5-两自由度系统的振动.ppt

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1、第5章 两个自由度系统的振动1第第5章章 两个自由度两个自由度系统的振动系统的振动第5章 两个自由度系统的振动2 单单自自由由度度系系统统振振动动问问题题，在在我我们们所所讨讨论论的的范范围围内内是是线线性性定定常常方方程程。而而多多自自由由度度系系统统则则是是二二阶阶多多元元联联立立微微分分方方程程组组，各各广广义义坐坐标标间间存存在在相互相互“耦合耦合”现象。现象。所所谓谓耦耦合合，就就是是变变量量之之间间互互相相联联系系。由由于于这这种种耦耦合合，使使微微分分方方程程的的求求解解变变得得非非常常困困难难。因因此此，分分析析多多自自由由度度系系统统振振动动问问题题的的重重要要内内容容之之一

2、一就就是是如如何何将将方方程程“解解耦耦”，然然后后按按单单自自由由度的分析方法求解。度的分析方法求解。两自由度是多自由度系统最简单的情况。两自由度是多自由度系统最简单的情况。第5章 两个自由度系统的振动3 建建立立运运动动微微分分方方程程的的方方法法和和单单自自由由度系统基本一样度系统基本一样,但难度更大。但难度更大。5.2.1 运动微分方程（运动微分方程（P104-106）5.2 两自由度系统的振动方程两自由度系统的振动方程刚度矩阵和质量矩阵刚度矩阵和质量矩阵5.2 振动振动方程方程 标标准准的的m-k-c系系统统，对对每每一一质质量量利利用用牛顿定律得：牛顿定律得：第5章 两个自由度系统

3、的振动4坐标原点仍取在静平衡位置坐标原点仍取在静平衡位置写成矩阵形式写成矩阵形式5.2 振动振动方程方程第5章 两个自由度系统的振动5式中：式中：5.2 振动振动方程方程第5章 两个自由度系统的振动6 M称称为为系系统统的的质质量量矩矩阵阵，K称称为为刚刚度度矩矩阵阵，C称称为为阻阻尼尼矩矩阵阵，x为为系系统统的的位位移移列列阵阵，F(t)为外激励列阵。为外激励列阵。对对于于其其它它形形式式的的两两自自由由度度振振动动系系统统同同样样可可得得到相应的质量矩阵、刚度矩阵和阻尼矩阵。到相应的质量矩阵、刚度矩阵和阻尼矩阵。由由于于矩矩阵阵M、K、C的的非非对对角角线线元元素素不不为为0，所所以以振振

4、动动微微分分方方程程是是互互相相耦耦合合的的非非独独立立方程。方程。5.2 振动振动方程方程第5章 两个自由度系统的振动75.2.2 刚度影响系数与刚度矩阵刚度影响系数与刚度矩阵 刚刚度度矩矩阵阵K中中的的元元素素称称为为刚刚度度影影响响系系数数，其其kij的的力力学学意意义义是是：仅仅在在j坐坐标标处处产产生生单单位位广广义义位位移移，系系统统平平衡衡时时需需在在i坐坐标处施加的广义力。标处施加的广义力。具具体体求求解解时时，只只假假设设j坐坐标标处处的的位位移移为为1，其它各坐标的位移均为，其它各坐标的位移均为0。刚刚度度影影响响系系数数反反映映了了系系统统弹弹性性元元件件的的影响特性。影

5、响特性。5.2 振动振动方程方程第5章 两个自由度系统的振动85.2.3 惯性影响系数与质量矩阵惯性影响系数与质量矩阵 质质量量矩矩阵阵M中中的的元元素素称称为为惯惯性性（质质量量）影影响响系系数数，其其mij的的力力学学意意义义是是：仅仅在在j坐坐标标处处产产生生单单位位广广义义加加速速度度，需需在在i坐标处施加的广义力。坐标处施加的广义力。具具体体求求解解时时，只只假假设设j坐坐标标处处的的加加速速度为度为1，其它各坐标的加速度均为，其它各坐标的加速度均为0。惯惯性性影影响响系系数数反反映映了了系系统统质质量量元元件件的的影响特性。影响特性。5.2 振动振动方程方程第5章 两个自由度系统的

