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1、2010年年3月月运筹与优化模型运筹与优化模型第二章第二章 数学建模思想与方法数学建模思想与方法 数学模型可以数学模型可以详细地描述地描述为对于于现实世世界的一个特定界的一个特定对象，象，为了一个特定的目了一个特定的目的，根据特有的内在的，根据特有的内在规律，作出一些必律，作出一些必要的要的简化假化假设，运用适当的数学工具得，运用适当的数学工具得到的一个数学到的一个数学结构。构。数学建模思想与方法（数学建模思想与方法（1）1)建模没有唯一正确的答案。数学建模建模没有唯一正确的答案。数学建模是利用数学工具解决是利用数学工具解决实际问题的重要手的重要手段。段。对同一个同一个实际问题有可能建立起若有
2、可能建立起若干个不同的数学模型，它干个不同的数学模型，它们都是都是对实际问题的近似描述，从的近似描述，从这个角度上将，模个角度上将，模型没有型没有绝对的的“对”与与“错”，评价数价数学模型学模型优劣的唯一劣的唯一标准是准是实践践检验。数学建模思想与方法（数学建模思想与方法（2）2)有不同的建模方法。比有不同的建模方法。比较常常见的是机理分析的是机理分析法、法、测试分析法、分析法、计算机模算机模拟法等等。机理分法等等。机理分析法是建模者根据析法是建模者根据对现实问题特性的特性的认识，分，分析析对象的因果关系，找出反映内部机理的象的因果关系，找出反映内部机理的规律，律，从而建立相从而建立相应的数学
3、模型。的数学模型。这样的数学模型往的数学模型往往有明确的物理或往有明确的物理或现实意意义。测试分析法将研分析法将研究究对象象视为一个内部机理无法直接一个内部机理无法直接寻求的求的“黑黑箱箱”系系统，通，通过测量系量系统的的输入、入、输出数据，出数据，经过统计分析，按照某种确定的准分析，按照某种确定的准则在某一在某一类模型中模型中选出一个与数据出一个与数据拟合得最好的模型。合得最好的模型。数学建模思想与方法（数学建模思想与方法（3）3)模型与建模目的有关。在建立数学模模型与建模目的有关。在建立数学模型之前要明确目的，型之前要明确目的，对于同一个于同一个实际对象，建模的目的不同将象，建模的目的不同
4、将导致建模致建模时考考虑的出的出发点和点和侧重点都不同，当然作出的重点都不同，当然作出的模型就不同。模型就不同。数学建模思想与方法（数学建模思想与方法（4）4)模型具有可移植性。模型是模型具有可移植性。模型是现实对象象抽象化、理想化的抽象化、理想化的产物，因此它并不物，因此它并不为对象的所属象的所属领域所独有，它可以移植到域所独有，它可以移植到其它其它领域，描述其它的域，描述其它的实际问题。换言言之，存在一个数学模型可之，存在一个数学模型可应用于多个用于多个实际问题的情形。的情形。数学建模思想与方法（数学建模思想与方法（5）5)建模与建模者的灵性、建模与建模者的灵性、经验和数学素和数学素质有关
5、。有些情况下，建模者的有关。有些情况下，建模者的经验、想象力、洞察力、判断能力、直想象力、洞察力、判断能力、直觉和灵和灵感在建模感在建模过程中起重要作用。程中起重要作用。数学建模数学建模过程是有一定程是有一定阶段性的。我段性的。我们对现实世界的世界的问题进行分析、提行分析、提炼，用，用数学数学语言做出描述，用数学方法言做出描述，用数学方法进行分行分析、研究，最后回到析、研究，最后回到现实世界，世界，应用于用于解决、解解决、解释实际问题。一般来。一般来讲，建模，建模的流程可描述的流程可描述为 模型分析与检验建立数学模型数据处理问题分析四三二一第第1节 数学建模数学建模问题分析分析数学建模数学建模
6、问题一般是由一般是由实际领域的域的应用用者提出的，因此不可能明确提出者提出的，因此不可能明确提出该用什用什么方法，也不可能么方法，也不可能给出恰到好出恰到好处的条件，的条件，既可能有多余的条件，也可能缺少条件，既可能有多余的条件，也可能缺少条件，甚至有甚至有时问题本身就是含糊不清的。本身就是含糊不清的。这并不奇怪，因并不奇怪，因为提出提出问题的人只是感的人只是感觉到某些方面存在需要解决的到某些方面存在需要解决的问题，但，但还不能清楚地描述不能清楚地描述这个个问题。这样一来，一来，建模的第一步就是要建模的第一步就是要进行行问题分析分析。首先要明确首先要明确问题例例1.3.1 一家大商一家大商业印
