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1、-利用向量解决平行与垂直问题3.2立体几何中的向量方法(二)用向量运算处理平行关系用向量运算处理垂直问题用向量运算处理垂直问题例1.如图,在正方形ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是C1C、B1C1的中点,求证:MN平面A1BD典型例题分析:证明线面问题,可利用三种方法:一是证明 与平面A1BD的法向量垂直;二是在平面A1BD内找一向量与 平行;.DNMABCD!B!C!A!例1 如图,在正方形ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是C1C、B1C1的中点,求证:MN平面A1BD法法1:1:建立如图所示的空间直角坐标系.xzy设正方体的棱长为1,则可求得M(0,1,1/2),N(1/2
2、,1,1),D(0,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0).于是 设平面A1BD的法向量是则 得取x=1,得y=-1,z=-1,DNMABCD!B!C!A!例1 如图,在正方形ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是C1C、B1C1的中点,求证:MN平面A1BD法法2:2:DNMABCD!B!C!A!（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题(还常建立坐标系来辅助)；（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义.（化为向量问题或向量的坐标
3、问题）（化为向量问题或向量的坐标问题）（进行向量运算）（进行向量运算）（回到图形）（回到图形）D1A1B1C1DBCAxzy法二:求出两个平面的法向量,再证明两个法向量平行即可.xyzABCCAB如何建设坐标系？Pn AO 点到平面的距离:如图点P为平面外一点，点A为平面内的任一点，平面的法向量为 ,过点P作平面 的垂线PO，记PA和平面 所成的角为，则点P到平面的距离。DABCGFExyzFEB1C1D1DCA练习1.已知棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是B1C1和C1D1 的中点，求点A1到平面DBEF的距离。BxyzA11小结小结1.用空间向量方法证明立体几何中的平行与垂直问题,主要运用了直线的方向向量和平面的法向量,同时也要借助空间中已有的一些关于平行、垂直的定理.2.用向量方法证明平行垂直问题的步骤:(1)建立空间图形与空间向量的关系(建系或不建系都可),用空间向量表示问题中涉及的点、线、面;(2)通过向量运算处理平行、垂直问题;(3)根据运算结果解释相关问题.ABCDMB1xyz