6、振动9 根根据据刚刚度度影影响响系系数数和和质质量量影影响响系系数数，可以写出下列关系：，可以写出下列关系：写成矩阵形式写成矩阵形式5.2 振动振动方程方程第5章 两个自由度系统的振动10 柔柔度度影影响响系系数数Rij的的力力学学意意义义是是:在在j坐坐标标处处作作用用单单位位广广义义力力,引引起起i坐坐标标处处的的广广义义位位移移。由由柔柔度度影响系数就可以形成系统的柔度矩阵影响系数就可以形成系统的柔度矩阵 R。由由材材料料力力学学的的位位移移互互等等定定理理可可知知RijRji，即柔度矩阵是对称的。即柔度矩阵是对称的。柔柔度度影影响响系系数数反反映映了了系系统统弹弹性性元元件件的的影影响

7、响特特性。性。5.3 位移位移方程方程5.3 两自由度系统的位移方程两自由度系统的位移方程柔度矩阵柔度矩阵5.3.2 柔度影响系数与柔度矩阵柔度影响系数与柔度矩阵(P114-117)第5章 两个自由度系统的振动11 对对标标准准m-k-c振振动动系系统统，质质量量m1和和m2上的总位移为上的总位移为这就是这就是以柔度矩阵表示以柔度矩阵表示的位移形式的位移形式的振动的振动方程。方程。5.3 位移位移方程方程5.3.1 位移方程位移方程(P113-114)第5章 两个自由度系统的振动12 因为因为R为正定矩阵，于是为正定矩阵，于是位移位移方程又可写为方程又可写为与力形式的方程比较知与力形式的方程比

8、较知 K=R1，R=K1 即对于正定系统即对于正定系统R和和K互为逆矩阵。互为逆矩阵。5.3 位移位移方程方程第5章 两个自由度系统的振动13 例例：用用影影响响系系数数法法求求标标准准m-k-c系系统统的的刚刚度度矩矩阵阵，质质量量矩阵和柔度矩阵。矩阵和柔度矩阵。5.2 振动振动方程方程第5章 两个自由度系统的振动14 【例例5-3-1】求求系系统统的的振振动动微微分分方方程程。已已知知梁梁的抗弯刚度为的抗弯刚度为EI。解解：用用影影响响系系数数法法。由材料力学挠度公式由材料力学挠度公式 5.3 位移位移方程方程第5章 两个自由度系统的振动15则则 而而 则方程为则方程为 5.3 位移位移方

9、程方程第5章 两个自由度系统的振动16若写为力方程形式若写为力方程形式 则方程为则方程为 下面用影响系数法直接求下面用影响系数法直接求K:5.3 位移位移方程方程第5章 两个自由度系统的振动17 设设x1=1,x2=0，则则由由材料力学公式有：材料力学公式有：同理有同理有 求求出出各各个个刚刚度度系系数数即组成刚度矩阵即组成刚度矩阵K。作业：作业：5-2，65.3 位移位移方程方程第5章 两个自由度系统的振动18 对对于于非非标标准准的的m-k-c多多自自由由度度振振动动系系统统，用用传传统统的的动动力力学学方方法法建建立立运运动动微微分分方方程程比比较较困困难难，更更适适合合使使用用拉拉格格

10、郎郎日日方方程程。拉拉格格郎日方程为：郎日方程为：用拉格朗日方程用拉格朗日方程建立振动系统的运动微分方程建立振动系统的运动微分方程拉格朗日方程拉格朗日方程第5章 两个自由度系统的振动19 其其中中：T为为系系统统的的动动能能，V为为势势能能，Qi为为与与广广义义位位移移xi对对应应的的非非有有势势力力的的广广义义力力，d drk为与非有势广义力为与非有势广义力Fk对应的广义虚位移。对应的广义虚位移。实实际际计计算算广广义义力力Qi时时，通通常常假假设设与与xi对对应应的的广广义义虚虚位位移移d dri不不等等于于零零，其其它它虚虚位位移移都都等于零。等于零。（i1，2）拉格朗日方程拉格朗日方程

