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1、解三角形的应用解三角形的应用基础知识梳理基础知识梳理1有关概念有关概念(1)仰角与俯角：与目标视线在同仰角与俯角：与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角目标视线在水平视线上方时的夹角目标视线在水平视线上方时叫叫 ，目标视线在水平视线下方时，目标视线在水平视线下方时叫叫 仰角仰角俯角俯角如图所示如图所示基础知识梳理基础知识梳理(2)方位角：从正方位角：从正 方向沿顺时方向沿顺时针到目标方向线的水平角叫方位角针到目标方向线的水平角叫方位角(3)坡角：坡面与坡角：坡面与 面的夹角面的夹角叫坡角叫坡角(4)坡比：坡面的铅直高度与水平坡比：坡面的铅直高度与水
2、平长度之长度之 叫做坡比叫做坡比基础知识梳理基础知识梳理比比水平水平北北2解斜三角形在实际中的应用解斜三角形在实际中的应用解斜三角形在实际中的应用非常解斜三角形在实际中的应用非常广泛，如测量、航海、几何、物理等广泛，如测量、航海、几何、物理等方面都要用到解三角形的知识解题方面都要用到解三角形的知识解题的一般步骤是：的一般步骤是：(1)分析题意，准确理解题意分分析题意，准确理解题意分清已知与所求，尤其要理解应用题中清已知与所求，尤其要理解应用题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、方位角等俯角、方位角等(2)根据题意画出示意图根据题意画出示意图基础知识梳理基础知
3、识梳理(3)将需求解的问题归结到一个或将需求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解理、余弦定理等有关知识正确求解演算过程中，要算法简练，计算正确，演算过程中，要算法简练，计算正确，并作答并作答(4)检验解出的答案是否具有实际检验解出的答案是否具有实际意义，对解进行取舍意义，对解进行取舍基础知识梳理基础知识梳理1两座灯塔两座灯塔A和和B与海岸观察站与海岸观察站C的距离相等，灯塔的距离相等，灯塔A在观察站北偏东在观察站北偏东40，灯塔，灯塔B在观察站南偏东在观察站南偏东60，则灯，则灯塔塔A在灯塔在灯塔B的的()A北偏东北
4、偏东10B北偏西北偏西10C南偏东南偏东10 D南偏西南偏西10答案：答案：B三基能力强化三基能力强化2在某次测量中，在在某次测量中，在A处测得处测得同一半平面方向的同一半平面方向的B点的仰角是点的仰角是60，C点的俯角为点的俯角为70，则，则BAC等于等于()A10 B50C120 D130答案：答案：D三基能力强化三基能力强化3如图所示，为了测量如图所示，为了测量某障碍物两侧某障碍物两侧A、B间的距离，间的距离，给定下列四组数据，不能确定给定下列四组数据，不能确定A、B间距离的是间距离的是()A，a，b B，aCa，b，D，b答案：答案：A三基能力强化三基能力强化4我舰在敌岛我舰在敌岛A南
5、偏西南偏西50相距相距12海里的海里的B处，发现敌处，发现敌舰正由岛舰正由岛A沿北偏西沿北偏西10的方向的方向以以10海里海里/小时的速度航行，我小时的速度航行，我舰要用舰要用2小时追上敌舰，则需要小时追上敌舰，则需要的最小速度为的最小速度为_答案：答案：14海里海里/小时小时三基能力强化三基能力强化5如图，为了测量如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定河的宽度，在一岸边选定两点两点A，B望对岸的标记望对岸的标记物物C，测得，测得CAB30，CBA75，AB120 m，这条河的宽度为，这条河的宽度为_答案：答案：60 m三基能力强化三基能力强化有关距离测量问题，主要是测量从有关距离测量问题，主要
