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1、第第4 4讲因式分解讲因式分解1.1.了解：因式分解的定义了解：因式分解的定义.2.2.理解：公因式、平方差公式、完全平方式的理解：公因式、平方差公式、完全平方式的特点特点.3.3.会：用提取公因式法、公式法会：用提取公因式法、公式法(直接用公式不直接用公式不超过两次超过两次)进行因式分解进行因式分解(指数是正整数指数是正整数).).4.4.能：能利用因式分解解决问题能：能利用因式分解解决问题.目标导航：目标导航：一、因式分解的概念一、因式分解的概念1、把、把 化成化成 的的形式，形式，叫做把这个多项式叫做把这个多项式因式分解因式分解。因因式分解式分解与与整式的乘法整式的乘法是是互逆变形互逆变
2、形，因式分，因式分解的结解的结果是否正确可果是否正确可以以用用整式的乘法整式的乘法来检验。来检验。几个整式几个整式的积的积 一个多项式一个多项式二、因式分解的方法二、因式分解的方法1.1.提公因式法：提公因式法：am+bm+cmam+bm+cm=_ _ .m(a+b+cm(a+b+c)怎样确定公因式？怎样确定公因式？(1)(1)确定系数：各项系数的最大公约数；确定系数：各项系数的最大公约数；(2)(2)确定字母：每一项都含有的字母；确定字母：每一项都含有的字母；(3)(3)确定指数：相同字母的指数取最低的确定指数：相同字母的指数取最低的.首项首项是是负负的的,可将负号一并提取可将负号一并提取
3、找出下列多项式的公因式找出下列多项式的公因式（1 1）8x8x2 2y y4 4-12xy-12xy2 2z z（2 2）-5x-5x2 2-3xy+x-3xy+x-x-x4xy4xy2 22.2.运用公式法：运用公式法：平方差公式：平方差公式：a a2 2-b-b2 2=_;=_;完全平方公式：完全平方公式：a a2 22ab+b2ab+b2 2=_ _.(a+b)(a-ba+b)(a-b)(a(ab)b)2 21.1.若多项式的各项有公因式若多项式的各项有公因式,则应先则应先_,_,首项是负的首项是负的,可将负号一并提取可将负号一并提取.2.2.若多项式的各项没有公因式若多项式的各项没有公
4、因式,则可以考虑用则可以考虑用_法来因式分解法来因式分解.提取公因式提取公因式公式公式如果多项式从整体上看既不能提公因式、也不如果多项式从整体上看既不能提公因式、也不能运用公式法，那么考虑先从局部来进行因式能运用公式法，那么考虑先从局部来进行因式分解；分解；切记：因式分解必须进行到切记：因式分解必须进行到每一个每一个因式因式都不能再都不能再分解分解为止。为止。三、因式分解的步骤三、因式分解的步骤核心考点一因式分解的概念核心考点一因式分解的概念下列从左到右的变形是因式分解吗？下列从左到右的变形是因式分解吗？（1 1）36a36a2 2b=3ab=3a12ab 12ab （2 2）x x2 2-x
5、-3=x(x-1)-3-x-3=x(x-1)-3（3 3）x+1=x(1+1/x)x+1=x(1+1/x)（4 4）(X+2)(X-2)=X(X+2)(X-2)=X2 2-4-4（5 5）x x2 22xy+y2xy+y2 2=(x=(xy)y)2 2；核心考点二因式分解核心考点二因式分解(1)(1)-x-x4 4y y5 5+x+x2 2y y2 2-xy-xy（2 2）2a(b-c)-3(c-b)2a(b-c)-3(c-b)2 21 1、因式分解、因式分解（1 1）因式分解：）因式分解：x x2 2y-xyy-xy2 2=_.=_.（2 2）因式分解：）因式分解：4x4x2 2-25=_.
