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1、数学建模一、模型的概念和种类一、模型的概念和种类我们常见的模型玩具、照片.-实物模型地图、电路图.-符号模型风洞中的飞机.-物理模型模型是为了一定的目的，对客观事物的一部分进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物。模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征。二、数学模型二、数学模型 用数学语言对实物或实际问题所作的抽象表达，被称之为数学模型。数学模型。1、数学语言及其功能1）简明性：2）可运算性：3）广泛性：2.数学模型能以较小的篇幅容纳更多的研究对象的信息。能用需要的数学方法作运算或推理处理。同一种数学表达能表现很多类现象或现象的内部关系。三、数学建模三、数学建模1、数学建模含义2.数学建模的
2、重心实际问题数学模型模型求解实际问题 数学建模是指从实际问题出发经数学方法的处理再回到实际问题的若干次循环。这是一个双向翻译过程。数学建模的重心是“建”，建好了模型才能为数学处理打好基础。实际问题的专业知识；广博的数学理论；熟练使用数学计算软件并具有一定的计算机编程能力。3.数学建模工作者的知识结构问题1：杀羊方案 现有26只羊，要求7天杀完且每天必须杀奇数只，问各天分别杀几只？四、数学建模的简单实例四、数学建模的简单实例天杀分析：1).这是一个有限问题，解决此类问题的一类方法是枚举，你可以试试。则所提问题变为在自然数集上求解方程于是，我们有了该问题的数学语言表达数学模型求解：建模：用反证法容
3、易证明本问题的解不存在。2).依题意，设第只，问题问题2 2：哥尼斯堡七桥问题：哥尼斯堡七桥问题问题分析模型评价模型应用模型求解建立模型符号设定模型假设YN模型检验数学建模流程图解五、数学建模过程五、数学建模过程练习题：考察想象力、洞察力和判断力练习题：考察想象力、洞察力和判断力1.某甲早8时从山下旅店出发沿一条路径上山，下午5时到达山顶并留宿；次日早8时沿同一条路径下山，下午5时回到旅店。某乙说，甲必在两天中的同一时刻经过路径中的同一地点。为什么？AB甲甲2.37支球队进行冠军争夺赛，每轮比赛中出场的每两支球队中的胜者及轮空者进入下一轮，直至比赛结束。问共需进行多少场比赛？一般思维：逆向思维
4、：每场比赛淘汰一名失败球队，只有一名冠军，即就是淘汰了36名球队，因此比赛进行了36场。3.某人家住T市在他乡工作，每天下班后乘火车于6:00抵达T市车站，他的妻子驾车准时到车站接他回家。一日他提前下班搭早一班火车于5:30抵达T市车站，随即步行回家，他的妻子像往常一样驾车前来，在半路上遇到他接回家时，发现比往常提前了10分钟。问他步行了多长时间？车站家5：30相遇早10钟5分钟5分钟6：005：55共走了25分钟。4.某人由A处到B处去，途中需到河边取些水，如下图。问走那条路最近？（用尽可能简单的办法求解。）dAB河 初等模型初等模型1 汽车刹车距离汽车刹车距离2 划艇比赛的成绩划艇比赛的成
5、绩3 钓鱼比赛钓鱼比赛4 席位分配席位分配 汽车刹车距离汽车刹车距离美国的某些司机培训课程中的驾驶规则：美国的某些司机培训课程中的驾驶规则：背背景景与与问问题题 正常驾驶条件下正常驾驶条件下,车速每增车速每增10英里英里/小时，小时，后面与前车的距离应增一个车身的长度。后面与前车的距离应增一个车身的长度。实现这个规则的简便办法是实现这个规则的简便办法是“2秒准则秒准则”：后车司机从前车经过某一标志开始默数后车司机从前车经过某一标志开始默数 2秒钟后到达同一标志，而不管车速如何秒钟后到达同一标志，而不管车速如何判断判断“2秒准则秒准则”与与“车身车身”规则是否一规则是否一样；样；建立数学模型，寻
