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1、解三角形知识点梳理知识点梳理1.正弦定理正弦定理正弦定理的变形：正弦定理的变形：2.余弦定理余弦定理余弦定理的变形：余弦定理的变形：3.三角形面积公式三角形面积公式4.三角形中的常见结论三角形中的常见结论(2)在三角形中大边对大角，大角对大在三角形中大边对大角，大角对大边边.(3)任任意意两两边边之之和和大大于于第第三三边边，任任意意两两边边之之差差小于第三边小于第三边(4)有关三角形内角的三角函数式有关三角形内角的三角函数式(6)中，中，A、B、C成等差数列的充要条件成等差数列的充要条件(7)是是B=60(7)为为正正三三角角形形的的充充要要条条件件是是A、B、C成成等等差差数数列，列，a、
2、b、c成等比数列成等比数列.解解三三角角形形正余弦推论的应用正余弦推论的应用三角形解的个数的确定三角形解的个数的确定求三角形中基本量求三角形中基本量判断三角形形状判断三角形形状解三角形的实际应用解三角形的实际应用求角求角求边求边求面积求面积测量距离测量距离测量高度测量高度测量角度测量角度解三角形中的交汇问题解三角形中的交汇问题 一、正余弦定理推论的应用一、正余弦定理推论的应用二、三角形解的个数的确定二、三角形解的个数的确定已知条件已知条件应用应用定理定理一般解法一般解法一边和两角一边和两角(如如a、B、C)正弦正弦由由A+B+C=180求出角求出角A；根据正弦；根据正弦定理求出定理求出b与与c
3、;在有解时只有一解在有解时只有一解两边和夹角两边和夹角(如如a、b、C)余弦余弦正弦正弦由余弦定理求出由余弦定理求出c；由正弦定理求出；由正弦定理求出A、B；在有解时只有一解；在有解时只有一解三边三边 (a、b、c)余弦余弦定理定理由余弦定理分别求出由余弦定理分别求出A、B；由内角；由内角和是和是180求出求出C;有解时只有一解有解时只有一解两边和其中两边和其中一边的对角一边的对角(如如a、b、A)正弦正弦定理定理由正弦定理求出由正弦定理求出B；由内角和为；由内角和为180求出求出C；由正弦定理求出；由正弦定理求出c;可有两可有两解，一解或无解解，一解或无解解斜三角形有下表所示的四种情况：解斜
4、三角形有下表所示的四种情况：在已知在已知a、b、A时判断三角形解的个数有三时判断三角形解的个数有三种方法：种方法：（2）用正弦定理确定另一边的对角）用正弦定理确定另一边的对角（1）几何作图法）几何作图法（3）利利用用余余弦弦定定理理整整理理后后是是以以c为为未未知知数数的的一一元元二二次次方方程程。因因为为c是是三三角角形形的的边边长长，必必有有c0。所所以以，所所给给定定的的三三角角形形的的解解就就取取决决于满足方程的未知数于满足方程的未知数c正实数值得存在情况正实数值得存在情况在三角形中，已知在三角形中，已知a、b和和A时解的情况如下：时解的情况如下：A为锐角为锐角A为钝角或为钝角或直角直
5、角 图图形形 关关系系式式absinAa=bsinAbsinAab 或 a=b abab的情的情况，以后做题时要注意。况，以后做题时要注意。三、求三角形基本量三、求三角形基本量 求三角形基本量包括求三角形的内角、求求三角形基本量包括求三角形的内角、求三角形的边、求三角形的面积这三类。在求基三角形的边、求三角形的面积这三类。在求基本量时运用正余弦定理以及它们的推论利用已本量时运用正余弦定理以及它们的推论利用已知条件进行边角互化后求出未知量。在进行求知条件进行边角互化后求出未知量。在进行求解过程中往往会与三角恒等变换知识结合，同解过程中往往会与三角恒等变换知识结合，同时要注意在解出结果后运用第二部
