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1、总纲目录教材研读考点突破栏目索引第一节坐标系总纲目录教材研读考点突破栏目索引总纲目录总纲目录教材研读1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换考点突破2.极坐标系与极坐标3.极坐标与直角坐标的互化考点二求曲线的极坐标方程考点一极坐标方程与直角坐标方程的互化考点三极坐标方程及应用4.常见曲线的极坐标方程总纲目录教材研读考点突破栏目索引教材研读1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换:的作用下,点P(x,y)对应到点P(x,y),称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.教材研读教材研读总纲目录教材研读考点突破栏目索引教材
2、研读2.极坐标系与极坐标极坐标系与极坐标(1)极坐标系如图所示,在平面内取一个定点定点O,叫做极点,自极点O引一条射线射线Ox,叫做极轴,再选定一个长度单位长度单位、一个角度单位角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.(2)极坐标(i)极径:设M是平面内一点,极点O与点M的距离距离|OM|叫做点M的极径,记为.(ii)极角:以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角,记为.(iii)极坐标:有序数对(,)叫做点M的极坐标,记为M(,).总纲目录教材研读考点突破栏目索引教材研读3.极坐标与直角坐标的互化极坐标与直角坐标的互化设M是平面内任意一
3、点,它的直角坐标是(x,y),极坐标是(,),则它们之间的关系为注:把直角坐标转化为极坐标时,通常有不同的表示法(极角相差2的整数倍).一般只要取0,2)就可以了.总纲目录教材研读考点突破栏目索引教材研读4.常见曲线的极坐标方程常见曲线的极坐标方程总纲目录教材研读考点突破栏目索引教材研读总纲目录教材研读考点突破栏目索引教材研读1.将曲线C1:x2+y2-8x-10y+16=0化为极坐标方程.解析解析将代入x2+y2-8x-10y+16=0,得2-8cos-10sin+16=0,所以C1的极坐标方程为2-8cos-10sin+16=0.总纲目录教材研读考点突破栏目索引教材研读2.已知曲线C1:=
4、2和曲线C2:cos=,求C1上到C2的距离等于的点的个数.解析解析将方程=2与cos=化为直角坐标方程得x2+y2=(2 )2与x-y-2=0,知C1是以坐标原点为圆心,半径为2的圆,C2为直线,因为圆心到直线x-y-2=0的距离为,故满足条件的点的个数为3.总纲目录教材研读考点突破栏目索引考点突破考点一极坐标方程与直角坐标方程的互化考点一极坐标方程与直角坐标方程的互化考点突破考点突破典例典例1在极坐标系中,已知圆O:=cos+sin和直线l:sin=.(1)求圆O和直线l的直角坐标方程;(2)当(0,)时,求直线l与圆O的公共点的极坐标.总纲目录教材研读考点突破栏目索引考点突破解析解析(1
5、)由=cos+sin可得2=cos+sin,把代入2=cos+sin,得圆O的直角坐标方程为x2+y2-x-y=0.由l:sin=,得sin-cos=1,因为所以直线l的直角坐标方程为x-y+1=0.(2)由解得总纲目录教材研读考点突破栏目索引考点突破进而,由得因为(0,),所以=,故公共点的极坐标为.总纲目录教材研读考点突破栏目索引考点突破方法技巧方法技巧极坐标方程与直角坐标方程的互化(1)直角坐标方程化为极坐标方程:将公式x=cos及y=sin直接代入直角坐标方程并化简即可.(2)极坐标方程化为直角坐标方程:通过变形,构造出形如cos,sin,2的形式,再应用公式进行代换.其中方程的两边同
6、乘(或同除以)及方程两边平方是常用的变形技巧.总纲目录教材研读考点突破栏目索引考点突破1-1已知曲线C1的极坐标方程为=6cos,曲线C2的极坐标方程为=(R),两曲线相交于A,B两点.请把曲线C1,C2的极坐标方程转化为直角坐标方程.解析解析曲线C2:=(R)的直角坐标方程为y=x.曲线C1:=6cos,即2=6cos,所以x2+y2=6x,即(x-3)2+y2=9.故曲线C1的直角坐标方程为(x-3)2+y2=9.总纲目录教材研读考点突破栏目索引考点突破1-2在平面直角坐标系xOy中,直线C1:x=-2,圆C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标