6、求更好的驾驶规则。建立数学模型，寻求更好的驾驶规则。问问题题分分析析常识：刹车距离与车速有关常识：刹车距离与车速有关10英里英里/小时小时(16公里公里/小时小时)车速下车速下2秒钟行驶秒钟行驶29英尺英尺(9米米)车身的平均长度车身的平均长度15英尺英尺(=4.6米米)“2秒准则秒准则”与与“10英里英里/小时加一车身小时加一车身”规则不规则不同同刹刹车车距距离离反应时间反应时间制动器作用力、车重、车速、道路、气候制动器作用力、车重、车速、道路、气候 最大制动力与车质量成正比，最大制动力与车质量成正比，使汽车作匀减速运动。使汽车作匀减速运动。车速车速常数常数反反应应距距离离制制动动距距离离司
7、机司机状况状况制动系统制动系统灵活性灵活性常数常数假假 设设 与与 建建 模模 1.刹车距离刹车距离 d 等于反应距离等于反应距离 d1 与制动距离与制动距离 d2 之和之和2.反应距离反应距离 d1与车速与车速 v成正比成正比3.刹车时使用最大制动力刹车时使用最大制动力F，F作功等于汽车动能的改变作功等于汽车动能的改变;F d2=m v2/2F mt1为反应时间为反应时间且且F与车的质量与车的质量m成正比成正比 反应时间反应时间 t1的经验估计值为的经验估计值为0.75秒秒参数估计参数估计 利用交通部门提供的一组实际数据拟合利用交通部门提供的一组实际数据拟合 k模模 型型最小二乘法最小二乘法
8、 k=0.06计算刹车距离、刹车时间计算刹车距离、刹车时间车速车速(英里英里/小时小时)(英尺英尺/秒秒)实际刹车距离实际刹车距离（英尺）（英尺）计算刹车距离计算刹车距离（英尺）（英尺）刹车时间刹车时间（秒）（秒）2029.342（44）39.01.53044.073.5（78）76.61.84058.7116（124）126.22.15073.3173（186）187.82.56088.0248（268）261.43.070102.7343（372）347.13.680117.3464（506）444.84.3“2秒准则秒准则”应修正为应修正为“t 秒秒准则准则”模模 型型车速车速(英里英里
9、/小时小时)刹车时间刹车时间（秒）（秒）201.5301.8402.1502.5603.0703.6804.3车速（英里车速（英里/小时）小时）010104040606080t（秒）秒）1234利用比例性、几何相似性进行建模利用比例性、几何相似性进行建模 几何相似性是一个与比例性有关的概念而且有助于数学建几何相似性是一个与比例性有关的概念而且有助于数学建模的过程模的过程.比例性比例性:两个变量两个变量 和和 是是(互成互成)比例的比例的,如果一个变量总是如果一个变量总是 另一个变量的常数倍另一个变量的常数倍,即即,如果对某个非零常数如果对某个非零常数k,k,我们记我们记为为 几何相似性几何相似
10、性:如果两个物体之间存在一个一一对应如果两个物体之间存在一个一一对应,使得对应点使得对应点之间的距离之比对所有可能的点对都不变之间的距离之比对所有可能的点对都不变(等于同一个常数等于同一个常数),),则称这两个物体是几何相似的则称这两个物体是几何相似的.注注:几何相似性和比例性是建模过程中非常强有力的简化工具几何相似性和比例性是建模过程中非常强有力的简化工具划艇比赛的成绩划艇比赛的成绩赛艇赛艇 2000米成绩米成绩 t(分分)种类种类 1 2 3 4 平均平均单人单人 7.16 7.25 7.28 7.17 7.21双人双人 6.87 6.92 6.95 6.77 6.88四人四人 6.33
11、6.42 6.48 6.13 6.32八人八人 5.87 5.92 5.82 5.73 5.84艇长艇长l 艇宽艇宽b(米米)(米米)l/b 7.93 0.293 27.0 9.76 0.356 27.411.75 0.574 21.018.28 0.610 30.0空艇重空艇重w0(kg)浆手数浆手数n 16.3 13.6 18.1 14.7对四种赛艇（对四种赛艇（单人、双人、四人、八人）单人、双人、四人、八人）4次国际大赛冠次国际大赛冠军的成绩进行比较，发现与浆手数有某种关系。试建立军的成绩进行比较，发现与浆手数有某种关系。试建立数学模型揭示这种关系。数学模型揭示这种关系。问问题题准准备备
