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1、第四章第四章 两个自由度系统的振动两个自由度系统的振动 41 引言引言 43 两个自由度系统的自由振动两个自由度系统的自由振动 42 拉格朗日方程拉格朗日方程 41 引言引言 第二章介绍了单自由度系统的振动。这是研究第二章介绍了单自由度系统的振动。这是研究机械振动的基础，也可以处理一些简单的振动问题。机械振动的基础，也可以处理一些简单的振动问题。但是，工程中大量出现的还是多自由度系统乃至无但是，工程中大量出现的还是多自由度系统乃至无限自由度系统的振动问题。而两个自由度系统的振限自由度系统的振动问题。而两个自由度系统的振动则是多自由度系统中最简单的。动则是多自由度系统中最简单的。两个自由度系统，
2、顾名思义，就是说：系统的两个自由度系统，顾名思义，就是说：系统的运动状态需要而且可以由两个独立坐标来描述的，运动状态需要而且可以由两个独立坐标来描述的，称之为称之为两个自由度系统两个自由度系统。两个自由度系统虽然比单自由度系统只多一个两个自由度系统虽然比单自由度系统只多一个自由度，两者之间却有着质的区别。后者的系统固自由度，两者之间却有着质的区别。后者的系统固有特性只有固有频率；而前者除了固有频率外还有有特性只有固有频率；而前者除了固有频率外还有固有振型，这正是多自由度系统的共有特征。固有振型，这正是多自由度系统的共有特征。42 拉格朗日方程拉格朗日方程 在处理一些简单的动力学问题时，可以用牛
3、顿在处理一些简单的动力学问题时，可以用牛顿第二定律来建立运动微分方程并求解（用动静法把第二定律来建立运动微分方程并求解（用动静法把惯性力当作外力与其它力组成平衡力系的方法也属惯性力当作外力与其它力组成平衡力系的方法也属此例），这叫做矢量力学或牛顿力学。其优点是简此例），这叫做矢量力学或牛顿力学。其优点是简单、直观。但是，对于一些较复杂的动力学问题，单、直观。但是，对于一些较复杂的动力学问题，用牛顿力学方法就很困难，甚至不可能，因此人们用牛顿力学方法就很困难，甚至不可能，因此人们从能量的观点去建立运动微分方程再求解之，这叫从能量的观点去建立运动微分方程再求解之，这叫做分析力学，我们这里研究的是动
4、力学问题，故又做分析力学，我们这里研究的是动力学问题，故又称分析动力学。在分析动力学中有一个很著名的、称分析动力学。在分析动力学中有一个很著名的、经常用到的方程叫做拉格朗日方程，我们先讲它的经常用到的方程叫做拉格朗日方程，我们先讲它的基本思想，然后介绍其推导过程。基本思想，然后介绍其推导过程。三、保守系统的拉格朗日方程三、保守系统的拉格朗日方程 保保守守力力如如果果一一个个力力所所作作的的功功只只与与运运动动物物体体（力力作作用用点点）的的始始末末位位置置有有关关，而而与与运运动动物物体体所所经经过过的路径无关，这样的力称为保守力，又称为有势的力。的路径无关，这样的力称为保守力，又称为有势的力
5、。注注：还还有有其其他他说说法法：在在闭闭合合路路径径上上有有势势力力作作功功为为零，其元功是某一函数的全微分，这些叫法都等价零，其元功是某一函数的全微分，这些叫法都等价 保保守守力力有有重重力力、万万有有引引力力、弹弹性性力力等等。但但摩摩擦擦力力及我们这里经常讲的阻尼力都不是保守力。及我们这里经常讲的阻尼力都不是保守力。保保守守系系统统只只有有保保守守力力做做功功的的系系统统称称为为保保守守系系统统。保保守守系系统统的的特特征征是是遵遵循循机机械械能能守守恒恒定定律律（即即T+U=C）。）。非非保保守守系系统统当当然然也也应应遵遵守守能能量量守守恒恒定定律律（这这是是普普遍遍性性定定律律）
6、，但但其其机机械械能能不不守守恒恒，而而是是有有一一部部分分由由于于摩擦或阻尼转换成了热能。摩擦或阻尼转换成了热能。（i1，2，n）此即保守系统的拉格朗日方程。此即保守系统的拉格朗日方程。上上式式中中qi为为第第i个个广广义义坐坐标标；为为相相应应于于第第i个个广广义义坐坐标标上上物物体体运运动动速速度度，称称为为广广义义速速度度。T是是系系统统的的动动能能；U是是系系统统的的势势能能；Qi为为相相应应于于第第i个个广广义义坐坐标标上上外外力力；D是能量散逸函数。是能量散逸函数。对于自由振动，没有对于自由振动，没有Qi项。项。对于保守系统，没有对于保守系统，没有 项。项。我我们们还还会会发发现
