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1、4/6/20231你知道孙子是如何解答这个你知道孙子是如何解答这个“鸡兔同笼鸡兔同笼”问题的吗？问题的吗？大约在一千五百年前，大数学家孙子在大约在一千五百年前，大数学家孙子在孙子孙子算经算经中记载了这样的一道题：中记载了这样的一道题：“今有雏兔同笼，今有雏兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雏兔各几何？上有三十五头，下有九十四足，问雏兔各几何？”这四句的意思就是：这四句的意思就是：有若干只鸡和兔，共有有若干只鸡和兔，共有35个头，个头，94只脚，那么鸡和兔各有多少只？只脚，那么鸡和兔各有多少只？引入引入2 大约在一千五百年前，大数学家孙子在大约在一千五百年前，大数学家孙子在孙子孙子算经算经中
2、记载了这样的一道题：中记载了这样的一道题：“今有雏兔同笼，今有雏兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雏兔各几何？上有三十五头，下有九十四足，问雏兔各几何？”他假设砍去每只鸡和兔一半的脚，则每只鸡和他假设砍去每只鸡和兔一半的脚，则每只鸡和兔就变成了兔就变成了“独脚鸡独脚鸡”和和“双脚兔双脚兔”.孙子的大胆解法：孙子的大胆解法：这样，这样，“独脚鸡独脚鸡”和和“双脚兔双脚兔”脚的数量与脚的数量与它们头的数量之差，就是兔子数它们头的数量之差，就是兔子数.鸡数就是：鸡数就是：351223.即兔子数是：即兔子数是：473512；引入引入3 有一大群喝有一大群喝水、嬉戏的兔水、嬉戏的兔子，但是这群子，但
3、是这群兔子曾使澳大兔子曾使澳大利亚伤透了脑利亚伤透了脑筋筋 1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到断增加，不到100年，兔子们占领了整个澳大利亚，数年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到量达到75亿只亿只教科书第三章的章头图：（澳大利亚兔子数教科书第三章的章头图：（澳大利亚兔子数“爆炸爆炸”）4 可爱的兔子变得可可爱的兔子变得可恶起来，恶起来，75亿只兔子吃亿只兔子吃掉了相当于掉了相当于75亿只羊所亿只羊所吃的牧草，草原的载畜吃的牧草，草原的载畜
4、率大大降低，而牛羊是率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口澳大利亚的主要牲口 这使澳大利亚头痛不已，他们采用各种方法消这使澳大利亚头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用载载液瘤病毒液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气松了一口气教科书第三章的章头图：（澳大利亚兔子数教科书第三章的章头图：（澳大利亚兔子数“爆炸爆炸”）5 一般而言，在理想条件（食物或养料充足，空间一般而言，在理想条件（食物或养料充足，空间条件充裕，气候适宜，没有敌害等）下，种群在一条件充裕，气候适
5、宜，没有敌害等）下，种群在一定时期内的增长大致符合定时期内的增长大致符合“J”型曲线；在有限环型曲线；在有限环境（空间有限，食物有限，有捕食者存在等）中，境（空间有限，食物有限，有捕食者存在等）中，种群增长到一定程度后不增长，曲线呈种群增长到一定程度后不增长，曲线呈“S”型型 可用可用指数函数指数函数描描述一个种群的前期增述一个种群的前期增长，用长，用对数函数对数函数描述描述后期增长的后期增长的.教科书第三章的章头图：（澳大利亚兔子数教科书第三章的章头图：（澳大利亚兔子数“爆炸爆炸”）61.数学模型：数学模型：就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度
6、来反映或近似地反映实际问题时，所得数学角度来反映或近似地反映实际问题时，所得出的关于实际问题的数学描述出的关于实际问题的数学描述.2.数学模型方法：数学模型方法：是把实际问题加以抽象概括，建立相应的数学模是把实际问题加以抽象概括，建立相应的数学模型，利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法型，利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法.基本概念基本概念7例例1.假设你有一笔资金用于投资,现有三种投资方案供你选择,这三种方案的回报如下:方案一:每天回报40元.方案二:第一天回报10元,以后每天比前一天多回报10元.方案三:第一天回报0.4元,以后每天的回报比前一天翻一倍.请问你会选择哪种投资方案?