11、第5章 两个自由度系统的振动20 【例例】用用拉拉格格郎郎日日方方程程推推导导两两自自由由度度m-k-c系系统微振动微分方程统微振动微分方程。解解：取取静静平平衡衡位位置置为为坐坐标原点和零势能位置。标原点和零势能位置。拉格朗日方程拉格朗日方程第5章 两个自由度系统的振动21静平衡位置：静平衡位置：则：则：拉格朗日方程拉格朗日方程第5章 两个自由度系统的振动22拉格朗日方程拉格朗日方程第5章 两个自由度系统的振动23计算广义力，设计算广义力，设m1产生虚位移产生虚位移d dx1，而，而d dx20，则，则 同样设同样设m2产生虚位移产生虚位移d dx2，而，而d dx10，则，则 拉格朗日方程

12、拉格朗日方程第5章 两个自由度系统的振动24代入拉格朗日方程代入拉格朗日方程 得得整理写成矩阵形式即可。整理写成矩阵形式即可。拉格朗日方程拉格朗日方程第5章 两个自由度系统的振动25 【T5-30】用用拉拉格格郎郎日日方方程程建立建立系统微振动微分方程系统微振动微分方程。解解：取取静静平平衡衡位位置置为为坐坐标原点和零势能位置标原点和零势能位置 x1x2D D1D D2而而 则则 拉格朗日方程拉格朗日方程第5章 两个自由度系统的振动26所以所以 拉格朗日方程拉格朗日方程第5章 两个自由度系统的振动27计算广义力，设只有计算广义力，设只有x1处处产生虚位移产生虚位移d dx1，则则 同样设同样设

13、x2处处产生虚位移产生虚位移d dx2，则，则 代入拉格朗日方程即可。代入拉格朗日方程即可。用牛顿定律更简单一些。用牛顿定律更简单一些。作业：作业：T5-29拉格朗日方程拉格朗日方程x1x2第5章 两个自由度系统的振动28 只给出公式，不作严格推导。只给出公式，不作严格推导。1.质量矩阵的形成质量矩阵的形成 系统的动能可以表示为系统的动能可以表示为能量法能量法用能量法确定振动系统的用能量法确定振动系统的M、K、C第5章 两个自由度系统的振动29记记则则 M即为所求的质量矩阵，显然为对称阵。即为所求的质量矩阵，显然为对称阵。2.刚度矩阵的形成刚度矩阵的形成 势能可写为势能可写为 K即为所求的刚度

14、矩阵，也是对称阵。即为所求的刚度矩阵，也是对称阵。能量法能量法第5章 两个自由度系统的振动303.阻尼矩阵的形成阻尼矩阵的形成 线性阻尼（黏滞阻尼）的耗能函数可写为线性阻尼（黏滞阻尼）的耗能函数可写为C即为所求的阻尼矩阵，也是对称阵。即为所求的阻尼矩阵，也是对称阵。能量法能量法第5章 两个自由度系统的振动31【例例5-2-3】求求M和和K。解解：取取静静平平衡衡位位置置为为坐坐标原点和零势能位置标原点和零势能位置 ll则则 能量法能量法第5章 两个自由度系统的振动32将余弦函数用级数展开，表示为将余弦函数用级数展开，表示为则则 所以所以 作业：作业：5-4 能量法能量法第5章 两个自由度系统的