7、现，在在有有些些情情况况下下，动动能能T只只与与广广义义速速度有关，而与广义坐标（位移）无关，因此，这时度有关，而与广义坐标（位移）无关，因此，这时 一项也不出现了。一项也不出现了。我我们们前前边边说说过过，阻阻尼尼力力属属于于非非保保守守力力。如如果果系系统统中中存存在在阻阻尼尼，那那么么，该该系系统统是是非非保保守守系系统统，即即系系统统的的机机械械能能不不是是常常数数，而而存存在在着着某某种种类类型型的的能能量量散散逸。逸。于是得到一组微分方程：于是得到一组微分方程：此即此即非保守系数的拉格朗日方程非保守系数的拉格朗日方程 四、非保守系统的拉格朗日方程四、非保守系统的拉格朗日方程 43
8、二自由度系统的自由振动二自由度系统的自由振动 一、运动微分方程一、运动微分方程 由于是无阻尼系统的由于是无阻尼系统的自由振动，故拉氏方程为：自由振动，故拉氏方程为：图示图示AB为刚性杆，质量为刚性杆，质量M，两端悬挂弹簧其刚两端悬挂弹簧其刚度为度为k。这是两个自由度的系统，取悬挂点这是两个自由度的系统，取悬挂点A，B铅铅垂方向位移垂方向位移y1，y2作为描述运动状态的坐标，向下作为描述运动状态的坐标，向下为正，以静平衡位置为正，以静平衡位置o o为圆点。为圆点。注：平动指质心平动；转动指绕质心转动注：平动指质心平动；转动指绕质心转动注：势能以静平衡位置为注：势能以静平衡位置为o点点 注：转角注
9、：转角 拉拉氏氏方方程程中中广广义义坐坐标标qi在在这里即为这里即为y1，y2。由拉氏方程有：由拉氏方程有：（1 1）同理对同理对y y2 2有：有：（2 2）这这就就是是该该二二自自由由度度系系统统作作自自由由振振动动的的微微分分方方程组。我们看到：程组。我们看到：1 1、二二自自由由度度系系统统运运动动微微分分方方程程不不是是一一个个，而而是两个。即方程数目与自由度一致。是两个。即方程数目与自由度一致。2 2、第第一一个个方方程程基基本本是是对对y1坐坐标标的的，但但却却引引进进了了 项项，第第二二个个方方程程基基本本是是对对坐坐标标y2的的，却却引引进进了了 项项。我我们们把把这这样样的
10、的牵牵引引项项称称为为“耦耦合合项项”。本本例例中中，这这种种耦耦合合项项体体现现了了某某种种惯惯性性力力的的作作用用，我我们们就就说说所所取取坐坐标标y1与与y2之之间间存存在在着着“惯惯性性耦耦合合”。（动耦合）（。（动耦合）（couplingcoupling）二、固有频率和固有振型，主振动二、固有频率和固有振型，主振动 在在研研究究单单自自由由度度系系统统自自由由振振动动时时我我们们说说过过，自自由由振振动动对对机机械械结结构构的的危危害害不不大大，研研究究单单自自由由度度系系统统自由振动的主要目的是求固有频率。自由振动的主要目的是求固有频率。对对于于二二自自由由度度乃乃至至多多自自由由
11、度度系系统统来来说说，研研究究自自由振动的主要目的是求固有频率和固有振型。由振动的主要目的是求固有频率和固有振型。求求解解微微分分方方程程组组（1）、（2），这这是是二二阶阶常常系系数线性常微分方程组，设它的解具有下述形式：数线性常微分方程组，设它的解具有下述形式：即即假假设设系系统统偏偏离离平平衡衡位位置置作作自自由由振振动动时时，存存在在着着y1与与y2按按同同一一频频率率，同同一一相相位位角角作作简简谐谐振振动的特解。动的特解。注注：一一般般地地，两两自自由由度度系系统统自自由由振振动动由由两两个个不不同同频频率率的的简简谐谐振振动动合合成成，仍仍是是周周期期性性运运动动，但不再是简谐振
12、动但不再是简谐振动 代代入入方方程程组组（1 1）、（2 2），消消去去公公因因子子，得得到一组关于到一组关于A和和B的各次线性代数方程组：的各次线性代数方程组：（3 3）（4 4）若若AB0（不不振振动动），则则无无意意义义。该该齐齐次次方方程程组组使使A，B有有非非零零解解的的必必要要条条件件是是由由A，B的的系系数数构成的行列式等于零。即：构成的行列式等于零。即：或或 以以上上两两式式都都可可以以称称为为系系统统的的“特特征征方方程程”或或“频率方程频率方程”。注：它是注：它是2的二次代数方程的二次代数方程 解出解出（特征根或特征值）（特征根或特征值）去去掉掉无无意意义义的的负负根根，得
