今天你学到了什么？1、采用了哪些数学方
10、法？2、你有什么体会，还有什么疑惑？3、你认为哪一组的同学表现得最好。你说我说大家说你说我说大家说!课题：垂直于弦的直径(2)垂径定理的推论垂径定理的推论垂径定理垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。且平分弦所对的两条弧。已知已知结论结论（1）过圆心）过圆心（2）垂直于弦）垂直于弦（3）平分弦）平分弦（4）平分弦所对的优弧）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧）平分弦所对的劣弧MOACBN直线直线MN过圆心过圆心 AC=BCMNAB弧弧AM=弧弧BM 弧弧AN=弧弧BN探索一探索一：结论结论：OABMN一个圆的任意两一个圆的任意两条条直径总是互
11、相平分直径总是互相平分，但是它们不一定互相但是它们不一定互相垂直。垂直。因此这里的弦因此这里的弦如果是直径，结论就如果是直径，结论就不一定成立。不一定成立。推论推论1.(1)平分弦平分弦（不是直径）（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。弦所对的两条弧。CDMOACBN MNAB AC=BC直线直线MN过圆心过圆心O弧弧AM=弧弧BM弧弧AN=弧弧BN探索二探索二：推论推论1:(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;MOACBN MNAB AC=BC 弧弧AM=弧弧BM直线直线MN过圆心过圆心O弧弧AN=弧弧BN探索三探索三：推论推论1:(3)
12、(3)平分弦所对的平分弦所对的一条弧的直径一条弧的直径,垂直平垂直平分弦分弦,并且平分弦所对并且平分弦所对的另一条弧。的另一条弧。推论推论1:(1)平分弦平分弦（不是直径）（不是直径）的直径垂直的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；于弦，并且平分弦所对的两条弧；(2)(2)弦的垂直平分线经过圆心弦的垂直平分线经过圆心,并且平并且平分弦所对的两条弧分弦所对的两条弧;.;.(3)(3)平分弦所对的一条弧的直径平分弦所对的一条弧的直径,垂直垂直平分弦平分弦,并且平分弦所对的另一条弧。并且平分弦所对的另一条弧。简称：知二推三1.过圆心2.垂直于弦3.平分弦4.平分优弧5.平分劣弧回味引伸回味引伸 垂
13、径定理及其推论垂径定理及其推论1的实质是把的实质是把(1)直线直线MN过圆心过圆心;(2)直线直线MN垂直垂直AB;(3)直线直线MN平分平分AB;(4)直线直线MN平分弧平分弧AMB;(5)直线直线MN平分弧平分弧ANB 中的两个条件进行了中的两个条件进行了四种四种组合组合,分别推出了其余的三个分别推出了其余的三个 结论结论.这样的组合还有这样的组合还有六种六种，由于时间有限，由于时间有限,课堂上未作课堂上未作 进一步的推导进一步的推导,同学们课下不妨试一试同学们课下不妨试一试.推论推论2.2.圆的两条平行弦所夹圆的两条平行弦所夹的弧相等。的弧相等。推论推论2.2.圆的两条平行弦所夹的弧相等
14、。圆的两条平行弦所夹的弧相等。MOABNCD作直径作直径MN垂直于弦垂直于弦ABABCD 直径直径MN也垂直于弦也垂直于弦CD于是于是 弧弧AM弧弧BM，弧弧CM弧弧DM弧弧AM弧弧CM 弧弧BM弧弧DM 即即弧弧AC弧弧BDCDABE例：例：平分已知弧平分已知弧ABAB已知：弧已知：弧AB作法：作法：连结连结AB.作作AB的垂直平分线的垂直平分线 CD，交弧，交弧AB于点于点E.点点E E就是所求弧就是所求弧ABAB的中点。的中点。求作：弧求作：弧AB的中点的中点CDABEFG变式一变式一：求弧求弧ABAB的四等分点。的四等分点。mnCDABMTEFGHNP错在哪里错在哪里？等分弧时一等分弧
15、时一定要作定要作弧所夹弦弧所夹弦的垂直平分线的垂直平分线。作AB的垂直平分线CD。作ATBT的垂直 平分线EFGHCABE变式二变式二：你能确定你能确定 弧弧ABAB的圆心吗？的圆心吗？mnDCABEmnO你能你能破镜重破镜重圆圆吗？吗？ABACmnO 作弦作弦ABABACAC及它们的垂直平及它们的垂直平分线分线mmn n，交于，交于OO点；以点；以OO为圆心，为圆心，OAOA为半径作圆。为半径作圆。破镜重破镜重圆圆ABCmnO 弦的垂直平分线经过圆心弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧。并且平分弦所对的两条弧。作图依据：已知：已知：AB、CD是是 O的两条平行弦，的两条平行弦，MN
16、是是AB的垂直平分线。的垂直平分线。求证：求证：MN垂直平分垂直平分CD。MOANCDB 圆内圆内平行弦平行弦的垂直平分线是的垂直平分线是互相互相重合重合的。的。已知：已知：AB、CD是是 O的两条平行弦，的两条平行弦，MN是是AB的垂直平分线。的垂直平分线。求证：求证：MN垂直平分垂直平分CD。MOABNCD分析分析：MN是是AB的垂直平分线的垂直平分线 则有：则有：MN过圆心过圆心O是直径是直径由由ABCD，MNAB 则有：则有：MNCD由垂径定理，得由垂径定理，得MN平分平分CD所以：所以：MN垂直平分垂直平分CDMOBNCD证明证明：MN是是AB的垂直平分线的垂直平分线 MN过圆心是直
17、径过圆心是直径MNCD MN平分平分CDAABCD，MNABMN垂直平分垂直平分CD课堂小结：课堂小结：本节课探索发现了本节课探索发现了垂径定理垂径定理的的推论推论1和推和推论论2,并且运用推论并且运用推论1等分弧等分弧。要要分分清清推推论论1的的题题设设和和结结论论,即即已已知知什什么么条条件件,可可推推出出什什么么结结论论.这这是是正正确确理理解解应应用用推推论论1的关键的关键;例例3是基本几何作图是基本几何作图,会通过作会通过作弧所夹弦弧所夹弦的的垂直平分线垂直平分线来来等分弧等分弧.能够体会能够体会转化转化思想思想在这里的运用在这里的运用.如图，在如图，在 O中，中，AB2CD，那么（），那么（）