6、分所讲的三时要注意在解出结果后运用第二部分所讲的三角形解的个数的判定来对结果进行取舍，得到角形解的个数的判定来对结果进行取舍，得到最终结果。最终结果。BCADbch求三角形的角求三角形的角求三角形的边求三角形的边点评：此类问题求解需要主要解的个数的讨论，比点评：此类问题求解需要主要解的个数的讨论，比较上述两种解法，解法二比较简便。较上述两种解法，解法二比较简便。求三角形的面积求三角形的面积OD(0,1)C(1,0)XYM四、判断三角形形状四、判断三角形形状判定三角形形状通常有两种途径：判定三角形形状通常有两种途径：化边为角；化角为边化边为角；化角为边具体有如下四种方法：具体有如下四种方法：通过
7、正弦定理实施边角转换；通过正弦定理实施边角转换；通过余弦定理实施边角转换；通过余弦定理实施边角转换；通过三角变换找出角之间的关系；通过三角变换找出角之间的关系；通过三角函数符号的判断及正余弦函数有界性的通过三角函数符号的判断及正余弦函数有界性的 讨论讨论主要题型主要题型已知边之间的关系已知边之间的关系已知角的三角函数关系已知角的三角函数关系已知边与角的关系已知边与角的关系已知边之间的关系已知边之间的关系总结：解法一是用正弦定理将边关系转化成角总结：解法一是用正弦定理将边关系转化成角的关系，运用三角变换找出角之间的关系；解的关系，运用三角变换找出角之间的关系；解法二用余弦定理直接运用边的关系判断
8、形状；法二用余弦定理直接运用边的关系判断形状；已知角的三角函数的关系已知角的三角函数的关系等腰等腰例例12.根据所给条件，判断根据所给条件，判断 的形状的形状解：解：已知边与角之间的关系已知边与角之间的关系总结：根据已知条件，适当选取适用的定理，进行边总结：根据已知条件，适当选取适用的定理，进行边角互化结合三角变换找出三边之间的关系或者是找出角互化结合三角变换找出三边之间的关系或者是找出内角之间的关系来判断形状。内角之间的关系来判断形状。五、解三角形中的交汇问题 在在知知识识交交汇汇处处命命题题是是高高考考考考查查的的热热点点，体体现现了了多多考考一一点点“想想”，少少考考一一点点“算算”的的
9、理理念念，所所以以挖挖掘掘知知识识内内的的交交汇汇是是学学习习中中的的重重点点。解解三三角角形形与与其其它它知知识识的的交交汇汇体体现现与与向向量量、三三角角函函数数、三三角角变变换换、数数列列、解解析析几几何何、立立体体几几何何等几个方面知识的结合。等几个方面知识的结合。点评：此题结合向量、三角变换的知识同时点评：此题结合向量、三角变换的知识同时运用余弦定理和三角形面积。三角变换和向运用余弦定理和三角形面积。三角变换和向量与解三角形的结合是高考的重点，同时考量与解三角形的结合是高考的重点，同时考察学生多方面的知识。察学生多方面的知识。点评：此题是比较简单的求解直角三角形，点评：此题是比较简单
10、的求解直角三角形，在解析几何中的焦点三角形有时是斜三角形在解析几何中的焦点三角形有时是斜三角形常常用到解三角形的知识。常常用到解三角形的知识。BACD点评：此题运用三角形面积公式推出了角平点评：此题运用三角形面积公式推出了角平分线定理。在立体几何中也经常用到解三角分线定理。在立体几何中也经常用到解三角形，立体几何中一般都是求三角形的基本量，形，立体几何中一般都是求三角形的基本量，这里不再给出例题。这里不再给出例题。六、解三角形在生活中的应用六、解三角形在生活中的应用1.解解三三角角形形在在生生活活中中应应用用非非常常广广泛泛,如如测测量量、航航海海、物物理理 几几何何等等方方面面都都要要用用到
11、到解解三三角角形形的的知知识识.这这些些实实际际问问题题基基本本上上分分成成测测量量长长度度、高高度度、角角度度三三种种类类型型.解解三三角角形形应用题得一般步骤及基本思路应用题得一般步骤及基本思路.(1)一般步骤：一般步骤：分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图；分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图；建建模模：根根据据已已知知条条件件与与求求解解目目标标，把把一一直直亮亮与与求求解解量量尽尽量量集集中中在在有有关关的的三三角角形形总总，建建立立一一个个解解三三角角形形的的数数学模型；学模型；求求解解：利利用用正正弦弦定定理理或或余余弦弦定定理理有有序序地地解解出出三三角角形形，求得