7、刷公司的印刷公司的经理就关理就关于于应该雇多少推雇多少推销员的的问题向你咨向你咨询。推推销员是是专门从事到各地把公司的从事到各地把公司的产品品兜兜销给其它商号的人其它商号的人员，推，推销员多了会多了会增加管理增加管理费用，但推用，但推销员少了又可能会少了又可能会失去一些失去一些顾客，客，应该有一个最有一个最优的推的推销员人数。人数。对于于这个个问题，你在回答之前需要明确，你在回答之前需要明确这样一些一些问题：公司的生：公司的生产限度如何？限度如何？经营的目的是什么？比如，目的是争取的目的是什么？比如，目的是争取最高的利最高的利润，或者目的是在，或者目的是在获得足得足够多多利利润的同的同时争取最
8、大的市争取最大的市场份份额。还要要明确推明确推销员如何使用他如何使用他们的的时间？完成？完成什么什么样的工作？的工作？产生的效果如何？推生的效果如何？推销员怎怎样才能达到最佳效果？才能达到最佳效果？明确了明确了这些些问题后，我后，我们可以建可以建议研究研究这样两个两个问题：1)怎怎样从从销售售队伍中伍中获取最大的收益；取最大的收益；2)不同不同规模的模的销售售队伍会伍会产生的效果。生的效果。这两个两个问题仍需仍需进一步一步细致的分析。比致的分析。比如，不同的推如，不同的推销员的能力不同，他的能力不同，他们推推销的地域也可能不同；不同的的地域也可能不同；不同的销售售队伍伍的的规模，其推模，其推销
9、的地理范的地理范围可能不同，可能不同，在每个在每个顾客身上所花的精力也可能不同；客身上所花的精力也可能不同；推推销员所面向的所面向的顾客也要分成客也要分成“现有的有的”和和“可能的可能的”两两类，前者需要，前者需要稳定，定，后者需要后者需要转变和开和开发，所花的，所花的时间各不各不相同；各客相同；各客户的的订货量或潜在量或潜在订货量也量也是需要考是需要考虑的重要因素。的重要因素。最大收益问题推销员推销员市场份额市场份额顾客容量顾客容量订货单订货单潜在的潜在的现有的现有的顾客顾客地域地域转变概率转变概率稳定概率稳定概率潜在的潜在的现有的现有的推销队伍最大收益问题结构层次图推销队伍最大收益问题结构
10、层次图可能的解决可能的解决问题的方案：从微的方案：从微观上看，上看，研究推研究推销员的工作情况，重点考的工作情况，重点考虑现有有顾客被客被稳定下来的概率和可能的定下来的概率和可能的顾客被客被争取争取过来的概率，来的概率，这些概率是怎些概率是怎样随每随每周中用于一个周中用于一个顾客的客的时间量量变化而化而变化化的；从宏的；从宏观上看，研究如何从上看，研究如何从给定定规模模的的销售售队伍得到最大利益，重点考伍得到最大利益，重点考虑从从市市场份份额、市、市场容量和客容量和客户订货量等因量等因素的影响确定如何制定素的影响确定如何制定销售人售人员的的职责第2节 数据数据处理理数学建模的数学建模的问题所所
11、给的数据并不一定恰的数据并不一定恰到好到好处，可能有多余的数据，也可能缺，可能有多余的数据，也可能缺少必要的数据。少必要的数据。经过问题分析，我分析，我们对需要什么数据就有了基本了解。比如，需要什么数据就有了基本了解。比如，在上面的例子中，我在上面的例子中，我们需要确定各种概需要确定各种概率的数据、率的数据、订货量的数据和各地区市量的数据和各地区市场状况的数据等等。除了数据的收集之外，状况的数据等等。除了数据的收集之外，还需要需要对数据数据进行行处理和分析理和分析。例例1.3.2 港作拖港作拖轮费用数据用数据处理理港作拖港作拖轮是港口生是港口生产的重要的重要设备，在港，在港口机口机电设备固定固