15、振动33无阻尼自由振动系统的运动方程为无阻尼自由振动系统的运动方程为5.4.15.4.3 固固有有频频率率与与固固有振型有振型(P117-120)5.4 两个自由度系统的两个自由度系统的自由振动自由振动5.4 两个自由度系统的自由振动两个自由度系统的自由振动假设方程解的形式为假设方程解的形式为第5章 两个自由度系统的振动34 这这里里：X1、X2为为振振动动幅幅值值，w w为为固固有有频频率率，a a 为初相位。为初相位。代入振动方程可得：代入振动方程可得：这这是是广广义义的的特特征征值值问问题题，K-w w2M称称为为特特征征矩矩阵阵。要要使使上上式式有有解解，必必须须使使其其系系数数行行列

16、列式式为为零。零。若若M为对角阵，为对角阵，K为对称阵，则有为对称阵，则有5.4 两个自由度系统的自由振动两个自由度系统的自由振动第5章 两个自由度系统的振动35 上上式式称称为为频频率率方方程程或或特特征征方方程程。由由此此可可求求出出w w2的两个正实根。且规定的两个正实根。且规定w w1=w w2。将将这这两两个个根根代代入入广广义义特特征征值值问问题题(Kw w2M)X=0可得到相应的振幅比值可得到相应的振幅比值 式式中中X(i)表表示示对对应应于于第第i个个固固有有频频率率的的振振幅幅(i=1,2)。由由数数学学概概念念知知道道，只只能能求求出出振振幅幅的的比值，而不能确定各振幅大小

17、。比值，而不能确定各振幅大小。5.4 两个自由度系统的自由振动两个自由度系统的自由振动第5章 两个自由度系统的振动36 和和单单自自由由度度一一样样，由由于于固固有有频频率率和和振振幅幅比比ui只只决决定定于于系系统统本本身身的的物物理理特特性性，而而与与外外部部激激励励和和初初始始条条件件无无关关，这这表表明明它它们们都都是是系系统统的的固固有有属属性性。因因此此把把w wi称称为为系系统统的的固固有有频频率率或或主主频频率率，ui称为系统的称为系统的固有振型固有振型或或主振型主振型。将振幅写成矩阵形式将振幅写成矩阵形式5.4 两个自由度系统的自由振动两个自由度系统的自由振动 称称为为振振型

18、型向向量量或或模模态态向向量量，组组成成的的矩矩阵阵称为称为振型矩阵振型矩阵。第5章 两个自由度系统的振动37 由由解解的的形形式式可可看看出出，系系统统两两质质量量按按相相同同的的固固有有频频率率和和相相位位角角作作简简谐谐运运动动，这这种种运运动动称称为为固有振动固有振动或或主振动主振动。每每一一个个主主振振动动称称为为一一个个模模态态，w wi和和对对应应的的ui组成第组成第i 阶阶模态参数模态参数。系系统统在在主主振振动动中中，各各质质点点同同时时达达到到平平衡衡位位置置或或最最大大位位移移，而而在在整整个个振振动动过过程程中中，各各质质点点位位移移的的比比值值将将始始终终保保持持不不

19、变变，也也就就是是说说，在在主主振振动动中中，系系统统振振动动的的形形式式保保持持不不变变。这这就是就是振型的物理意义振型的物理意义。5.4 两个自由度系统的自由振动两个自由度系统的自由振动第5章 两个自由度系统的振动38【T5-21】求求系统的频率方程。系统的频率方程。解解：用用能能量量法法。取取静静平平衡衡位位置置为坐标原点和零势能位置为坐标原点和零势能位置 则则 5.4 两个自由度系统的自由振动两个自由度系统的自由振动第5章 两个自由度系统的振动39将余弦函数表示为将余弦函数表示为则则 所以所以 5.4 两个自由度系统的自由振动两个自由度系统的自由振动第5章 两个自由度系统的振动40频率