13、得系系统统的的两两个个固固有有频频率率，从从小小到到大大排排列列，分分别别称称为为第第一一阶阶（基基阶阶）和和第第二二阶固有频率：阶固有频率：把把1 1代代回回方方程程（3 3）（或或（4 4）得得到到振振幅幅A A（1 1）与与B B（1 1）之间的确定的比值，称为振幅比之间的确定的比值，称为振幅比1 1：同样，由同样，由2代回代回方程（方程（3）得到：）得到：这这两两式式说说明明，虽虽然然振振幅幅的的绝绝对对大大小小目目前前还还不不知知道道（要要由由初初始始条条件件确确定定），但但当当系系统统按按某某一一固固有有频频率率振振动动时时，振振幅幅比比却却和和固固有有频频率率一一样样只只取取决决
14、于系统本身的物理特性。于系统本身的物理特性。再把再把1代入原设解中，有：代入原设解中，有：（5）显然，显然，同样，把同样，把2代入原设解中，有：代入原设解中，有：（6）并且并且 这这就就是是说说，当当系系统统以以某某一一固固有有频频率率振振动动时时，系系统统的的两两个个坐坐标标y y1 1及及y y2 2在在任任一一瞬瞬时时位位移移比比值值也也是是确确定定的的，并并且且等等于于振振幅幅比比。我我们们知知道道，对对于于两两个个自自由由度度系系统统来来说说，两两个个坐坐标标y y1 1，y y2 2完完全全确确定定了了系系统统的的运运动动状状态态。既既然然，在在两两个个坐坐标标处处的的位位移移比比
15、 等等于于振振幅幅比比，那那么么系系统统中中各各点点位位移移的的相相对对比比值值都都可可由由振振幅幅比比确确定定，或或者者说说，振振幅幅比比决决定定了了整整个个系系统统的的振振动动状状态态，称称之之为为主主振振型型，因因为为它它是是系系统统的的固固有有特特征征，与与初初始始条条件件无关，故又称无关，故又称为为固有振型。固有振型。我我们们看看到到，二二自自由由度度系系统统有有两两个个固固有有频频率率1 1和和2 2，每一个固有频率都对应着一个固有振型。每一个固有频率都对应着一个固有振型。系系统统以以某某一一阶阶固固有有频频率率按按其其相相应应的的固固有有振振型型作作振振动动，称称为为系系统统的的
16、主主振振动动。上上面面（5 5）是是该该系系统统的的第第一一主主振振动动，（6 6）是是第第二二主主振振动动。可可以以看看到到，主主振振动动是是简简谐谐振振动动，当当系系统统作作振振动动时时，系系统统各各点点同同时时经经过过静静平平衡衡位位置置和和同同时时达达到到最最大大偏偏离离位位置置。总总之之，主主振振动动是是系系统统各各点点以以同同频频率率，同同相相位位，振振幅比保持固定比值的简谐振动。幅比保持固定比值的简谐振动。本本例例中中，系系统统第第一一振振动是平动，其固有振型是：动是平动，其固有振型是：第第二二主主振振动动是是绕绕刚刚杆杆中中心的转动，其固有振型是：心的转动，其固有振型是：在在什
17、什么么情情况况下下系系统统会会发发生生主主振振动动呢呢？本本例例中中，若若给给系系统统一一个个平平移移的的初初位位移移，系系统统就就会会以以频频率率1 1，振振型型1 1作作第第一一主主振振动动；若若给给系系统统一一个个绕绕刚刚杆杆中中心心转转动动的的初初位位移移，系系统统则则以以频频率率2 2，振振型型2 2作作第第二主振型。二主振型。但但是是必必须须指指出出，并并非非任任何何情情况况下下系系统统都都作作主主转转动动。我我们们得得到到的的主主振振动动（5 5）和和（6 6）只只是是微微分分方方程程组组（1 1）、（2 2）的的特特解解；由由于于系系统统是是线线性性的的，该方程组的通解应是这两
18、组特解的线性组合：该方程组的通解应是这两组特解的线性组合：由于由于，因此可写成，因此可写成 其其中中1 1，2 2，1 1，2 2已已知知，另另有有四四个个常常数数B B(1)(1),B,B(2)(2),1 1,2 2待定，由初始条件，即待定，由初始条件，即t t0 0时的时的 及及 的值来决定。的值来决定。由由此此看看来来，两两个个自自由由度度系系统统的的自自由由振振动动是是两两个个不不同同频频率率的的简简谐谐振振动动的的合合成成。在在一一般般情情况况下下，它它仍仍是是周周期期运运动动，但但不不再再是是简简谐谐振振动动。只只有有在在上上述述特特殊殊情况下，才会发生主振动情况下，才会发生主振动
