(精品)第6章一阶电路.ppt

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1、第六章 一阶电路本章主要内容：2 2、RCRC、RLRL电路的电路的零输入响应零输入响应；3 3、RCRC、RLRL电路的电路的零状态响应零状态响应；4 4、一阶电路的一阶电路的全响应全响应；暂态与稳态；暂态与稳态 ；5 5、一阶电路的、一阶电路的三要素法三要素法；6 6、阶跃函数和阶跃响应；子区间、阶跃函数和阶跃响应；子区间分析法。分析法。1 1、动态电路的分解与等效；动态电路的分解与等效；引言引言一、什么叫一阶电路？一、什么叫一阶电路？2 2）用一阶微分方程描述其变量的电路。）用一阶微分方程描述其变量的电路。1 1）只含一个动态元件）只含一个动态元件(C(C、L)L)的电路。的电路。二、如

2、何分析一阶电路？二、如何分析一阶电路？电路变量依旧受到两类约束：电路变量依旧受到两类约束：q 元件约束元件约束q 拓扑约束拓扑约束但有变化：动态元件的但有变化：动态元件的VARVAR为微积分方程。为微积分方程。6-1 6-1 分解的方法在动态电路分析中的应用分解的方法在动态电路分析中的应用一、把一、把一阶一阶电路的动态元件分离出来，可以得到典电路的动态元件分离出来，可以得到典型的一阶电路：型的一阶电路：其中其中N N为一般的线性含源单口网络。而为一般的线性含源单口网络。而N N可以化简可以化简为戴维南等效电路或诺顿等效电路，如图（为戴维南等效电路或诺顿等效电路，如图（b b）。）。这样一阶电路

3、的分析问题，转化为图（这样一阶电路的分析问题，转化为图（b b）RCRC或或RLRL电路的分析问题。电路的分析问题。二、二、RC电路的分析电路的分析 这是常系数非齐次一阶微分方程。这是常系数非齐次一阶微分方程。RC电路的分电路的分析归结为该方程的求解。析归结为该方程的求解。代入代入:1、布列微分方程、布列微分方程 2 2、一阶微分方程的求解：、一阶微分方程的求解：1 1）齐次方程齐次方程通解：通解：2 2）非非齐次方程齐次方程特解：特解：W=Q 常数常数*3 3）K K确定：确定：常系数非齐次一阶微分方程常系数非齐次一阶微分方程由初始条件解出由初始条件解出K K完全解为完全解为：特解的形式：特

4、解的形式：3 3、以、以RCRC电路为例，了解微分方程的求解电路为例，了解微分方程的求解初始条件代入（初始条件代入（2 2）：）：对于对于RLRL电路，则有电路，则有三、利用置换定理，求解一阶电路其三、利用置换定理，求解一阶电路其余变量。余变量。这样一阶动态电路就转换为纯电阻电路，可以用纯电阻电路的所有分析方法，求电路余下的变量。这就是分解的方法在动态电路分析中的应用。四、小结四、小结利用分解方法分析一阶电路的方法：v 把电路分解为一个动态元件和一个单口网络；v 把单口网络化为最简单的形式，得到RC或RL 电路；v 布列RC或RL电路的微分方程，解出状态变 量；v 用电压源或电流源置换动态元件

5、，得到纯电 阻电路；v 分析纯电阻电路，求解余下变量。以上方法可以处理所有一阶电路。63 一阶电路的零输入响应一、一、RC RC 电路的零输入响应电路的零输入响应（输入为零）（输入为零）电路在没有外界输入的情况下，只由电路中动电路在没有外界输入的情况下，只由电路中动态元件初始储能作用而产生的响应为零输入响应。态元件初始储能作用而产生的响应为零输入响应。图图(a)所所示示电电路路，开开关关原原来来在在1端端，电电容容电电压压已已经达到经达到U0，在，在t=0时开关由时开关由1端转换到端转换到2端，如图端，如图(b)求：求：uC(t)；iC(t),t 0 t 0 充电充电 t=0 换路换路 t0

6、放电放电1.1.定性分析定性分析 建立图建立图(b)电路的一阶微分方程电路的一阶微分方程 其解为：其解为：根据初始条件根据初始条件 齐次方程齐次方程通解：通解：2.定量分析定量分析 最后得到电路的零输入响应为最后得到电路的零输入响应为:uC(0+)02 3 4uC(t)t(s)t(s)O23 4iC(t)电流可以跃变电流可以跃变U0 02 3 4uC(t)t(s)t0 2 3 4 5 uc(t)U00.368U00.135U00.050U00.018U00.007U00以以 为例，说明电压为例，说明电压的变化与时间常数的关系。的变化与时间常数的关系。当当t=0时，时，uC(0)=U0，当，当t