12、调查赛艇的尺寸和重量调查赛艇的尺寸和重量l/b,w0/n 基本不基本不变变问题分析问题分析 前进阻力前进阻力 浸没部分与水的摩擦力浸没部分与水的摩擦力 前进动力前进动力 浆手的划浆功率浆手的划浆功率分析赛艇速度与浆手数量之间的关系分析赛艇速度与浆手数量之间的关系赛艇速度由前进动力和前进阻力决定赛艇速度由前进动力和前进阻力决定划浆划浆功率功率 赛艇赛艇速度速度赛艇赛艇速度速度前进前进动力动力前进前进阻力阻力浆手浆手数量数量 艇艇重重浸没浸没面积面积 对浆手体重、功率、阻力与艇速的关系等作出假定对浆手体重、功率、阻力与艇速的关系等作出假定 运用合适的物理定律建立模型运用合适的物理定律建立模型模型假
13、设模型假设1）艇形状相同）艇形状相同(l/b为常数为常数),w0与与n成正成正比比2）v是常数，阻力是常数，阻力 f与与 sv2成正比成正比符号：艇速符号：艇速 v,浸没面积浸没面积 s,浸没体积浸没体积 A,空艇重空艇重 w0,阻力阻力 f,浆手数浆手数 n,浆手功率浆手功率 p,浆手体重浆手体重 w,艇重艇重 W艇的静态特性艇的静态特性艇的动态特性艇的动态特性3）w相同，相同，p不变，不变，p与与w成正比成正比浆手的特征浆手的特征模型模型建立建立f sv2p wv (n/s)1/3s1/2 A1/3A W(=w0+nw)n s n2/3v n1/9比赛成绩比赛成绩 t n 1/9np fv
14、模型检验模型检验n t1 7.212 6.884 6.328 5.84最小二乘法最小二乘法利用利用4次国际大赛冠军的平均次国际大赛冠军的平均成绩对模型成绩对模型 t n 1/9 进行检进行检验验tn12487.216.886.325.84与模型符合！与模型符合！钓鱼比赛钓鱼比赛问题问题:出于保护的目的出于保护的目的,垂钓俱乐部想鼓励其他会员在钓垂钓俱乐部想鼓励其他会员在钓到鱼后马上把它们放生到鱼后马上把它们放生.该俱乐部还希望根据钓到鱼的该俱乐部还希望根据钓到鱼的总重量来给予以下奖励总重量来给予以下奖励:100磅俱乐部的荣誉会员磅俱乐部的荣誉会员,大奖大奖赛期间的钓鱼总重量的冠军赛期间的钓鱼总
15、重量的冠军,等等等等.垂钓者怎么确定所钓垂钓者怎么确定所钓到的鱼的重量到的鱼的重量.你可能会建议每位垂钓者带一个便挟秤你可能会建议每位垂钓者带一个便挟秤,但是这样的秤用起来不方便但是这样的秤用起来不方便,特别是对小鱼也并不准确特别是对小鱼也并不准确.问题分析问题分析:根据某一个容易测量的量来预测鱼的重量根据某一个容易测量的量来预测鱼的重量影响因素影响因素:鱼的鱼的种类种类 性别性别 季节季节问题假设问题假设:1).单一鱼种单一鱼种;2)平均重量密度一致平均重量密度一致;3)忽略性别忽略性别和季节和季节总长度总长度l总长度总长度l总长度总长度la)c)b)4)所有鲈鱼都是几何相似的所有鲈鱼都是几
16、何相似的,任何鲈鱼的体积都和某个特征任何鲈鱼的体积都和某个特征量的立方成正比量的立方成正比.建立模型建立模型:长度,l(英寸)14.512.517.2514.512.62517.7514.12512.625重量,w(盎司)2717412617492316对于上述数据利用对于上述数据利用线性最小二乘拟合线性最小二乘拟合的结果为的结果为长度(英寸)121314151617181920212223242526重量(盎司)1519232935425059687991104118133150重量(磅)0.91.21.51.82.22.63.13.74.34.95.76.57.48.39.4 该模型提供了
17、一种方便的普遍准则该模型提供了一种方便的普遍准则.垂钓大奖赛把垂钓者垂钓大奖赛把垂钓者钓到的鱼的长度转化为重量钓到的鱼的长度转化为重量,把表明重量的卡发给大家把表明重量的卡发给大家,当次当次法则广泛应用以后法则广泛应用以后,应该把标有转换刻度的布带发给每个垂钓应该把标有转换刻度的布带发给每个垂钓者者.问题问题:该模型没有考虑到在相同鱼长的条件下鱼的胖瘦该模型没有考虑到在相同鱼长的条件下鱼的胖瘦,要要求你对于上述模型进行修改求你对于上述模型进行修改,以满足上述要求以满足上述要求.选举中的席位分配选举中的席位分配v一一.比例代表制比例代表制v例：有A、B、C、D四个政党，代表50万选民，各政党的选