6、是测量从一个可到达的点到一个不能到达的点之一个可到达的点到一个不能到达的点之间的距离问题，如海上、空中两点测量，间的距离问题，如海上、空中两点测量，隔着某一障碍物两点测量等由于该问隔着某一障碍物两点测量等由于该问题不能采取实地测量，解决它的方法是题不能采取实地测量，解决它的方法是建立数学模型，即构造三角形，转化为建立数学模型，即构造三角形，转化为解三角形问题通常是根据题意，解三角形问题通常是根据题意，典例分析典例分析考点一考点一测量距离测量距离从实际问题中抽象出一个或几个三角从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得到所形，然后通过解这些三角形，得到所求的量，从而得到实际问题
7、的解解求的量，从而得到实际问题的解解题时应认真审题，结合图形去选择定题时应认真审题，结合图形去选择定理，使解题过程简捷理，使解题过程简捷典例分析典例分析例例例例1 1(2009年高考辽年高考辽宁卷宁卷)如图，如图，A、B、C、D都在同一个与都在同一个与水平面垂直的平面水平面垂直的平面内，内，B、D为两岛上为两岛上的两座灯塔的塔顶的两座灯塔的塔顶测量船于水测量船于水典例分析典例分析典例分析典例分析典例分析典例分析【规律小结规律小结】求距离问题一般求距离问题一般要注意：要注意：(1)基线的选取要准确恰当基线的选取要准确恰当(在测量在测量上，我们根据测量需要适当确定的线上，我们根据测量需要适当确定的
8、线段叫做基线，如例段叫做基线，如例1中的中的CD)(2)选定或创建的三角形要确定选定或创建的三角形要确定(3)利用正弦定理还是余弦定理要利用正弦定理还是余弦定理要确定确定典例分析典例分析测量高度问题一般是利用地面上测量高度问题一般是利用地面上的观测点，通过测量仰角、俯角等数的观测点，通过测量仰角、俯角等数据计算物体的高度；这类问题一般用据计算物体的高度；这类问题一般用到立体几何知识，先把立体几何问题到立体几何知识，先把立体几何问题转化为平面几何问题，再通过解三角转化为平面几何问题，再通过解三角形加以解决形加以解决典例分析典例分析考点二考点二测量高度测量高度典例分析典例分析例例例例2 2某人在山
9、顶某人在山顶P处观察地面上相处观察地面上相距距2500 m的两个目标的两个目标A、B，测得目，测得目标标A在南偏西在南偏西57，俯角为，俯角为30，同时，同时测得目标测得目标B在南偏东在南偏东78，俯角是，俯角是45，求山高，求山高(设设A、B与山底在同一平与山底在同一平面上，计算结果精确到面上，计算结果精确到0.1 m)典例分析典例分析【思路点拨思路点拨】结合题意结合题意画出图形画出图形用山高用山高h表示表示底面三角形未底面三角形未知边长度知边长度在底面三角形在底面三角形中借助余弦定中借助余弦定理列方程理列方程解方程解方程求出高求出高h【解解】画出示意图画出示意图典例分析典例分析典例分析典例
10、分析典例分析典例分析【规律小结规律小结】(1)依据题意画图依据题意画图是解决三角形应用题的关键本例中，是解决三角形应用题的关键本例中，既有方位角既有方位角(它是在水平面上所成的角它是在水平面上所成的角)，又有俯角，又有俯角(它是铅垂面上所成的角它是铅垂面上所成的角)，因而本例的图形是一个立体图形，因而本例的图形是一个立体图形，因此在画图时，可画立体图形和平面因此在画图时，可画立体图形和平面图形两个图，以对比分析求解；图形两个图，以对比分析求解；典例分析典例分析(2)由本例可知，方位角是相对于由本例可知，方位角是相对于在某地而言的，因此在确定方位角时，在某地而言的，因此在确定方位角时，必须先弄清
11、是哪一点的方位角从这必须先弄清是哪一点的方位角从这个意义上来说，方位角是一个动态角，个意义上来说，方位角是一个动态角，在理解题意时，应把它看活，否则在在理解题意时，应把它看活，否则在理解题意时将可能产生偏差理解题意时将可能产生偏差典例分析典例分析测量角度问题也就是通过解三角测量角度问题也就是通过解三角形求角问题，求角问题可以转化为求形求角问题，求角问题可以转化为求该角的函数值；如果是用余弦定理求该角的函数值；如果是用余弦定理求得该角的余弦，该角容易确定，如果得该角的余弦，该角容易确定，如果用正弦定理求得该角的正弦，就需要用正弦定理求得该角的正弦，就需要讨论解的情况了讨论解的情况了典例分析典例分
