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1、第二部分 两自由度系统的振动,基本知识点,2 两自由度简谐激励系统强迫振动,1 两自由度系统自由运动,第二部分 两自由度系统的振动,1 两自由度系统自由运动,写成矩阵形式,考虑只有静力耦合的情况,第二部分 两自由度系统的振动,1 两自由度系统自由运动,固有频率及振型求解,(4.1-11),（1）固有频率求解,(2)称为特征行列式，它是2的二次多项式。,展开得,第二部分 两自由度系统的振动,1 两自由度系统自由运动,式中1和2唯一地决定于振动系统的质量和弹簧刚度，称为系统的固有频率。1为第一阶固有频率，简称为基频；2为第二阶固有频率。,（2）阵型求解,用 和 表示对应于1的值，用 和 表示对应于
2、2的值。1 , ，2 , 。,将 代入方程特征方程组,特征方程组,第二部分 两自由度系统的振动,1 两自由度系统自由运动,将 代入特征方程组,成对的常数 和 与另一对常数 和 可以确定当系统分别以频率1和2进行同步简谐运动时呈现的形状，称为系统的固有振型(或主振型)。,可以表示为下列矩阵形式,第二部分 两自由度系统的振动,1 两自由度系统自由运动,式中 和 称为振型向量或模态向量。 为第一阶固有振型， 为第二阶固有振型。,响应求解,在一般情况下，振动系统的响应将通过两个固有振型的叠加求得，即,式中常数C1和C2以及相角1和2由初始条件确定。,第二部分 两自由度系统的振动,1 两自由度系统自由运
3、动,在一般情况下，两自由度系统的自由振动是两种不同频率的固有振动的叠加，其结果通常不再是简谐振动。,在特殊的情况下，系统的自由振动会按某一个固有频率作固有振动，其结果是简谐振动。,初始条件的响应，由,第二部分 两自由度系统的振动,1 两自由度系统自由运动,解得,第二部分 两自由度系统的振动,1 两自由度系统自由运动,例题1：在下图所示的振动系统中，设m1=m，m2=2m，k1=k2=k，k3=2k，试求系统的固有频率和固有振型，并画出振型图。,解：振动的微分方程为,(a),设,(b),第二部分 两自由度系统的振动,1 两自由度系统自由运动,代入振动微分方程组，得,(c),代入m1=m, m2=
4、2m, k1=k2=k, k3=2k，得,上式具有非零解的条件为X1和X2的系数行列式等于零，即,(d),(e),得特征方程,第二部分 两自由度系统的振动,1 两自由度系统自由运动,(f),固有频率为,(g),将 代入式(d) ，有,(h),得,(i),第二部分 两自由度系统的振动,1 两自由度系统自由运动,将 代入式(d) ，有,(j),得,(k),故根据(4.1-15)得到的系统的固有振型为,图 4.1-2,第二部分 两自由度系统的振动,1 两自由度系统自由运动,例题2：已知二自由度无阻尼自由振动系统的运动微分方 程： 求该系统固有频率、主振型， 并画主振型图。,解：由已知得特征方程,第二
5、部分 两自由度系统的振动,1 两自由度系统自由运动,解特征方程得，,求振型，,第二部分 两自由度系统的振动,1 两自由度系统自由运动,第二部分 两自由度系统的振动,2 两自由度简谐激励系统强迫振动,考虑F1(t)和F2(t)为简谐激励，即,响应求解,稳态响应的表达式,代入微分方程,第二部分 两自由度系统的振动,2 两自由度简谐激励系统强迫振动,引入记号：,方程可以改写为,于是有,式中,第二部分 两自由度系统的振动,2 两自由度简谐激励系统强迫振动,第二部分 两自由度系统的振动,2 两自由度简谐激励系统强迫振动,如下图所示，梁上有一固定转速的马达，运转时由于偏心而产生受迫振动，激振力 。马达的质量为m1、梁的质量忽略不计，梁的刚度为k1。通过附加弹簧质量（m2,k2)系统可进行动力消振，试推导消振系统应满足的条件。,第二部分 两自由度系统的振动,2 两自由度简谐激励系统强迫振动,解：系统的力学模型见右图,相应的微分方程为,稳态响应的表达式为,解得,第二部分 两自由度系统的振动,2 两自由度简谐激励系统强迫振动,减振的效果是为了使主振系统的振幅,所以有,即 消振系统的固有频率等于外激励的频率,