18、民数为：v A党：199,000 B党：127,500v C党：124,000 D党：49,500v要选出5名代表：v A党：2席 B党：1席v C党：1席 D党：0席v缺少1席，如何分配这最后一席呢？选举中的席位分配选举中的席位分配v最大余数法最大余数法v按每10万选民1席分配后，按余数大小排序，多余的席位分给余数较大的各党。v党名 代表选民数 整数席 余 数 余额席 总席数v A 199,000 1 99,000 1 2v B 127,500 1 27,500 0 1v C 124,000 1 24,000 0 1v D 49,500 0 49,500 1 1选举中的席位分配选举中的席位分
19、配v洪德洪德(d Hondt)规则规则v分配办法是：把各党代表的选民数分别被1、2、3、除，按所有商数的大小排序，席位按此次序分配。即若A党的人数比D党的人数还多，那么给A党3席、给D党0席也是合理的。v除数 A党 B党 C党 D党v1 199,000(1)127,500(2)124,000(3)49,500v2 99,500(4)63,750 62,000 24,750v3 66,333(5)42,500 41,333 16,500v4 49,750 31,875 v总席位 3 1 1 0 选举中的席位分配选举中的席位分配v北欧折衷方案北欧折衷方案v作法与洪德规则类似，所采用的除数依次为1.
20、4、3、5、7、vA党 B党 C党 D党 v 2 2 1 0v三种分配方案，得到了完全不同的结果，最大余数三种分配方案，得到了完全不同的结果，最大余数法显然对小党比较有利，洪德规则则偏向最大的党，法显然对小党比较有利，洪德规则则偏向最大的党，北欧折衷方案对最大和最小党都不利北欧折衷方案对最大和最小党都不利 选举中的席位分配选举中的席位分配v二份额分配法二份额分配法(Quota Method)v一种以“相对公平”为标准的席位分配方法，来源于著名的“阿拉巴玛悖论”(Alabama Paradox)。v美国宪法第1条第2款对议会席位分配作了明确规定，议员数按各州相应的人数进行分配。最初议员数只有65
21、席，因为议会有权改变它的席位数，到1910年，议会增加到435席。宪法并没有规定席位的具体分配办法，因此在1881年，当考虑重新分配席位时，发现用当时的最大余数分配方法，阿拉巴玛州在299个席位中获得8个议席，而当总席位增加为300席时，它却只能分得7个议席。这一怪事被称为有名的“阿拉巴玛悖论”。公平的席位分配公平的席位分配系别系别 学生学生 比例比例 20席的分配席的分配 人数人数 （%）比例比例 结果结果 甲甲 103 51.5 乙乙 63 31.5 丙丙 34 17.0总和总和 200 100.0 20.0 2021席的分配席的分配 比例比例 结果结果10.815 6.615 3.570
22、 21.000 21问问题题三个系学生共三个系学生共200名（甲系名（甲系100，乙系，乙系60，丙系，丙系40），代表），代表会议共会议共20席，按比例分配，三个系分别为席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。席。现因学生转系，现因学生转系，三系人数为三系人数为103,63,34,问问20席如何分配。席如何分配。若增加为若增加为21席，又如何分配。席，又如何分配。比比例例加加惯惯例例对对丙丙系系公公平平吗吗系别系别 学生学生 比例比例 20席的分配席的分配 人数人数 （%）比例比例 结果结果 甲甲 103 51.5 10.3 乙乙 63 31.5 6.3 丙丙 34 17.0 3.4 总