12、析考点三考点三测量角度测量角度典例分析典例分析例例例例3 3速度追截走私船此时，走私船正以速度追截走私船此时，走私船正以10 n mile/h的速度从的速度从B处向北偏东处向北偏东30方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？快追上走私船？典例分析典例分析【思路点拨思路点拨】本例考查正弦、本例考查正弦、余弦定理的建模应用如图所示，注余弦定理的建模应用如图所示，注意到最快追上走私船且两船所用时间意到最快追上走私船且两船所用时间相等，若在相等，若在D处相遇，则可先在处相遇，则可先在ABC中求出中求出BC，再在，再在BCD中求中求BCD.典例分析典例分析典例分析典
13、例分析典例分析典例分析【名师点评名师点评】首先应明确方位首先应明确方位角的含义，在解应用题时，分析题意，角的含义，在解应用题时，分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一出示意图，这是最关键、最重要的一步，通过这一步可将实际问题转化成步，通过这一步可将实际问题转化成可用数学方法解决的问题，解题时也可用数学方法解决的问题，解题时也要注意体会正、余弦定理要注意体会正、余弦定理“联袂联袂”使使用的优点用的优点典例分析典例分析1利用正、余弦定理可以实现三利用正、余弦定理可以实现三角形中的边角关系的转化，即角形中的边角关系的转化，即a2Rs
14、inA，b2RsinB，c2RsinC.2要熟记三角形的面积公式要熟记三角形的面积公式典例分析典例分析考点四考点四解三角形的综合问题解三角形的综合问题典例分析典例分析例例例例4 4典例分析典例分析典例分析典例分析典例分析典例分析【误区警示误区警示】(1)不能正确表示不能正确表示b，c.(2)忽略了忽略了x的取值范围的取值范围(3)不能利不能利用三角函数的单调性用三角函数的单调性典例分析典例分析(本题满分本题满分12分分)已知向量已知向量a(sin，cos)，b(6sincos，7sin2cos)，设函数，设函数f()ab.(1)求函数求函数f()的最大值；的最大值；典例分析典例分析高考检阅高考
15、检阅典例分析典例分析典例分析典例分析典例分析典例分析1解三角形的一般步骤解三角形的一般步骤(1)分析题意，准确理解题意分析题意，准确理解题意分清已知与所求，尤其要理解应分清已知与所求，尤其要理解应用题中的有关名词、术语，如坡度、用题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、方位角等仰角、俯角、方位角等(2)根据题意画出示意图根据题意画出示意图规律方法总结规律方法总结(3)将需求解的问题归结到一个或将需求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解理、余弦定理等有关知识正确求解演算过程中，要算法简练，计算正确，演算过程中，要算法
16、简练，计算正确，并作答并作答(4)检验解出的答案是否具有实际检验解出的答案是否具有实际意义，对解进行取舍意义，对解进行取舍规律方法总结规律方法总结2解斜三角形实际应用举例解斜三角形实际应用举例(1)常见的几种题型常见的几种题型测量距离问题、测量高度问题、测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等问题、物理问题等(2)解题时需注意的几个问题解题时需注意的几个问题要注意仰角、俯角、方位角等要注意仰角、俯角、方位角等名词，并能准确地找出这些角；名词，并能准确地找出这些角；要注意将平面几何中的性质、要注意将平面几何中的性质、定理与正、余弦定理结合起来，发现定理与正、余弦定理结合起来，发现题目中的隐含条件，才能顺利解决题目中的隐含条件，才能顺利解决规律方法总结规律方法总结