7、范例讲解范例讲解8例例1.假设你有一笔资金用于投资,现有三种投资方案供你选择,这三种方案的回报如下:方案一:每天回报40元，方案二:第一天回报10元,以后每天比前一天多回报10元，方案三:第一天回报0.4元,以后每天的回报比前一天翻一倍，解解:设第x天所得回报是y元常函数常函数正比例函数正比例函数指数型函数指数型函数 进行描述进行描述范例讲解范例讲解9三种方案所得回报的增长情况:范例讲解范例讲解10三种方案累计的回报数:结论:投资8天以下(不含8天),应选择第一种投资方案;投资810天,应选择第二种投资方案;投资11天(含11天)以上,则应选择第三种投资方案.范例讲解范例讲解11例例2.某公司
8、为了实现1000万元利润的目标,准备制定一个激励销售部门的奖励方案:在销售利润达到10万元时,按销售利润进行奖励,且奖金 y(单位:万元)随销售利润x的增加而增加,但奖金总数不超过5万元,同时奖金不超过利润的25%,现有三个奖励模型:其中哪个模型能符合公司的要求?范例讲解范例讲解12分别做出函数的图象范例讲解范例讲解13(1)确定奖金总数不超过5万的模型：通过函数图像直观的观察利用函数的值域来确定结论：符合要求。分析步骤：(2)计算按模型 奖励时，奖金是否不超过利润的25范例讲解范例讲解14令作出函数 的图象：范例讲解范例讲解15由图象可知它是递减的，因此即所以，当x 10,1000 时，说明
9、按模型 奖励，奖金不会超过利润的25。综上所述，模型 确实能符合公司要求。范例讲解范例讲解16一次函数一次函数y=kx+b(k0)、指数函数指数函数y=ax(a1)、对数函数对数函数y=logax(a1)、幂函数幂函数y=xn(n0)在在(0,+)上都是增函数上都是增函数.为便于研究它们的增长差异，不妨以一次函数为便于研究它们的增长差异，不妨以一次函数y=2x+1、指数函数、指数函数y=1.5x、对数函数、对数函数y=log1.5x、幂函、幂函数数y=x1.5例，观察在例，观察在(0,+)上的图像变化趋势及增上的图像变化趋势及增长差异情况长差异情况.用几何画板观察图像变化趋势及图表增量差异用几
10、何画板观察图像变化趋势及图表增量差异一次函数、幂函数、指数函数、对数函数的增长差异一次函数、幂函数、指数函数、对数函数的增长差异17 通过图像和表格，容通过图像和表格，容易看出，随着易看出，随着x的增大，的增大，各、函数值的变化及相各、函数值的变化及相应增量规律为：应增量规律为：直线型均匀上升，增量恒定；直线型均匀上升，增量恒定；指数型急剧上升，增量快速增大；指数型急剧上升，增量快速增大；对数型缓慢上升，增量逐渐减少；对数型缓慢上升，增量逐渐减少；幂函数型虽上升较快，但随着幂函数型虽上升较快，但随着x的不断增大上升趋势远的不断增大上升趋势远不如指数型，几乎有些微不足道，其增量缓慢递增不如指数型
11、，几乎有些微不足道，其增量缓慢递增.一次函数、幂函数、指数函数、对数函数的增长差异一次函数、幂函数、指数函数、对数函数的增长差异18 函数是描述宏观世界变化规律的基本函数是描述宏观世界变化规律的基本数数学模型学模型，不同的变化规律需要不同的，不同的变化规律需要不同的函数模函数模型型来描述来描述.学习了常数函数、一次函数、学习了常数函数、一次函数、指数函数、幂函数、对数函数的图像变化趋指数函数、幂函数、对数函数的图像变化趋势及增量差异：势及增量差异：直线上升直线上升、指数爆炸指数爆炸、对数增长对数增长等不同增长的等不同增长的函数函数模型模型意义，理解了它们的增意义，理解了它们的增长差异性长差异性课堂小结课堂小结19再见！谢谢大家！谢谢大家！知识是宝库，知识是宝库，而实践是开启宝库的钥匙而实践是开启宝库的钥匙.世间无所谓天才，它仅是刻苦加勤奋世间无所谓天才，它仅是刻苦加勤奋.20