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1、3解三角形的实际应用举例解三角形的实际应用举例例1 自动卸货汽车采用液压机构.设计时需要计算油泵顶杆BC的长度（如图所示）.已知车箱最大仰角为60(指车厢AC与水平线夹角),油泵顶点B与车箱支点A之间的距离为1.95m,AB与水平线之间的夹角为620，AC长为1.40m,计算BC的长度(结果精确到0.01m).0600260.,0266,40. 1,95. 10求第三边的长夹角的两边已知AACABABCm95. 1m40. 1分析解：由余弦定理，得BC2=3.571 BC1.89(m) 答：顶杆BC约长1.89mAB2+AC2-2ABACcosA0266cos40. 195. 1240. 19
2、5. 10220600260m95. 1m40. 1例2.如图，两点C，D与烟囱底部在同一水平直线上,在点C1，D1利用高1.5m的测角仪器, 测得烟囱的仰角分别是 450和 600, 间的距离是12m.求烟囱的高AB (结果精确到0.01m). DCBA A1C1D1B1AA1C1DDC45601.5m12mBA1求m12.1145601.5m12m解 在BC1D1中, BD1C1=180O -60O=120O, C1BD1=60O -45O=15O,由正弦定理,得1111111sinsinC DBCC BDBDC1111111sin12sin120sinsin15C DBDCBCC BD(
3、18 26)( )m从而11218319.732( )2ABBCm因此1119.732 1.521.23( )ABABAAm例3：如图是曲柄连杆机构的示意图,当曲柄CB绕点C旋转时,通过连杆AB的传递,活塞作直线往复运动.当曲柄在CB0位置时,曲柄和连杆成一条直线,连杆的端点A在A处.设连杆AB长为l mm,曲柄CB长为r mm,lr.(1)当曲柄自CB0按顺时针方向旋转角为时,其中0O360O,求活塞移动的距离(即连杆的端点A移动的距离A0A);(2)当l =340mm, r =85mm,=80O时,求A0A的长(结果精确到1mm). 分析分析 如图,不难得到,活塞移动的距离为: A0A=A
4、0C-AC,易知A0C=AB+BC=l+ r,所以,只要求出AC的长即可.在ABC中,已知两边和其中一边的对角,可以通过正弦定理或余弦定理求出AC的长.A0AB0CB80O解解.(1)设AC=x,若=0O,则A0A =2rmm;若0O180O,在ABC中，由余弦定理,得2222cosABACBCACBCC即2222( cos )()0 xrxlr解得2221cos( cos )xrrlr222( cossin)()rlrmm2222cos( cos )0(,)xrrlr不合题意 舍去00A AA CACABBCAC222(cossin)()lrrlrmm 若180O360O,则根据对称性,将上
5、式中的改成360O-即可,也有2220(cossin)()A Alrrlrmm (2)当l =340mm, r =85mm,=80O时,22203408585cos8034085 sin 80A A81()mm例4 如图,a是海面上一条南北方向的海防警戒线,在a上点A处有一个水声监测点,另两个监测点B,C分别在A的正东方20km处和54km处.某时刻,监测点B收到发自静止目标P的一个声波,8s后监测点A,20s后监测点C相继收到这一信号.在当时气象条件下,声波在水中的传播速度是1.5km/h.(1)设A到P的距离为xkm,用x表示B,C到P的距离,并求x的值;(2)求静止目标P到海防警戒线a的
6、距离(结果精确到0.01km). 4 2dm,17dm,45 .ABADBAC分析分析 (1)PA,PB,PC长度之间的关系可以通过收到信号的先后时间建立起来.(2)作PDa,垂足为D,要求PD的长,只需要求出PA的长和cosAPD,即cosPAB的值.由题意,PA-PB,PC-PB都是定值,因此,只需分别在PAB和PAC中,求出cosPAB, cosPAC的表达式,建立方程即可.ABCDPa解解.(1)依题意,PA-PB=1.58=12(km), PC-PB=1.520=30(km). 因此PB=(x-12)km, PC=(18+x)km.在PAB中, AB=20km,222cos2PAAB
7、PBPABPA AB22220(12)220 xxx3325xx同理72cos3xPACx由于coscosPABPAC即3327253xxxx解得132()7xkm(2)作PDa,垂足为D,在RtPDA中,coscosPDPAAPDPAPAB3325xxx132332717.71()5km1.我军有A、B两个小岛相距10海里，敌军在C岛，从A岛望C岛和B岛成60的视角，从B岛望C岛和A岛成75的视角，为提高炮弹命中率，须计算B岛和C岛间的距离，请你算算看。A AC CB B1010海里海里60607575:60 ,75 ,45:10sin60sin4510sin605 6()sin45ABCB
8、CBC解由正弦定理得海里2. 由船A测得它的南30东的海面上有一灯塔，船以每小时30海里的速度向正东南方向航行半小时后，于B处看到这灯塔正在船的正西方向，问这时船和灯塔相距多少海里？分析画出示意图如下：已知：AB、CAB、ACB，求BC？解：如图，CAB453015ACB18060120，AB30sin 30=15sinsinABCABBCACB15 sin15sin12062sin154 5 6( 31)4.48()2BC海里(1)解决实际应用问题的关键思想方法是把实际问题转化为数学问题，即数学建模思想。(2)解决实际应用问题的步骤实际问题数学问题（画出图形）解三角形问题数学结论分析转化检验作业作业P69 1,21,2