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1、2.1.3函数的单调性,建立函数的目的是研究函数值与自变量的关系，自变量的变化对函数值变化的影响是经常受到关注的问题例如水位的涨落随时间变化的规律，是防涝抗旱工作中必须解决的实际问题.下面我们通过一组图像,开始研究函数在这方面的一个主要性质函数的单调性,在函数y=f(x)的图象上任取两点A(x1,y1)，B(x2,y2)，记x=x2x1，y=f(x2)f(x1)=y2y1，x表示自变量x的改变量，y表示因变量y的改变量.,当y=f(x2)f(x1)0，当y=f(x2)f(x1)0时，就称y=f(x)在区间M上是增函数.,单调性与单调区间,在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的
2、.,若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间.此时也说函数y=f(x)是这一区间上的单调函数.,注意：,函数的单调性是相对某个区间而言，不能直接说某函数是增函数或减函数。,讨论函数的单调性和书写函数的单调区间是两个不同的问题。,函数的单调区间是其定义域上的子集,函数f(x)在给定区间上为增函数。,如何描述函数f(x)的单调性呢?,函数f(x)在给定区间上为减函数。,例1:下图是定义在5，5上的函数yf(x)的图象，根据图象说出yf(x)的单调区间，以及在每一单调区间上，yf(x)是增函数还是减函数
3、.,解：,yf(x)的单调区间有,5，2），2，1）,1，3），3，5.,其中yf(x)在5，2），1，3）上,是减函数，,在2，1），3，5）上是增函数.,作图是发现函数单调性的方法之一.,单调递增区间：,单调递减区间：,证明：,（设条件）,（论证结果）,（下结论）,证明：,设x1，x2（0，+），且x1x2，则,f(x)在定义域上是减函数吗？,减函数,取x1=1，x2=1f(1)=1f(1)=111f(1)f(1),证明：,f(x1)f(x2)(3x12)(3x22)3(x1x2),由x1x2，得x1x20,设x1，x2是R上的任意两个实数，且x1x2，则,思考:判断函数f(x)x21在(
4、0，)上是增函数还是减函数？并给予证明。,解：,函数f(x)x21在(0，)上是增函数.,下面给予证明：,设x1，x2（0，），且x1x2,函数f(x)x21在(0，)上是增函数.,x1,x2,y1,y2,x2,x1,y1,y2,小结：,函数单调性简单性质总结,函数f(x)和g(x)在区间I上为增（减）函数，则f(x)g(x)在I上为增（减）函数。,函数f(x)和g(x)在区间I上分别为增函数和减函数，则f(x)g(x)在I上为增函数。,函数f(x)和g(x)在区间I上为增（减）函数，且f(x)0,g(x)0，则f(x)g(x)在I上为增（减）函数。,函数y=f(x)在区间I上为增（减）函数，
5、则函数y=af(x)+b(a0)在区间I上为增（减）函数,补充练习：,1、已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)满足f(2+t)=f(2t)，试比较f(1)、f(2)、f(4)的大小.,f(4)f(1)f(2),2、函数y=x2+bx+c在0，+)上是单调函数的充分必要条件是（）.(A)b0(B)b0(C)b0(D)b0,A,当x0时,f(x)=x2+2x+3，对称轴为x=1，抛物线开口向下，所以x0，1时，f(x)为增函数；x1，+)时，f(x)为减函数；,当x0时,f(x)=x22x+3，对称轴为x=1，抛物线开口向下，所以x，1时，f(x)为增函数；x1，0时，f(x)为减函数；,解：a2a+1=(a)2+又函数f(x)在(0，+)上是减函数，,