20、方程为频率方程为即即 展开得展开得 5.4 两个自由度系统的自由振动两个自由度系统的自由振动第5章 两个自由度系统的振动41【T5-26】求求系统的系统的固有固有频率。频率。解：用牛顿定律解：用牛顿定律 而而 x1x2dd1dd2dd3解得解得 则方程为则方程为 5.4 两个自由度系统的自由振动两个自由度系统的自由振动第5章 两个自由度系统的振动42频率方程为频率方程为解得解得5.4 两个自由度系统的自由振动两个自由度系统的自由振动作业：作业：T5-13，24第5章 两个自由度系统的振动43 式式中中的的X1可可以以取取任任意意值值。显显然然两两个个主主振振动动的叠加也是方程的解，即的叠加也是

21、方程的解，即5.4.4 系统对初始激励的响应系统对初始激励的响应(P121-128)由前面的分析可得到系统的两组特解由前面的分析可得到系统的两组特解为为5.4 两个自由度系统的自由振动两个自由度系统的自由振动第5章 两个自由度系统的振动44 式式中中的的各各个个X、a a和和C均均为为任任意意常常数数，由由初初始条件确定。始条件确定。或写或写为为下面的形式下面的形式5.4 两个自由度系统的自由振动两个自由度系统的自由振动第5章 两个自由度系统的振动45将初始条件代入将初始条件代入可可得得设初始条件为设初始条件为t0时时5.4 两个自由度系统的自由振动两个自由度系统的自由振动第5章 两个自由度系

22、统的振动46 综综上上所所述述，系系统统对对初初始始激激励励的的响响应应求求解解步骤为：步骤为：（1）建建立立运运动动微微分分方方程程，求求出出质质量量矩矩阵阵M和刚度矩阵和刚度矩阵K;（2）确定固有频率）确定固有频率w wi 和振幅比和振幅比ui;（3）利用初始条件求响应。）利用初始条件求响应。5.4 两个自由度系统的自由振动两个自由度系统的自由振动第5章 两个自由度系统的振动47 【T5-35】质质量量为为m2的的物物块块从从高高h处处自自由由落落下下，然然后后与与弹弹簧簧质质量量系系统统一一起起做做自自由由振振动动，已已知知m1m2m，k1k2k，h100 mg/k，求系统的振动响应。，

23、求系统的振动响应。解解:（1）用牛顿定律建立方程用牛顿定律建立方程5.4 两个自由度系统的自由振动两个自由度系统的自由振动第5章 两个自由度系统的振动48（2）频率方程为）频率方程为解得解得（3）求振型。利用）求振型。利用则则同理同理5.4 两个自由度系统的自由振动两个自由度系统的自由振动第5章 两个自由度系统的振动49（4）求响应）求响应初始条件初始条件代入得代入得5.4 两个自由度系统的自由振动两个自由度系统的自由振动第5章 两个自由度系统的振动50解得解得响应为响应为作业：作业：T5-285.4 两个自由度系统的自由振动两个自由度系统的自由振动第5章 两个自由度系统的振动51 在在二二阶

24、阶振振动动微微分分方方程程中中，如如果果质质量量矩矩阵阵M和和刚刚度度矩矩阵阵K的的非非对对角角线线元元素素不不为为零零，则则在在两两个个方方程程中中都都同同时时包包含含坐坐标标x1和和x2和和它它们的导数项，这种情形称为们的导数项，这种情形称为坐标耦合坐标耦合。把把M为为对对角角阵阵，K不不是是对对角角阵阵的的情情形形称称为为静静力力耦耦合合或或弹弹性性耦耦合合(刚刚性性耦耦合合)，把把K为为对对角角阵阵，M不不是是对对角角阵阵的的情情形形称称为为动动力力耦耦合合或或惯惯性耦合性耦合。5.5 广义坐标与坐标耦合广义坐标与坐标耦合5.5 广义坐标与坐标耦合广义坐标与坐标耦合第5章 两个自由度系