7、=时，时，uC()=0.368U0由于波由于波形衰减很快，实际上只要经过形衰减很快，实际上只要经过45 的时间就可以认为放电的时间就可以认为放电过程基本结束。一般定义过程基本结束。一般定义4 为稳定时间为稳定时间。0.368U0换换 路路：电路由电源接入或断开，元件参：电路由电源接入或断开，元件参 数或电路结构突然改变。数或电路结构突然改变。过渡过程：电路由一种稳定状态向另一种稳过渡过程：电路由一种稳定状态向另一种稳 定状态过渡的过程。定状态过渡的过程。时间常数：时间常数：=RC它决定了它决定了u uC C 衰减的快慢衰减的快慢,大，表示衰减的慢大，表示衰减的慢;小，表示衰减的快。小，表示衰减

8、的快。换路定律：换路定律：由以上分析得出的概念及结论：由以上分析得出的概念及结论：二、RL 电路的零输入响应电路的零输入响应如图如图a)a)，求求 iL(t),uL(t),t 0。解：解：1.1.定性分析定性分析 t 0 储磁场能储磁场能 t=0 换路换路 t0 衰减到零衰减到零列出列出KCL方程，得到微分方程方程，得到微分方程 通解为通解为 代入初始条件代入初始条件iL(0+)=I0求得求得 最后得到最后得到三、结论：三、结论：1 1RCRC电路（或电路（或RLRL电路）电压与电流的零输入响电路）电压与电流的零输入响应都是从它的初始值按指数规律衰减到零。应都是从它的初始值按指数规律衰减到零。

9、2 2 表达式：表达式：X(0X(0+)初始值初始值 时间常数时间常数3 3二者零输入响应、时间常数具有对偶性。二者零输入响应、时间常数具有对偶性。=R Ro oC C =G Go oL L=L/R=L/Ro o 注意这里的注意这里的R Ro o和和G Go o为等效电阻为等效电阻例例1：电路如图：电路如图(a)所示，已知电容电压所示，已知电容电压uC(0-)=6V。t=0闭合开关，求闭合开关，求t 0时时uC(t)、iC(t)、iR(t)。解：在开关闭合瞬间，电容电压不能跃变，得到解：在开关闭合瞬间，电容电压不能跃变，得到 将连接电容两端的单口网络等效于一个电阻，为将连接电容两端的单口网络等

10、效于一个电阻，为 电阻中的电流电阻中的电流iR(t)，可以用与，可以用与iC(t)同样数值同样数值的电流源代替电容，用电阻并联的分流公式求得的电流源代替电容，用电阻并联的分流公式求得 iR(t)例2：362i1uC+_100F已知 uC(0+)=18V求：uC(t),i1(t),t 0例3：31iu+_4 H0.5u已知i(0+)=2A 求：i(t),u(t),t 0利用外接元件法求Ro63 一阶电路的零状态响应一、RC电路的零状态响应CRt=0+_uC(t)+_USi(t)已知：uC(0)=0，求 uC(t),i(t),t 0。零状态响应零状态响应:电路中动态元件的电路中动态元件的初始状态为

11、零初始状态为零，电路只在电路只在外加激励作用下外加激励作用下产生的响应。产生的响应。+_USuC(t)RiC(t)解：1、布列微分方程：2、解微分方程：1）uC(t)的零状态响应是从零按指数规律 上升到它的稳态值 uC();tuC()uC(t)O2）当t4,uC()=Us是电容 C 开路时 uC 的值。表示为iC=0，3、分析：uC(0)=0Us4 4、求电容电流：解一：解二：tOiCRC+_USuC(t)RiC(t)二、RL电路的零状态响应ISt=0L+_uLRiRiL已知：iL(0_)=0，求 iL(t),uL(t),t 0RL+_uLiLiRIS2、解微分方程：解：、布列微分方程：1）i