23、和总和 200 100.0 20.0 20系别系别 学生学生 比例比例 20席的分配席的分配 人数人数 （%）比例比例 结果结果 甲甲 103 51.5 10.3 10 乙乙 63 31.5 6.3 6 丙丙 34 17.0 3.4 4总和总和 200 100.0 20.0 2021席的分配席的分配 比例比例 结果结果10.815 11 6.615 7 3.570 321.000 21“公平公平”分配方分配方法法衡量公平分配的数量指标衡量公平分配的数量指标 人数人数 席位席位 A方方 p1 n1B方方 p2 n2当当p1/n1=p2/n2 时，分配公时，分配公平平 p1/n1 p2/n2 对对
24、A的的绝对不公平度绝对不公平度p1=150,n1=10,p1/n1=15p2=100,n2=10,p2/n2=10p1=1050,n1=10,p1/n1=105p2=1000,n2=10,p2/n2=100p1/n1 p2/n2=5但后者对但后者对A的的不公平不公平程度已大大降低程度已大大降低!虽二者虽二者的的绝对绝对不公平度相同不公平度相同若若 p1/n1 p2/n2，对对 不公平不公平A p1/n1 p2/n2=5公平分配方案应公平分配方案应使使 rA,rB 尽量小尽量小设设A,B已分别有已分别有n1,n2 席，若增加席，若增加1席，问应分给席，问应分给A,还是还是B不妨设分配开始时不妨设
25、分配开始时 p1/n1 p2/n2，即对即对A不公平不公平 对对A的的相对不公平度相对不公平度将绝对度量改为相对度量将绝对度量改为相对度量类似地定义类似地定义 rB(n1,n2)将一次性的席位分配转化为动态的席位分配将一次性的席位分配转化为动态的席位分配,即即“公平公平”分配方分配方法法若若 p1/n1 p2/n2，定义定义1）若）若 p1/(n1+1)p2/n2，则这席应给则这席应给 A2）若）若 p1/(n1+1)p2/(n2+1)，应计算应计算rB(n1+1,n2)应计算应计算rA(n1,n2+1)若若rB(n1+1,n2)p2/n2 问：问：p1/n1rA(n1,n2+1),则这席应给
26、则这席应给 B当当 rB(n1+1,n2)rA(n1,n2+1),该席给该席给ArA,rB的定的定义义该席给该席给A否则否则,该席给该席给B 定义定义该席给该席给Q值值较大的一方较大的一方推广到推广到m方方分配席位分配席位该席给该席给Q值最大的一方值最大的一方Q 值方法值方法计算，三系用三系用Q值方法重新分配值方法重新分配 21个席位个席位按人数比例的整数部分已将按人数比例的整数部分已将19席分配完毕席分配完毕甲系：甲系：p1=103,n1=10乙系：乙系：p2=63,n2=6丙系：丙系：p3=34,n3=3用用Q值方法分配值方法分配第第20席和第席和第21席席第第20席席第第21席席同上同上
27、Q3最大，最大，第第21席席给丙系给丙系甲系甲系1111席，乙系席，乙系6 6席，丙系席，丙系4 4席席Q值方法值方法分配结果分配结果公平吗？公平吗？Q1最大，最大，第第20席席给甲系给甲系进一步的讨论进一步的讨论Q值方法比值方法比“比例加惯例比例加惯例”方法更公平吗？方法更公平吗？席位分配的理想化准则席位分配的理想化准则已知已知:m方人数分别为方人数分别为 p1,p2,pm,记总人数记总人数为为 P=p1+p2+pm,待分配的总席位为待分配的总席位为N。设理想情况下设理想情况下m方分配的席位分别为方分配的席位分别为n1,n2,nm(自然应有自然应有n1+n2+nm=N)，记记qi=Npi/P
28、,i=1,2,m,ni 应是应是 N和和 p1,pm 的函数，即的函数，即ni=ni(N,p1,pm)若若qi 均为整数，显然应均为整数，显然应 ni=qi qi=Npi/P不全为整数时，不全为整数时，ni 应满足的准则：应满足的准则：记记 qi=floor(qi)向向 qi方向取整；方向取整；qi+=ceil(qi)向向 qi方向取整方向取整.1)qi ni qi+(i=1,2,m),2)ni(N,p1,pm)ni(N+1,p1,pm)(i=1,2,m)即即ni 必取必取qi,qi+之之一一即当总席位增加时，即当总席位增加时，ni不应减少不应减少“比例加惯例比例加惯例”方法满足方法满足 1），但不满足），但不满足 2）Q值方法满足值方法满足 2）,但不满足但不满足 1）。令人遗憾！令人遗憾！