25、统的振动52 方方程程是是否否耦耦合合与与广广义义坐坐标标的的选选取取有有关关。前前面分析的标准面分析的标准m-k-c系统就是静力耦合。系统就是静力耦合。举举例例：分分析析下下面面的的振振动动系系统统，设设杆杆的的质质量量为为m，绕质心的转动惯量为，绕质心的转动惯量为JC。5.5 广义坐标与坐标耦合广义坐标与坐标耦合第5章 两个自由度系统的振动53 若若取取质质心心位位移移x和和转转角角q q为为广广义义坐坐标标，则则自自由由振振动动方方程程是是静力耦合的。静力耦合的。5.5 广义坐标与坐标耦合广义坐标与坐标耦合第5章 两个自由度系统的振动54 若若坐坐标标x不不取取在在质质心心,而而是是选选

26、在在满满足足k1a1k2b2的的O点点位位置置，e为为O点点距距质质心的心的距离则距离则这时运动方程是动力耦合的这时运动方程是动力耦合的。5.5 广义坐标与坐标耦合广义坐标与坐标耦合CO Oea1b1)(11qaxk-第5章 两个自由度系统的振动55 同同样样，若若将将坐坐标标x取在最左端取在最左端A，则则方程既是静力耦合又是动力耦合。方程既是静力耦合又是动力耦合。5.5 广义坐标与坐标耦合广义坐标与坐标耦合第5章 两个自由度系统的振动56 从从前前面面的的分分析析可可知知，只只要要广广义义坐坐标标形形式式选选择择合合适适，就就可可以以得得到到没没有有坐坐标标耦耦合合的的运运动动微微分分方方程

27、程，这这时时的的广广义义坐坐标标称称为为主坐标主坐标。5.6 主坐标主坐标5.6 主坐标主坐标 主主坐坐标标下下的的质质量量矩矩阵阵和和刚刚度度矩矩阵阵除除主主对对角角线线元元素素外外,其其余余元元素素均均为为零零,各各个个运动方程的坐标之间不存在耦合。运动方程的坐标之间不存在耦合。第5章 两个自由度系统的振动57其中其中u是前面得到的振型矩阵是前面得到的振型矩阵令令 将将x代代入入原原振振动动方方程程，化化简简后后就就可可得得到到解耦的运动方程（下章证明）解耦的运动方程（下章证明）5.6 主坐标主坐标第5章 两个自由度系统的振动58 显显然然上上述述解解耦耦的的方方程程的的解解可可以以用用单

28、单自自由度振动的方法独立求得由度振动的方法独立求得 将将其其代代入入x=uP即即可可得得到到用用原原始始坐标坐标x表示的一般解。表示的一般解。主主坐坐标标的的概概念念在在强强迫迫振振动动中中具具有有重重要意义。要意义。5.6 主坐标主坐标第5章 两个自由度系统的振动59 利利用用主主坐坐标标解解耦耦的的方方法法（坐坐标标变变换换方方法）求解系统响应的基本步骤为：法）求解系统响应的基本步骤为：（1）求求出出原原振振动动方方程程的的固固有有频频率率和和振振幅幅比，得到振型矩阵比，得到振型矩阵u;（2）求出主坐标下的响应）求出主坐标下的响应:（3）利利用用式式x=uP得得出出原原广广义义坐坐标标下的

29、响应下的响应;（4）利用初始条件确定常系数。）利用初始条件确定常系数。5.6 主坐标主坐标第5章 两个自由度系统的振动60 【例例】标标准准m-k-c系系统统中中，设设m1m,m22m,k1k2k,k32k,c=0,求求系系统统的的固固有有频频率率和和固固有有振振型型。利利用用坐坐标标变变换换方方法法求求系系统统对对初初始始激激励的响应。设初始条件为励的响应。设初始条件为5.6 主坐标主坐标第5章 两个自由度系统的振动61 解解:（1）求固有频率、振幅比和振型矩阵）求固有频率、振幅比和振型矩阵u5.6 主坐标主坐标第5章 两个自由度系统的振动62（3）利用式）利用式x=uP得出得出（2）主坐标