12、L 的零状态响应是从零按指数规律上升到它的稳态值 iL()。当t4，iL（t）接近稳态值。iL()=IS,是电感短路时的值。tiL()iLIS2）iL 零状态响应的快慢，取决于电路的时间 常数（=L/R）。越小，上升越快。3、分析：4解一：解二：tOuLRIS4、求电感电压：RL+_uLiLiRIS三、结论：1 1、u uC C(t t)和和i iL L(t(t)的零状态响应是从零按指数的零状态响应是从零按指数 规律上升到它的稳态规律上升到它的稳态uc c()和和 i iL L()；i iC C(t t)和和u uL L(t(t)是按指数规律衰减到零。是按指数规律衰减到零。X()X()稳态值稳

13、态值;时间常数时间常数3 3、非状态变量：、非状态变量：i iC C(t t)和和 u uL L(t(t)。求解方法：先求状态变量，再求非状态变量。求解方法：先求状态变量，再求非状态变量。2、状态变量：例例1 电路如图电路如图(a)，已知已知 uC(0-)=0。t=0 打开开关，打开开关，求：求：t 0的的uC(t)，iC(t)及电阻电流及电阻电流 i1(t)。解：在开关打开瞬间，电容电压不能跃变，得到解：在开关打开瞬间，电容电压不能跃变，得到 将连接电容两端的单口网络等效为戴维南电路图将连接电容两端的单口网络等效为戴维南电路图(b)电路的时间常数为电路的时间常数为 当电路达到新的稳定状态时，

14、电容相当开路得当电路达到新的稳定状态时，电容相当开路得 根据图（根据图（a）所示电路，用所示电路，用KCL方程得到方程得到 t(s)iC(A)234O0.4t(s)uC(V)120234O例例2 电路如图电路如图(a)所示，已知电感电流所示，已知电感电流iL(0-)=0。t=0闭合开关，求：闭合开关，求：t 0的的iL(t t)，uL(t(t)，i(t)t)。解：电感电流不能跃变，即解：电感电流不能跃变，即 将连接电感的单口网络用诺顿等效电路代替，得图将连接电感的单口网络用诺顿等效电路代替，得图(c)64 线性动态电路的叠加定理一、RC电路的完全响应：由动态元件的初始储能和外施激励共同引起的响

15、应，称为完全响应。例：已知电路如图(a)所示，uC(0-)=U0，t=0 时开关倒向2端。求：uC(t),t 0。以电容电压以电容电压uC(t)为变量，列出图为变量，列出图(b)电路微分方电路微分方程程其解为其解为 代入初始条件代入初始条件 求得求得 于是得到电容电压表达式于是得到电容电压表达式 ：第一项是对应微分方程的通解第一项是对应微分方程的通解uCh(t)，称为电称为电路的固有响应或自由响应。路的固有响应或自由响应。将随时间增长而按指将随时间增长而按指数规律衰减到零，也称为数规律衰减到零，也称为暂态响应暂态响应。第二项是微分方程的特解第二项是微分方程的特解uCp(t)，其变化规律其变化规

16、律与输入相同，称为强制响应。与输入相同，称为强制响应。当当 t时时uC(t)=uCp(t)也称为也称为稳态响应稳态响应。固有响应：与输入无关，由电路本身决定。固有响应：与输入无关，由电路本身决定。暂态响应：在过渡过程暂态响应：在过渡过程(0-4(0-4 )的响应。的响应。强制响应：与外加激励有关。强制响应：与外加激励有关。稳态响应：在过渡过程完成以后的响应。稳态响应：在过渡过程完成以后的响应。tuC(0+)USUSuC(0+)全响应全响应注意注意 线性动态电路中任一支路电压或电流的线性动态电路中任一支路电压或电流的完全响应等于零输入响应与零状态响应之和。完全响应等于零输入响应与零状态响应之和。

17、零输入响应+零状态响应全响应=二、线性动态电路的叠加定理二、线性动态电路的叠加定理：uC(0+)t234OuCUS三、完全响应的三种分解方式：三、完全响应的三种分解方式：1.1.完全响应完全响应 =零输入响应零输入响应+零状态响应零状态响应 线性动态电路的叠加定理说明：线性动态电路的叠加定理说明：2.2.完全响应完全响应 =暂态响应暂态响应+稳态响应稳态响应3.3.完全响应（完全解）完全响应（完全解）=通解通解 +特解特解1 1）适用于任意线性动态电路）适用于任意线性动态电路2 2）电路中储能元件的等效叠加）电路中储能元件的等效叠加四、线性动态电路叠加定理与线性电阻电四、线性动态电路叠加定理与

