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1、 相似三角形应用举例相似三角形应用举例问问题题1 1 据据史史料料记记载载，古古希希腊腊数数学学家家、天天文文学学家家泰泰勒勒斯斯曾曾利利用用相相似似三三角角形形的的原原理理，在在金金字字塔塔影影子子的的顶顶部部立立一一根根木木杆杆，借借助助太太阳阳光光线线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度.如如下下图图，如如果果木木杆杆EFEF长长2m2m，它它的的影影长长FDFD为为3 3 m m，测测得得OAOA为为201 201 m m，求金字塔的高度求金字塔的高度BO.BO.分析分析：（：（1 1）利用太阳光线是平行的，得到）利用太阳光线是平行的，得到ABE
2、DABED，又有，又有OBOB、EFEF都垂都垂直于地面；直于地面；（2 2）证明）证明ABODEAABODEA；（3 3）利用相似比，求）利用相似比，求BO.BO.相似三角形应用举例相似三角形应用举例问问题题2 2 如如下下图图，为为了了估估算算河河的的宽宽度度，我我们们可可以以在在河河对对岸岸选选定定一一个个目目标标点点P P，在在近近岸岸取取点点Q Q和和S S，使使点点P P、Q Q、S S共共线线且且直直线线PSPS与与河河垂垂直直，接接着着在在过过点点S S且且与与PSPS垂垂直直的的直直线线a a上上选选择择适适当当的的点点T T，确确定定PTPT与与过过点点Q Q且且垂垂直直P
3、SPS的的直直线线b b的交点的交点R.R.如果如果测测得得QS=45 mQS=45 m，ST=90 mST=90 m，QR=60 mQR=60 m，求河的，求河的宽宽度度PQ.PQ.分析分析：PQR=PST=90PQR=PST=90，P=PP=P PQRPST PQRPST即即 ，.解得解得PQ=90.PQ=90.相似三角形应用举例问题问题3 3 已知左、右并排的两棵大树的高分别是已知左、右并排的两棵大树的高分别是AB=8mAB=8m和和CD=12mCD=12m，两树的根部的，两树的根部的距离距离BD=5mBD=5m，一个身高，一个身高1.6m1.6m的人沿着正对这两棵树的一条水平直路的人沿
4、着正对这两棵树的一条水平直路L L从左向右前从左向右前进，当他与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看到右边较高的树的顶端进，当他与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看到右边较高的树的顶端点点C C？分析分析：AB CD，AFHCFK.，即，即 ，解得，解得FH=8.相似三角形应用举例相似三角形应用举例【例例1 1】雨后初晴，一学生在运动场上玩耍，从他前面雨后初晴，一学生在运动场上玩耍，从他前面2m2m远一块小积水处，他远一块小积水处，他看到旗杆顶端的倒影，如果旗杆底端到积水处的距离为看到旗杆顶端的倒影，如果旗杆底端到积水处的距离为40m40m，该生的眼部高度，该生的眼部高度是是1.5m1.
5、5m，那么旗杆的高度是，那么旗杆的高度是_m._m.【答答案案】设设旗旗杆杆的的高高度度为为xmxm，由由于于在在同同一一时时刻刻，物物体体的的高高度度与与其其影影长长所所在在的的三三角角形形与与另另一一物物体体的的高高度度与与其其影影长长所所在在的的三三角角形形相相似似，所所以以在在同同一一时时刻刻旗旗杆杆的高度与其影长的比等于人的眼部高度与其影长的比，故可列出的高度与其影长的比等于人的眼部高度与其影长的比，故可列出=解得解得x=30 x=30（m m）.相似三角形应用举例相似三角形应用举例【例例2 2】如图如图1 1，在离某建筑物，在离某建筑物4 4米处有一棵树，在某时刻米处有一棵树，在某
6、时刻1.2m1.2m长的竹竿竖长的竹竿竖直地面其影长为直地面其影长为2m2m，此时，树的影子照射地面，还有一部分影子在建筑，此时，树的影子照射地面，还有一部分影子在建筑物的墙上，墙上的影长为物的墙上，墙上的影长为2m2m，那么这棵树高约多少米，那么这棵树高约多少米.图1【答案答案】4.4m.4.4m.【解析解析】解法（解法（1）本题可以延长）本题可以延长AD交交BC所在直线于所在直线于E,则由题意可知，则由题意可知，DCE，可得，可得 ,由已知条件可求出由已知条件可求出CE的长为的长为 进而求出进而求出BE的长的长.再由再由 ABE可得可得 ，于是可求出，于是可求出AB的长的长.相似三角形应用