30、下的响应）主坐标下的响应（4）确定常系数。将初始条件代入得）确定常系数。将初始条件代入得5.6 主坐标主坐标第5章 两个自由度系统的振动63联立解得联立解得所以所以作业：作业：T5-9，155.6 主坐标主坐标第5章 两个自由度系统的振动64两自由度两自由度振动微分方程振动微分方程为为复数解法复数解法5.7 两自由度系统的强迫振动两自由度系统的强迫振动5.7 两自由度系统的强迫振动两自由度系统的强迫振动设设干扰力干扰力为谐和函数，并表示为为谐和函数，并表示为复数复数形式形式令方程的解为令方程的解为第5章 两个自由度系统的振动65其中其中X1和和X2为复振幅。将为复振幅。将上上式代入式代入方程方

31、程得得其中其中(i,j=1,2)5.7 两自由度系统的强迫振动两自由度系统的强迫振动若为无阻尼系统，则若为无阻尼系统，则第5章 两个自由度系统的振动66振幅振幅为为 若若干干扰扰力力为为正正弦弦函函数数或或余余弦弦函函数数，则则前前面面分析中相关的分析中相关的eiw w t 变为变为sinw w t 或或cosw w t 即可。即可。5.7 两自由度系统的强迫振动两自由度系统的强迫振动即即第5章 两个自由度系统的振动67 和和单单自自由由度度的的概概念念类类似似，可可以以绘绘出出频频率率比比与与振振幅幅之之间间随随阻阻尼尼比比的的变变化化曲曲线线幅幅频频响响应曲线应曲线频率响应曲线频率响应曲线

32、 共振现象共振现象5.7 两自由度系统的强迫振动两自由度系统的强迫振动第5章 两个自由度系统的振动68 由此由此可看出可看出:（1）当当激激励励频频率率与与系系统统的的固固有有频频率率接接近近时时，系系统统出出现现共共振振现现象象，即即无无阻阻尼尼振振幅幅将将达达到到无无穷穷大大，所所不不同同的的是是，两两自自由由度度系系统统有有两两个共振峰；个共振峰；（2）阻阻尼尼的的存存在在使使共共振振振振幅幅减减小小，在在相相同同的的阻阻尼尼下下，频频率率高高的的共共振振峰峰降降低低的的程程度度比比频频率率低低的的大大。因因此此实实际际结结构构的的动动力力响响应应只只需要考虑最低几阶需要考虑最低几阶模态

33、模态的的影响影响。5.7 两自由度系统的强迫振动两自由度系统的强迫振动第5章 两个自由度系统的振动69 【例例】在在两两自自由由度度标标准准m-k系系统统中中，设设m1m2m，k1k2k3k，在在第第一一个个质质量量上上作作用用有有干干扰力扰力F1(t)=F0cosw wt，求系统的响应。，求系统的响应。解解：设解为设解为代入振动方程得代入振动方程得5.7 两自由度系统的强迫振动两自由度系统的强迫振动第5章 两个自由度系统的振动70即即解得解得因此系统的响应为因此系统的响应为5.7 两自由度系统的强迫振动两自由度系统的强迫振动第5章 两个自由度系统的振动71 【T5-45】图图示示系系统统，已

34、已知知xsa sinw wt,W144100 N，W2441000 N，k11.683107 N/m，k23.136108 N/m。当当w w为为基基频频的的0.707倍倍时时，车车体体W2的振幅为的振幅为a的多少倍？的多少倍？解解:振动方程为振动方程为即即5.7 两自由度系统的强迫振动两自由度系统的强迫振动第5章 两个自由度系统的振动72 代入数据，求得固有频率为代入数据，求得固有频率为 w w118.04，w w2282.97 机车振动频率为机车振动频率为 w w0.707 w w1 0.707 18.04 12.76利用利用前面的方法求前面的方法求得振幅为得振幅为作业：作业：T5-395