12、数学模型的解；求得数学模型的解；(2)基本思路：基本思路：实际问题实际问题数学模型数学模型数学模型的解数学模型的解实际问题的解实际问题的解抽象概括抽象概括示意图示意图演演算算推推理理还原说明还原说明2.实际问题中的有关术语、名称实际问题中的有关术语、名称 (1)仰角和俯角仰角和俯角 在视线和水平线所成的较重，视线在水平线上方的在视线和水平线所成的较重，视线在水平线上方的角角仰角，在水平线下方的角俯角（如下图）角角仰角，在水平线下方的角俯角（如下图）.铅铅垂垂线线视线视线视线视线水平线水平线仰角仰角俯角俯角 检验：检验上述所求的结果是否具有实际意义从检验：检验上述所求的结果是否具有实际意义从而得
13、出实际问题的解而得出实际问题的解.(2)方位角方位角从正北方向顺时针转到目标方向线的夹角，从正北方向顺时针转到目标方向线的夹角，如如B点的方位角为点的方位角为（如下图（如下图）(3)方向角方向角正正南南方方向向：从从原原点点O出出发发的的经经过过目目标标射射线线与与正正南南的的方方向向线线重重合合，即即目目标标在在正正南南的的方方向向线线上上.依次可类推正北方向、正东方向和正西方向依次可类推正北方向、正东方向和正西方向.西西 东东北北 南南图图东东南南方方向向：指指经经过过目目标标的的涉涉嫌嫌是是正正东东和和正正南南的夹角平分线（如图的夹角平分线（如图）.北北偏偏东东：从从正正北北向向正正东东
14、方方向向旋旋转转角角度度（图图）南南偏偏西西：从从正正南南向向正正西西方方向向旋旋转转角角度度（图图）西西 东东北北 南南图图东南方向东南方向西西 东东北北 南南图图西西 东东北北 南南图图测量长度测量长度例例16：某某观观测测站站C在在城城A的的南南偏偏西西20度度的的方方向向（如如图图），由由城城出出发发的的一一条条公公路路，走走向向是是南南偏偏东东40度度，在在C处处测测得得公公路路上上B处处有有一一人人距距C为为31公公里里，正正沿沿公公路路想想A城城走走去去，走走了了20公公里里后后到到达达D处处，此此时时CD间间的的距距离离为为21公公里里，问问这这个人还要走多少公里才能到达个人还
15、要走多少公里才能到达A城？城？CBAD解：设这个人还要走解：设这个人还要走x公里公里才能到达才能到达A实际问题实际问题数学模型数学模型抽象概括抽象概括测量高度测量高度例例17：地地平平面面上上一一旗旗杆杆OP,为为测测得得它它的的高高度度h,在在地地平平面面上上取取一一基基线线AB，AB=200m，在在A处处测测得得P点点的的仰仰角角为为30度度，在在B处处测测得得P点点的的仰仰角角是是45度度，又又测测得得角角AOB是是60度度，求求旗旗杆杆的的高高h(精确到精确到0.1m).BAPOh解：将实际问题转化成数学模型问解：将实际问题转化成数学模型问题就归结为题就归结为:测量角度测量角度例例18：如如右右图图，当当甲甲船船位位于于A处处时时获获悉悉，在在其其整整栋栋方方向向相相距距20海海里里的的B处处有有一一艘艘渔渔船船遇遇险险等等待待营营救救，甲甲船船立立即即前前往往救救援援，同同时时把把消消息息告告知知在在甲甲船船的的南南偏偏西西30度度，相相距距10海海里里C处处的的乙乙船船，试试问问乙乙船船应应朝朝北北偏偏东东多多少少度度的的方方向向沿沿直直线线前前往往B处救援（角度精确到处救援（角度精确到1度）度）解：先将问题转化为数学模型解：先将问题转化为数学模型ABC