18、线性电阻电路叠加定理的关系路叠加定理的关系若把动态元件的初始值也看成一种输入，则线性动态电路叠加定理与线性电阻定理叠加定理是一致的。线性动态电路的叠加定理告诉我们：叠加的方法同样可以用来分析动态电路。例例1 下图所示电路原来处于稳定状态。下图所示电路原来处于稳定状态。t=0时开关时开关断开，求断开，求t 0的电感电流的电感电流iL(t)和电感电压和电感电压uL(t)。iL(0+)=0.25A解法一：在解法一：在t0时的电路中，用诺顿等效电路代替连接电感的含源时的电路中，用诺顿等效电路代替连接电感的含源电阻单口网络，得到图电阻单口网络，得到图(b)所示电路，该电路的微分方程为所示电路，该电路的微

19、分方程为 其全解为其全解为 式中式中 代入上式得到代入上式得到 代入初始条件代入初始条件 其中第一项是瞬态响应，第二项是稳态响应。电路在其中第一项是瞬态响应，第二项是稳态响应。电路在开关断开后，经过开关断开后，经过(45)的时间，即经过的时间，即经过(810)ms 的过的过渡时期，就达到了稳态。渡时期，就达到了稳态。于是于是 可以得到可以得到 解解法法二二：电电感感电电流流iL(t)的的全全响响应应也也可可以以用用分分别别计计算算出出零零输输入入响响应应和和零零状状态态响响应应，然然后后相相加加的的方方法法求求得得。电电感感电电流流iL(t)的零输入响应为的零输入响应为 电感电流电感电流iL(

20、t)的的零状态响应为零状态响应为 iL(t)的的全响应为零输入响应与零状态响应之和全响应为零输入响应与零状态响应之和 电感电压的全响应可以利用电感元件的电感电压的全响应可以利用电感元件的VCR方程求得方程求得 例例2 电路如下图电路如下图(a)所示。所示。已知已知 uC(0-)=4V，uS(t)=(2+e-2t)V，求电容电压求电容电压uC(t)的全响应。的全响应。解：将全响应分解为解：将全响应分解为(零输入响应零输入响应)(2V电压源引起的零状电压源引起的零状 态响应态响应)(e-2t电压源引起的零状态响应电压源引起的零状态响应)。现在分别。现在分别计计 算响应的几个分量然后相加得到全响应。

21、算响应的几个分量然后相加得到全响应。首先列出图首先列出图(a)电路的微分方程和初始条件电路的微分方程和初始条件 1.求电路的零输入响应求电路的零输入响应见图见图(b)电路电路 求得求得 列出齐次微分方程和初始条件列出齐次微分方程和初始条件 2.求求2V电电压压源源引引起起的的零零状状态态响响应应见图见图(c)电路电路 由此求得由此求得 列出微分方程和初始条件列出微分方程和初始条件 3.求求2e-2tV电压源引起的零状态响应电压源引起的零状态响应见图见图(d)电路电路 其解为其解为 图图8-19 列出微分方程和初始条件列出微分方程和初始条件 由此求得由此求得 代入上式代入上式 代入初始条件，代入

22、初始条件，t=0时，时，最后求得零状态响应最后求得零状态响应 由此得到由此得到K=1 设设 ，并将它代入到式，并将它代入到式821所示微分方程中所示微分方程中可以得到可以得到 4.最后求得全响应如下最后求得全响应如下 6 5 三要素法一、问题的提出 当一阶电路的输入为直流电压或电流时，电路的分析有简单的方法三要素法。任何一阶电路可化为图(a)的形式，在简化为(b)的形式。当uoc=U为直流时，其完全解为：其中uc(0)为电容电压的初值，uc(）为电压的终值。因此完全解uc(t)取决于三个要素，即初值uc(0)，终值uc(）和时间常数。当动态元件为电感时，典型一阶电路如(b)，其完全响应如右式。

23、可见电感电流的完全响应也取决于三个要素：初值iL(0)，终值iL()和时间常数。除状态变量的完全解有这样的形式外，其它变量的完全解是否也有这样的形式，即取决于三个要素？二、三要素法：二、三要素法：对于直流激励下的一阶电路，对于直流激励下的一阶电路，各支路的电压各支路的电压或电流或电流的完全响应的完全响应x(t)取决于如下三个要素：取决于如下三个要素：初始值初始值 稳态值稳态值 时间常数时间常数 即：Note here！三、三个要素的求法（所有变量）1.初始值 x(0+)求出电路的状态变量uc(0)和iL(0)；若求非状态变量的初始值：用电压为uc(0)的电压源或电流为iL(0)的电流源置换电路