6、-25=_.（3 3）因式分解：）因式分解：m m3 3-4m=_.-4m=_.（4 4）因式分解：）因式分解：3x3x2 2+6x+3=_.+6x+3=_.xy(x-yxy(x-y)(2x+5)(2x-5)(2x+5)(2x-5)m(m+2)(m-2)m(m+2)(m-2)3(x+1)3(x+1)2 22 2、填空、填空(2)x4-2x2+1（1）-2x2+20 x-50(3)(x2+y2)2-4x2y2(4)(x+y)(4)(x+y)2 2+12(x+y)+36+12(x+y)+363 3、因式分解、因式分解4.4.把把x x2 2+3x+c+3x+c因式分解得：因式分解得：x x2 2+
7、3x+c=(x+1)(x+2),+3x+c=(x+1)(x+2),则则c c的的值为值为()()A.2A.2B.3B.3C.-2C.-2D.-3D.-3A A5.(20135.(2013张家界中考张家界中考)下列各式能用完下列各式能用完全平方公式进行因式分解的是全平方公式进行因式分解的是()A.xA.x2 2+x+1+x+1 B.x B.x2 2+2x-1+2x-1C.xC.x2 2-1-1 D.x D.x2 2-6x+9-6x+9D D6、已知已知x2-kx+25是一个完全平方式，那么是一个完全平方式，那么k的值为（的值为（）7、已知已知x2-10 x+K是一个完全平方式，那么是一个完全平方
8、式，那么k的值为（的值为（）10 25 1 1、若、若m=2n+1,m=2n+1,则则m m2 2-4mn+4n-4mn+4n2 2的的值值是是_._.核心考点三因式分解在求代数式值中的应用核心考点三因式分解在求代数式值中的应用2 2、已知、已知a+b=4a+b=4，ab=-2,ab=-2,则则a a2 2b+abb+ab2 2=.3 3、已知、已知x+y=5,xx+y=5,x2 2-y-y2 2=-20,=-20,则则x-y=_x-y=_4 4、200620062 2-6-62 2=_ _ .5 5、11112 2+66+6613+3913+392 2=.-8-8-4-44024000402
9、4000250025001 1 把下列各式因式分解把下列各式因式分解：（1）a2-b2+2b-1(2)(2)X(XX(X2)2)6+3x.6+3x.智力测试：智力测试：1.1.了解：因式分解的定义了解：因式分解的定义.2.2.理解：公因式、平方差公式、完全平方式的理解：公因式、平方差公式、完全平方式的特点特点.3.3.会：用提取公因式法、公式法会：用提取公因式法、公式法(直接用公式不直接用公式不超过两次超过两次)进行因式分解进行因式分解(指数是正整数指数是正整数).).4.4.能：能利用因式分解解决问题能：能利用因式分解解决问题.目标回放：目标回放：作业：作业：P98 T1,2,3,4,6,1
10、1,12,13,14,16热热点考向一点考向一 因式分解的概念及提取公因式因式分解的概念及提取公因式【例例1 1】(1)(2013(1)(2013河北中考河北中考)下列等式从左到右的下列等式从左到右的变变形形,属于因式分解的是属于因式分解的是()A.a(x-yA.a(x-y)=ax-ay)=ax-ayB.xB.x2 2+2x+1=x(x+2)+1+2x+1=x(x+2)+1C.(x+1)(x+3)=xC.(x+1)(x+3)=x2 2+4x+3+4x+3D.xD.x3 3-x=x(x+1)(x-1)-x=x(x+1)(x-1)(2)(2013(2)(2013无无锡锡中考中考)分解因式：分解因式
11、：2x2x2 2-4x=_.-4x=_.【名师助学名师助学】确定公因式的方法确定公因式的方法1.1.所含的字母或因式是每一项都共有的所含的字母或因式是每一项都共有的.2.2.同一字母或因式的指数在各项中是最低的同一字母或因式的指数在各项中是最低的.3.3.各项系数为整数时各项系数为整数时,公因式的系数是它们的最大公因数公因式的系数是它们的最大公因数.由此可见由此可见,确定公因式时确定公因式时,只要取各项系数的最大公因数只要取各项系数的最大公因数与各相同字母的最低次幂的积即可与各相同字母的最低次幂的积即可.热热点考向二点考向二 运用公式法因式分解运用公式法因式分解【例例2 2】(1)(2012(