7、举例相似三角形应用举例【例例3 3】阳光通过窗口照射到室内阳光通过窗口照射到室内,在地面上留下在地面上留下2.7m2.7m宽的亮区宽的亮区(如图如图2 2所示所示),),已知亮区到窗口下的墙脚距离已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m,EC=8.7m,窗口高窗口高AB=1.8m,AB=1.8m,求窗口求窗口底边离地面的高底边离地面的高BC.BC.图2【解析解析】由同一时刻的光线互相平行可得，由同一时刻的光线互相平行可得，AE BD,所以所以AECBDC,可得可得 ，结合图形及已知条件可求出，结合图形及已知条件可求出BC的长的长.【答案答案】BC=4m.相似三角形应用举例相似三角形应用举例1
8、1如图如图1,AB1,AB是斜靠在墙上的长梯是斜靠在墙上的长梯,梯脚梯脚B B距墙脚距墙脚1.6m,1.6m,梯上点梯上点D D距墙距墙 1.4m,BD1.4m,BD长长0.55m,0.55m,则梯子的长为则梯子的长为_._.2 2如图如图2 2，A A、B B两点被池塘隔开，在两点被池塘隔开，在 ABAB外选一点外选一点 C C，连结，连结 ACAC和和 BCBC，并，并分别找出它们的中点分别找出它们的中点 M M、N N若测得若测得MNMN15m15m，则，则A A、B B两点的距离为两点的距离为 .图1图24.4m30m 相似三角形应用举例相似三角形应用举例3.3.李明同学想利用树影的长
9、测量校园内一棵大树的高度，他李明同学想利用树影的长测量校园内一棵大树的高度，他在某一时刻测得一棵小树的高为在某一时刻测得一棵小树的高为1.51.5米米 ，其影长为，其影长为1.21.2米米.同时，同时，他测得这棵大树的影长为他测得这棵大树的影长为3 3米，则这棵大树的实际高度为米，则这棵大树的实际高度为_米米.4 4高高4m4m的旗杆在水平地面上的影子长的旗杆在水平地面上的影子长6m6m，此时测得附近一个，此时测得附近一个建筑物的影子长建筑物的影子长24m24m，求该建筑物的高度，求该建筑物的高度.相似三角形应用举例相似三角形应用举例5 5某同学想测量旗杆的高度，他在某一时刻测得某同学想测量旗
10、杆的高度，他在某一时刻测得1m1m长的竹杆竖直放长的竹杆竖直放置时的影长为置时的影长为1.5m1.5m，在同一时刻测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一，在同一时刻测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一幢楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上幢楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上.他测得落在地面他测得落在地面上的影长为上的影长为21m21m，留在墙上的影高为，留在墙上的影高为2m.2m.你能帮助他求出旗杆的高度你能帮助他求出旗杆的高度吗？吗？6 6一条河的两岸是平行的，在河的这一岸每隔一条河的两岸是平行的，在河的这一岸每隔5m5m有一棵树，在河的有一棵树，在河的对岸每隔对岸每隔50m50m有一根电线
11、杆，在这岸离开岸边有一根电线杆，在这岸离开岸边25m25m处看对岸，看到对处看对岸，看到对岸相邻的两根电线杆恰好被这岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之岸相邻的两根电线杆恰好被这岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有两棵树，求河的宽度间还有两棵树，求河的宽度.相似三角形应用举例相似三角形应用举例7.7.如图如图3 3，小明为了测量某一高楼，小明为了测量某一高楼MNMN的高，在离点的高，在离点N200mN200m的的A A处水处水平放置了一个平面镜，小明沿平放置了一个平面镜，小明沿NANA方向后退到点方向后退到点C C正好从镜中看到楼正好从镜中看到楼顶点顶点M M，若，若ACAC15m15m，小明的
12、眼睛离地面的高度为，小明的眼睛离地面的高度为1.6m1.6m，请你帮助，请你帮助小明计算一下楼房的高度（精确到小明计算一下楼房的高度（精确到0.1m0.1m）.图3 相似三角形应用举例相似三角形应用举例本节课我们主要研究了运用两个三角形相似解决实际问题，本节课我们主要研究了运用两个三角形相似解决实际问题，在解决实际问题中经历了从实际问题到建立数学模型的过程在解决实际问题中经历了从实际问题到建立数学模型的过程.数学建模的关键是把生活中的实际问题转化为数学问题，转数学建模的关键是把生活中的实际问题转化为数学问题，转化的方法之一是画数学示意图，在画图的过程中可以逐渐明化的方法之一是画数学示意图，在画图的过程中可以逐渐明确问题中的数量关系与位置关系，进而形成解决问题的思路确问题中的数量关系与位置关系，进而形成解决问题的思路.“审题审题画示意图画示意图明确数量关系明确数量关系解决问题解决问题”的数学的数学建模的一般过程建模的一般过程.