35、.7 两自由度系统的强迫振动两自由度系统的强迫振动第5章 两个自由度系统的振动73 当当机机器器转转速速在在共共振振区区域域附附近近时时会会引引起起剧剧烈烈的的振振动动，由由单单自自由由度度系系统统振振动动理理论论知知道道，可可以以通通过过调调整整质质量量或或弹弹簧簧刚刚度度或或增增加加阻阻尼尼来使振动情况得到缓解。来使振动情况得到缓解。动动力力吸吸振振器器的的原原理理是是在在原原系系统统上上附附加加一一个个新新的的m-k或或m-c系系统统，使使其其变变成成两两自自由由度度的的振振动动系系统统，利利用用前前面面研研究究的的理理论论，使使原原振动系统的振幅振动系统的振幅趋于趋于零。零。动力吸振器

36、动力吸振器5.7 两自由度系统的强迫振动两自由度系统的强迫振动第5章 两个自由度系统的振动74 m1-k1为为原原来来的的基基本本振振动动系系统统，m2-k2为为附附加加的的吸吸振振系系统统，这这两两个个系系统统组组成成了了两两自自由由度度振振动动系系统统。运运动微分方程为动微分方程为无阻尼动力吸振器无阻尼动力吸振器 5.7 两自由度系统的强迫振动两自由度系统的强迫振动第5章 两个自由度系统的振动75利用利用前面的方法求前面的方法求得振幅为得振幅为引入记号引入记号基本系统的固有频率基本系统的固有频率;5.7 两自由度系统的强迫振动两自由度系统的强迫振动第5章 两个自由度系统的振动76吸振吸振系

37、统的固有频率系统的固有频率;基本系统的静位移基本系统的静位移;吸振质量与基本质量之比吸振质量与基本质量之比.一一般般动动力力吸吸振振器器设设计计成成w wnw wa，引引入入频频率比率比r，则振幅则振幅可写为可写为5.7 两自由度系统的强迫振动两自由度系统的强迫振动第5章 两个自由度系统的振动77 由此可看出：由此可看出：（1）r1即即激激振振频频率率w w等等于于吸吸振振系系统统固固有有频频率率w wa时，时，X10，即达到最佳吸振效果；，即达到最佳吸振效果；（2）吸吸振振器器设设计计时时一一般般只只要要求求w waw wn，因因此此吸振系统的参数有广泛的选择余地。吸振系统的参数有广泛的选择

38、余地。通通常常，实实际际的的设设计计选选择择是是要要求求适适当当限限制制吸吸振振系系统统运运动动的的振振幅幅X2。由由X2/xst的的式式子子可可知知，质质量量比比m m越越大大，在在r1时时X2越越小小，因因此此我我们们取取m m 值不能太小。值不能太小。5.7 两自由度系统的强迫振动两自由度系统的强迫振动第5章 两个自由度系统的振动78 【T5-44】机机器器质质量量m190 kg，减减振振器器质质量量m22.25 kg，机机器器上上偏偏心心块块质质量量为为m0.5 kg，偏心距偏心距e1 cm，机器转速，机器转速n1800 r/min。求。求5.7 两自由度系统的强迫振动两自由度系统的强

39、迫振动（1）减减振振器器刚刚度度k2多多大大才能使机器振幅为才能使机器振幅为0;（2）此此时时减减振振器器的的振振幅为多大幅为多大;（3）若若使使减减振振器器的的振振幅幅不不超超过过2 mm,应应如如何何改变减振器的参数。改变减振器的参数。第5章 两个自由度系统的振动79解解:振动方程为振动方程为其中其中5.7 两自由度系统的强迫振动两自由度系统的强迫振动（1）利用利用前面求前面求得得的的振幅振幅公式公式第5章 两个自由度系统的振动80 代入数据代入数据,令令X10求得求得:k279943.8 N/m代入公式求代入公式求得得减震器减震器振幅为振幅为5.7 两自由度系统的强迫振动两自由度系统的强迫振动（3）设减震器）设减震器振幅振幅X2=0.002，同时设，同时设w w1w w2 求得求得k2（2）设）设 求得求得:k13215517.1 N/m