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1、第2课时 函数的最大值、最小值喷泉喷出的抛物线型水柱到达喷泉喷出的抛物线型水柱到达“最高点最高点”后便下落，经历后便下落，经历了先了先“增增”后后“减减”的过程，从中我们发现单调性与函数的过程，从中我们发现单调性与函数的最值之间似乎有着某种的最值之间似乎有着某种“联系联系”，让我们来研究，让我们来研究函函数的最大值与最小值数的最大值与最小值.观察下列两个函数的图象：观察下列两个函数的图象：yxox0图图2MB【解答解答】第一个函数图象有最高点第一个函数图象有最高点A A,第二个函数图象有最第二个函数图象有最高点高点B B,也就是说也就是说,这两个函数的图象都有最高点这两个函数的图象都有最高点.
2、思考思考1 1 这两个函数图象有何共同特征？这两个函数图象有何共同特征？思考思考2 2 设函数设函数y y=f f(x x)图象上最高点的纵坐标为图象上最高点的纵坐标为M M,则对函数定则对函数定义域内任意自变量义域内任意自变量x x,f f(x x)与与M M的大小关系如何的大小关系如何?【解答解答】f f(x x)M M最高点的纵坐标即是最高点的纵坐标即是函数的最大值！函数的最大值！函数最大值的定义：函数最大值的定义：一般地，设一般地，设y y=f f(x x)的定义域为的定义域为A A，如果存在，如果存在x x0 0A A,使得对于任意的使得对于任意的x xA A ，都有，都有 f f(
3、x x)f f(x x0 0),),那么称那么称f f(x x0 0)为为y y=f f(x x)的最大值，的最大值，记为记为 y ymaxmax=f f(x x0 0).).图图1yox0 xmxyox0图图2m观察下列两个函数的图象：观察下列两个函数的图象：思考思考1:1:这两个函数图象各有一个最低点，函数图象上最低点这两个函数图象各有一个最低点，函数图象上最低点的纵坐标叫什么名称？的纵坐标叫什么名称？函数图象上最低点的纵坐标是所有函数值中的最小值函数图象上最低点的纵坐标是所有函数值中的最小值,即函数的最小值即函数的最小值.思考思考2:2:仿照函数最大值的定义，怎样定义函数的最小值？仿照函
4、数最大值的定义，怎样定义函数的最小值？一般地，设一般地，设y y=f f(x x)的定义域为的定义域为A A，如果存在，如果存在x x0 0A A,使使得对于任意的得对于任意的x xA A ，都有，都有f f(x x)f f(x x0 0),),那么称那么称f f(x x0 0)为为y y=f f(x x)的最小值，记为的最小值，记为 y yminmin=f f(x x0 0).).1.1.函数最大函数最大（小）值的几何意义：函数图象最高（低）小）值的几何意义：函数图象最高（低）点的纵坐标点的纵坐标.2.2.讨论函数的最大（小）值，要坚持定义域优先的原则；讨论函数的最大（小）值，要坚持定义域优
5、先的原则；函数图象有最高（低）点时，这个函数才存在最大（小）函数图象有最高（低）点时，这个函数才存在最大（小）值，最高（低）点必须是函数图象上的点值，最高（低）点必须是函数图象上的点.提升总结：提升总结：3.3.如果在函数如果在函数y y=f f(x x)定义域内存在定义域内存在x x1 1和和 x x2 2，使对定义域，使对定义域内任意内任意x x都有都有f f(x x1 1)f f(x x)f f(x x2 2)成立，则应有成立，则应有f(x)的的最大值是最大值是f(x2 2)，最小值是，最小值是f(x1 1).).思考思考1 1 怎样求一次函数怎样求一次函数y=kx+by=kx+b（k
6、k0)在区间在区间a,ba,b上的最大上的最大值与最小值？值与最小值？轴在区间右侧轴在区间右侧轴在区间左侧轴在区间左侧轴在区间内轴在区间内a bababyoxxoxoyy分别对应以上三种情况，结合图象可求得最大值与最小分别对应以上三种情况，结合图象可求得最大值与最小值，当值，当a00时，同法可得最值时，同法可得最值.提升总结：提升总结：1.1.求函数最值的方法：求函数最值的方法：图象图象单调性单调性最值最值2.2.求二次函数在某区间上最值的方法：求二次函数在某区间上最值的方法：一看开口方向，二找对称轴，三定区间位置一看开口方向，二找对称轴，三定区间位置.例例1 1 下图为函数下图为函数y=y=
7、f f(x)(x)，x-4,7x-4,7的图象，指出它的最大的图象，指出它的最大值、最小值及单调区间值、最小值及单调区间.-1.57 7x “菊花菊花”烟花是最壮观的烟烟花是最壮观的烟花之一。制造时一般是期望在它花之一。制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂达到最高点时爆裂,如果烟花距地如果烟花距地面的高度面的高度h h m m与时间与时间t t s s之间的关之间的关系为系为h h(t t)=-4.9)=-4.9t t2 2+14.7+14.7t t+18+18，那，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度的最佳时刻？这时距地面的高度是多少是多少?