24、中的电容或电感，得到直流电阻电路，可求得x(0+)。2.求稳态值 x()求出uc()和iL()；若求非状态变量：画 t=时的等效电路，将 t 0 时电路的电容开路，或电感短路，作直流分析，求出x()。3.求时间常数先求输出电阻R0，=R0C先求R0,1)若为含电容电路，则为 R0N0C2)若为含电感电路，则为 R0N0L10V+_uCt=0i2i120300.1F例1：已知 t 0 时电路已处于稳态，求 uC(0+),i1(0+),i2(0+)。2.再求 i1(0+),i2(0+)：10V2030i1(0+)i2(0+)+_uC(0+)=6Vt=0+画t=0+等效电路等效电路解：1.先求 uC

25、(0)：画t=0等效电路等效电路10V2030+_uC(0)t=0-例2 已知 t 00，而不是而不是t t 0 0。电阻电流电阻电流i(t)还可以还可以利用三要素法直接利用三要素法直接求得求得 例例4：图示电路中，开关转换前电路已处于稳态，：图示电路中，开关转换前电路已处于稳态，t=0 时开关时开关S由由1端接至端接至2端，求：端，求：t0时的电感电流时的电感电流 iL(t)，电阻电流电阻电流i2(t)，i3(t)和电感电压和电感电压uL(t)。解：解：1.求求iL(0+)：开关转换前，电感相当于短路开关转换前，电感相当于短路 2.求求iL()：3.求求：4.计算计算iL(t)，uL(t)，

26、i2(t)和和i3(t)。例例5：图图(a)所示电路，在所示电路，在t=0时闭合开关，时闭合开关，求：电容电压求：电容电压 uC(t)和电流和电流i2(t)的零状态响应。的零状态响应。解：开关闭合后解：开关闭合后 用外施电源法求图用外施电源法求图(b)单口网络的输出电阻单口网络的输出电阻Ro 时间常数为时间常数为 代入三要素公式得到代入三要素公式得到 从图从图(a)电路中开关闭合后的电路求得电流电路中开关闭合后的电路求得电流 i2(t)6 6 阶跃函数和阶跃响应一、阶跃函数1.阶跃函数1(t)toAA(t)to(t)=1 t 00 t 00 t t00 t t00 t t0二、阶跃函数的作用：

27、1)代替开关N+_USt=0NUS(t)+_N+_USt=t0NUS(tt0)+_2)分段常量信号可表示为一 系列阶跃信号之和tuC(t)o1三、阶跃响应定义：电路在阶跃信号作用下的零状态响应。例如(t)+_R+_CuC=RCt(t)1o四、阶跃响应的应用对于线性时不变系统（电路），具有以下性质：1）比例性：设系统的输入为x(t)，输出为y(t)，即：x(t)y(t)，则：x(t)y(t)，为常数；2）叠加性：若：x1(t)y1(t)，x2(t)y2(t)，则：x1(t)+x2(t)y1(t)+y2(t)3)时移不变性：x(t-t0)y(t-t0)。tuC(t)oUSUS(t)+_R+_CuC

28、US(t)tUSo比例性的表现R+_ US(t t0)CuC+_US US(t t0)tt0ouC(t)tUSt0o时移不变性的表现对于线性时移不变电路，当其激励为直流或分段直流时，可以表示为：则电路的零状态响应为：其中u(t)为电路的阶跃响应，即：例1：已知电路的激励波形p(t)，求响应uC(t)。RC+_uC+_p(t)V解一：uC(0)=0 0-t0 充电 t t0 放电p(t)ot0tUSouCUStt0解二：tp(t)t0otp(t)t0otp(t)t0oUSUSUS2+_ uS(t)1FuC+_i例2 已知：uS(t)=5(t2)V，uC(0)=10V,t 0 求：uC(t),i(t),t 0解：零输入响应：53.682468uC(V)t(s)o10uC1uC2uC(t)零状态响应：完全响应：小结：1、一阶电路分析的根本方法分解的方法：q 把电路分解为动态元件纯电阻单口网络；q 把纯电阻单口化为最简的形式；q 布列化简后一阶电路的状态变量的微分方程，并解出状态变量；q 利用置换定理求其它变量。本方法对输入输出无要求，是适用于一切一阶电路的经典解法。2、一阶电路分析的三要素法：初始值初始值 稳态值稳态值 时间常数时间常数 即：当电路的激励为直流时才可以用三要素法。电路响应的形式均由三个要素决定：