12、1)(2012无无锡锡中考中考)因式分解因式分解(x-1)(x-1)2 2-2(x-1)+1-2(x-1)+1的的结结果是果是()A.(x-1)(x-2)A.(x-1)(x-2)B.xB.x2 2C.(x+1)C.(x+1)2 2 D.(x-2)D.(x-2)2 2(2)(2013(2)(2013威海中考威海中考)分解因式：分解因式：-3x-3x2 2+2x-=_.+2x-=_.【名师助学名师助学】因式分解的步骤因式分解的步骤1.1.先看各项有无公因式先看各项有无公因式,有公因式的先提取公因式有公因式的先提取公因式.2.2.提公因式后或各项无公因式提公因式后或各项无公因式,再看多项式的项数再看
13、多项式的项数.(1)(1)若多项式为两项若多项式为两项,则考虑用平方差公式因式分解则考虑用平方差公式因式分解.(2)(2)若多项式为三项若多项式为三项,则考虑用完全平方公式因式分解则考虑用完全平方公式因式分解.(3)(3)若多项式有四项或四项以上若多项式有四项或四项以上,就考虑综合运用上面的就考虑综合运用上面的方法方法.3.3.若上述方法都不能分解若上述方法都不能分解,则考虑把多项式重新整理、变则考虑把多项式重新整理、变形形,再按上面步骤进行再按上面步骤进行.【名师助学名师助学】因式分解在求代数式值中的应用因式分解在求代数式值中的应用1.1.因式分解是研究代数式的基础因式分解是研究代数式的基础
14、,通过因式分解将多项式通过因式分解将多项式合理变形合理变形,是求代数式值的常用解题方法是求代数式值的常用解题方法,具体做法是：具体做法是：根据题目的特点根据题目的特点,先通过因式分解将式子变形先通过因式分解将式子变形,然后再进然后再进行整体代入行整体代入.2.2.用因式分解的方法将式子变形时用因式分解的方法将式子变形时,根据已知条件根据已知条件,变形变形的可以是整个代数式的可以是整个代数式,也可以是其中的一部分也可以是其中的一部分.【典例典例】(2012(2012扬扬州中考州中考)因式分解：因式分解：m m3 3n-9mn.n-9mn.【学以致用学以致用】(2012(2012绥绥化中考化中考)
15、因式分解：因式分解：a a3 3b-2ab-2a2 2b b2 2+ab+ab=.【解析解析】原式原式=ab(a=ab(a2 2-2ab+b-2ab+b2 2)=ab(a-b)=ab(a-b)2 2.答案：答案：ab(a-b)ab(a-b)2 2当堂检测当堂检测P6T1,21.(20131.(2013南昌中考南昌中考)下列因式分解正确的是下列因式分解正确的是()A.xA.x2 2-xy+x=-xy+x=x(x-yx(x-y)B.a)B.a3 3-2a-2a2 2b+abb+ab2 2=a(a-b)=a(a-b)2 2C.xC.x2 2-2x+4=(x-1)-2x+4=(x-1)2 2+3 D.
16、ax+3 D.ax2 2-9=a(x+3)(x-3)-9=a(x+3)(x-3)中考热身及易错点中考热身及易错点3.(20123.(2012南通中考南通中考)已知已知x x2 2+16x+k+16x+k是完全平方式是完全平方式,则则常数常数k k等于等于()A.64A.64B.48B.48C.32C.32D.16D.164.(2013益阳中考益阳中考)因式分解：因式分解：xy2-4x=.【解析解析】xy2-4x=x(y2-4)=x(y+2)(y-2).答案：答案：x(y+2)(y-2)5.（2013徐州中考徐州中考)当当m+n=3时时,式子式子m2+2mn+n2的值为的值为6.(2012株洲中考株洲中考)先化简先化简,再求值：再求值：(2a-b)2-b2,其中其中a=-2,b=3.课堂小结：1 注意因式分解与整式运算是相反的过程2 因式分解的结果是积且每个因式是整式3 因式分解的基本原则是先提后套4 因式分解要切底5 注意因式分解在运算中的简便应用