8、（精确到（精确到1m1m）解：解：作出函数作出函数h(t)=-4.9)=-4.9t2 2+14.7+14.7t+18+18的图象，如图所示，的图象，如图所示，显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度。面的高度。1234102015530250ht 由二次函数的知识知，对于函数由二次函数的知识知，对于函数h h(t t)=-4.9)=-4.9t t2 2 +14.7+14.7t t+18+18，我们有：当，我们有：当 时，函数有最大值时，
9、函数有最大值 于是，烟花冲出后于是，烟花冲出后1.5s1.5s是它爆裂的最佳时刻，这时距地是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约为面的高度约为29m.29m.例例2 2 求下列函数的最小值：求下列函数的最小值：(1)y=x(1)y=x2 2-2x;-2x;(2)y=,x1,3.(2)y=,x1,3.解解:(1)(1)因为因为y=xy=x2 2-2x=(x-1)-2x=(x-1)2 2-1-1,-1-1,且当且当x=1x=1时时y=-1y=-1，所，所以函数取得最小值以函数取得最小值-1-1，即，即y yminmin=-1.=-1.(2)(2)因为对于任意实数因为对于任意实数 x1,3x1,3，
10、都有，都有 ,且当且当x=3x=3时时 ，所以函数的最小值为，所以函数的最小值为 ，即，即y yminmin=.=.例例3 3 已知函数已知函数y y=f f(x x)的定义域是的定义域是 a a，b b，a a c c b b 当当x xa a ，c c 时，时，f f(x x)是单调增函数；当是单调增函数；当x xc c，b b 时，时，f f(x x)是单调减函数，试证明是单调减函数，试证明f f(x x)在在x x=c c时取得最大值时取得最大值【证明证明】因为当因为当x xa a ，c c 时，时，f f(x x)是单调增函数，是单调增函数，所以对于任意所以对于任意x xa a ，c
11、 c ，都有，都有f f(x x)f f(c c).).又因为当又因为当x x c c，b b 时，时，f f(x x)是单调减函数，所以对于任意是单调减函数，所以对于任意x xc c，b b ，都有，都有f f(x x)f f(c c).).因此对于任意因此对于任意x xa a，b b,都有都有f f(x x)f f(c c)，即，即f f(x x)在在x x=c c时取得最大值时取得最大值求函数求函数f(x)=-)=-x2 2+2+2x在在0,100,10上的最大值和最小值上的最大值和最小值.解解:函数函数f f(x x)=-)=-x x2 2+2+2x x是开口向下的二次函数，对称轴是是
12、开口向下的二次函数，对称轴是x x=1=1，在，在0,10,1上是单调增函数，在（上是单调增函数，在（1,101,10上是单调减上是单调减函数，所以当函数，所以当x x=1=1时，取得最大值时，取得最大值1 1，当，当x x=10=10时，取得最时，取得最小值小值-80.-80.2 22 2某商店按每件某商店按每件8080元的价格，购进商品（卖不出去元的价格，购进商品（卖不出去的商品将成为废品）的商品将成为废品）10001000件，市场调研推知：当每件售价件，市场调研推知：当每件售价为为100100元时，恰好全部售完；在此基础上当售价每提高元时，恰好全部售完；在此基础上当售价每提高1 1元元时
13、，销售量就减少时，销售量就减少5 5件件,则当售价为则当售价为_元时获得最大元时获得最大利润，最大利润为利润，最大利润为_元元.先有单调性，先有单调性，后有最值！后有最值！4.4.求函数求函数f(x)=kx+2,(k0)f(x)=kx+2,(k0)在区间在区间0,20,2上的最大值和最小值。上的最大值和最小值。【提示提示】根据根据k k0,k0,k0 0时函数的单调性进行解答时函数的单调性进行解答.【答案答案】k k0 0时，函数的最小值是时，函数的最小值是2 2，最大值是，最大值是2k+22k+2；k k0 0时，函数的最小值是时，函数的最小值是2k+2 2k+2，最大值是，最大值是2.2.
14、1 1、掌握函数的最大（小）值的概念掌握函数的最大（小）值的概念.2 2、求函数的最大（小）值的一般方法求函数的最大（小）值的一般方法.（1 1）对于熟悉的一次函数、二次函数、反比例函数等）对于熟悉的一次函数、二次函数、反比例函数等可以先画出其函数图象，根据函数的性质来求最大（小）可以先画出其函数图象，根据函数的性质来求最大（小）值值.（2 2）对于不熟悉的函数或者比较复杂的函数可以先画出）对于不熟悉的函数或者比较复杂的函数可以先画出其图象，观察出其单调性，再用定义证明，然后利用单调其图象，观察出其单调性，再用定义证明，然后利用单调性求出函数的最大（小）值性求出函数的最大（小）值.要赢得好的声誉需要20年，而要毁掉它，5分钟就够。如果明白了这一点，你做起事来就会不同了。