7、系.求C1,C2的极坐标方程.解析解析因为x=cos,y=sin,所以C1的极坐标方程为cos=-2,C2的极坐标方程为2-2cos-4sin+4=0.总纲目录教材研读考点突破栏目索引考点突破考点二求曲线的极坐标方程考点二求曲线的极坐标方程典例典例2将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C.(1)写出C的参数方程;(2)设直线l:2x+y-2=0与C的交点为P1,P2,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.总纲目录教材研读考点突破栏目索引考点突破解析解析(1)设点(x1,y1)为圆上的点,经变换为C
8、上的点(x,y),依题意,得由+=1得x2+=1,即曲线C的方程为x2+=1.故C的参数方程为(t为参数).(2)由解得或不妨设P1(1,0),P2(0,2),则线段P1P2的中点坐标为,所求直线的斜率k=,于是所求的直线方程为y-1=,化为极坐标方程,并整理得2cos-4sin=-3,即=.总纲目录教材研读考点突破栏目索引考点突破方法技巧方法技巧求曲线的极坐标方程的步骤:(1)建立适当的极坐标系,设P(,)是曲线上任意一点;(2)由曲线上的点所适合的条件,列出点P的极径和极角之间的关系式;(3)将列出的关系式进行整理、化简,得出曲线的极坐标方程.总纲目录教材研读考点突破栏目索引考点突破2-1
9、在极坐标系中,已知圆C经过点P,圆心为直线sin=-与极轴的交点,求圆C的极坐标方程.解析解析在sin=-中,令=0,得=1,所以圆C的圆心坐标为(1,0).因为圆C经过点P,所以圆C的半径PC=1,于是圆C过极点,所以圆C的极坐标方程为=2cos.总纲目录教材研读考点突破栏目索引考点突破考点三极坐标方程及应用考点三极坐标方程及应用典例典例3(2017课标全国,22,10分)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为cos=4.(1)M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足|OM|OP|=16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程;(2)设点A
10、的极坐标为,点B在曲线C2上,求OAB面积的最大值.总纲目录教材研读考点突破栏目索引考点突破解析解析(1)设P的极坐标为(,)(0),M的极坐标为(1,)(10).由题设知|OP|=,|OM|=1=.由|OM|OP|=16得C2的极坐标方程=4cos(0).因此C2的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4(x0).(2)设点B的极坐标为(B,)(B0).由题设知|OA|=2,B=4cos,于是OAB面积S=|OA|BsinAOB=4cos=22+.当=-时,S取得最大值2+.所以OAB面积的最大值为2+.总纲目录教材研读考点突破栏目索引考点突破方法技巧方法技巧在用方程解决直线、圆和圆锥曲线的有关
11、问题时,将极坐标方程化为直角坐标方程,有助于对方程所表示的曲线的认识,从而达到化陌生为熟悉的目的,这是转化与化归思想的应用.总纲目录教材研读考点突破栏目索引考点突破3-1(2017河南洛阳一模,22)在直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为(为参数),以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.(1)求圆C的普通方程;(2)直线l的极坐标方程是2sin=5,射线OM:=与圆C的交点为O,P,与直线l的交点为Q,求线段PQ的长.总纲目录教材研读考点突破栏目索引考点突破解析解析(1)因为圆C的参数方程为(为参数),所以圆心C的坐标为(0,2),半径为2,圆C的普通方程为x2+(y-2)2=4.(2)将x=cos,y=sin代入x2+(y-2)2=4,得圆C的极坐标方程为=4sin.设P(1,1),则由解得1=2,1=.设Q(2,2),则由解得2=5,2=.所以|PQ|=3.总纲目录教材研读考点突破栏目索引夯基提能作业坐标系坐标系P17 3、4、5