19、简谐振动简谐振动。三、主坐标三、主坐标 一一个个二二自自由由度度系系统统的的振振动动可可以以任任选选一一组组（2个个）独独立立坐坐标标来来描描述述，并并不不影影响响固固有有特特性性（，）的的计计算算结结果果。但但坐坐标标的的不不同同选选取取，会会对对运运动动方方程的形式带来各种变化。程的形式带来各种变化。还还以以前前面面讨讨论论的的二二自自由由度度为为例例，现现在在选选取取刚刚性性杆杆ABAB上上任任一一点点E E（距距质质心心o o为为e e）的的垂垂直直位位移移h h和和刚刚杆杆绕绕该该点点的的转转角角为为一一组组坐坐标标。h h向向下下为为正正，逆时针为正。逆时针为正。现有用拉氏方程来建
20、立系统的振动微分方程：现有用拉氏方程来建立系统的振动微分方程：注：质心注：质心o的位移：的位移：hetgh+e 代入拉氏方程代入拉氏方程 ，得：，得：那那么么，能能不不能能选选取取一一组组坐坐标标，使使得得建建立立的的微微分分方方程程既既没没有有惯惯性性耦耦合合项项，又又没没有有弹弹性性耦耦合合项项呢呢？回答是能够的。？回答是能够的。如如果果把把E点点取取在在质质心心o上上，即即e=0，也也就就是是说说，取取刚刚性性杆杆质质心心的的垂垂直直位位移移h0和和绕绕质质心心o的的转转角角0 0（和（和一样）为一组广义坐标，那么微分方程变为：一样）为一组广义坐标，那么微分方程变为：这这就就是是该该系系
21、统统对对于于h和和这这组组坐坐标标的的运运动动微微分分方方程程。我我们们观观察察这这组组方方程程，如如果果说说前前一一个个方方程程主主要要是是对对h坐坐标标的的话话，却却包包含含了了 （惯惯性性牵牵连连即即动动耦耦合合项项）和和2ke（弹弹性性牵牵连连即即静静耦耦合合项项）；后后一一方方程程也也如如此此，它它包包含含了了牵牵连连项项 和和2keh。和和前前面面用用y1，y2那那组组坐坐标标建建立立的的运运动动微微分分方方程程比比较较发发现现，除除了惯性耦合项外，又增添了弹性耦合项。了惯性耦合项外，又增添了弹性耦合项。这这一一组组微微分分方方程程，前前一一个个对对h0，后后一一个个对对0 0，互
22、互相相没没有有牵牵连连（没没有有耦耦合合项项），可可以以看看成成两两个个单自由度的方程。为求解带来方便。单自由度的方程。为求解带来方便。从前一方程很容易得到：从前一方程很容易得到：（平动）（平动）（7 7）（转动）（转动）（8 8）从第二个方程得：从第二个方程得：这这就是两个固有就是两个固有频频率，与前率，与前面面计计算算结结果相同。果相同。相应的固有振型用新坐标表示：相应的固有振型用新坐标表示：第一固有振型：第一固有振型：h01（平动）平动）这这就就是是，h0和和0两两个个坐坐标标分分别别和和两两个个固固有有振振型相符合，称之为主坐标。型相符合，称之为主坐标。第二固有振型：第二固有振型：01
23、 1（转动）转动）结结 论论 两两个个自自由由度度系系统统，当当按按两两个个固固有有振振型型选选取取广广义义坐坐标标时时，得得到到的的微微分分方方程程中中没没有有耦耦合合项项，而而成成为为两两个个单单自自由由度度系系统统的的运运动动方方程程。于于是是把把按按固固有有振振型型所所取取的的坐坐标标称称为为主主坐坐标标。但但是是，只只有有知知道道了了系系统统的的固固有有振振型，才能确定主坐标。型，才能确定主坐标。例例题题4.14.1如如图图所所示示，已已知知m,km,k试试求求固固有有频频率率和固有振型。和固有振型。解：解：振动的微分方程为振动的微分方程为图图 4-14-1设设代入微分方程中，得到代入微分方程中，得到 A A、B B不全为零时，由线形代数的知识得出不全为零时，由线形代数的知识得出 得出得出 当当 时时，A=BA=B 得出得出 当当 时时，A=A=B B 得出得出 习习题题4-34-3图图示示的的均均质质刚刚性性杆杆质质量量为为m m1 1，长长为为L.L.物物块质量为块质量为m m2 2，杆水平时为静平衡位置，求稳态响应。，杆水平时为静平衡位置，求稳态响应。解解：选择广义坐标：选择广义坐标 ，建立振动微分方程，建立振动微分方程 图图 4-34-3设设代入方程代入方程稳态响应为稳态响应为