12、定资产中占有很大比例，中占有很大比例，并且具有初置并且具有初置费用高、用高、维持持费用大、寿用大、寿命周期命周期长、其构造复、其构造复杂等特点。由于等特点。由于许多港作拖多港作拖轮使用年限使用年限过长，往往形成，往往形成设备状状态质量差、故障多、能耗高、生量差、故障多、能耗高、生产效率低，同效率低，同时维修量大、修量大、维持持费用上升，用上升，经济效益下降的效益下降的现实。因此，需要解决。因此，需要解决的的问题是研究港作拖是研究港作拖轮的最佳的最佳经济使用使用年限。年限。对这个个问题进行分析后可知相关的数据行分析后可知相关的数据应包括：包括：营运运费用（折旧、修理、燃料、用（折旧、修理、燃料、
13、材料、低材料、低值品、水品、水费、电费、海、海损、工、工资、劳保、管理、其它保、管理、其它费用、用、营运收入）运收入），营运指运指标（营运率、航行率、主机运运率、航行率、主机运转小小时），自然状况（船舶建造年、船），自然状况（船舶建造年、船舶原舶原值、船籍）。、船籍）。对这些数据的些数据的处理要理要考考虑以下三个方面：以下三个方面：1)营运运费用的用的综合分合分类。将。将营运运费用分用分成六成六类：折旧，修理：折旧，修理类（修理、海（修理、海损、事故修理），能耗事故修理），能耗类（燃料、水、（燃料、水、电），），物耗物耗类（材料、（材料、劳保、低保、低值品），管理品），管理类（管理、工（管理、
14、工资、其它），收入、其它），收入类。这样分分类的理由：一是随着船的理由：一是随着船龄的增的增长，各各类营运运费用的用的动态变化化趋势是不一是不一样的；二是在做数据可比性的；二是在做数据可比性处理理时，各，各类费用的用的处理方法也不同。理方法也不同。2)数据可比性数据可比性处理。原始数据来源于多艘理。原始数据来源于多艘样本本船舶，由于各自建造年限的不同，使得各船舶，由于各自建造年限的不同，使得各样本本船之船之间的原的原值、成本、成本费用、收入等各用、收入等各项数据存数据存在很大差异，无法直接在很大差异，无法直接进行比行比较和和归纳，不具，不具备可比性，可比性，这主要来源于各种主要来源于各种涨价因
15、素的影响。价因素的影响。这样一来，就需要一来，就需要对数据做数据做换算算处理。理。进一步一步细致的工作就是研究怎致的工作就是研究怎样进行合理地行合理地换算，才算，才能使各船之能使各船之间、各年之、各年之间、各、各项资金之金之间具有具有横向和横向和纵向的可比性。比如，管理和收入向的可比性。比如，管理和收入类数数据据进行利率行利率换算系数算系数处理；船舶原理；船舶原值按外按外汇兑换牌价的牌价的变化化处理；能耗理；能耗类和物耗和物耗类数据需要数据需要根据物价指数根据物价指数统计数据确定出合理的数据确定出合理的换算系数算系数进行行处理。理。（3）数据有效性）数据有效性处理。理。样本船来自各港，本船来自
16、各港，由于各港的操作由于各港的操作环境不同，各船的使用境不同，各船的使用强度不同，所以使得同一船度不同，所以使得同一船龄下的同下的同类费用或指用或指标之之间也存在也存在较大差大差别。比如，。比如，两艘同型同两艘同型同龄船，同一年的油耗船，同一年的油耗费分分别为41157元和元和60601元，其使用率分元，其使用率分别为14.7%和和18.94%。为了使数据具有有效了使数据具有有效性，可将使用率作性，可将使用率作为使用使用强度，考度，考虑单位使用位使用强度下的度下的费用，用，这样一来，就一来，就获得了得了较准确、合理的数据。准确、合理的数据。例1.3.3 施肥效果测量数据的处理一般作物生长主要营
17、养素为氮（N）、磷（P）、钾（K）。某农作物研究所在某地区对马铃薯做了一定数量的实验，实验数据如表1.3.1所示。其中，ha表示公顷，t表示吨，kg表示公斤。当一种营养素的量发生变化时，另两种营养素保持在某确定量值不变根据农业资料可知，在一定范围内，马铃薯的产量随氮（N）施肥量的增加而增加，但当氮（N）施肥量超过一定范围，马铃薯的产量反而会降低；在一定范围内，马铃薯的产量随磷（P）施肥量的增加而增加，但过多磷（P）施肥量对马铃薯的产量不起作用。按照上述知识对氮施肥量马铃薯产量实验数据进行分析，可以认为其中没有明显的异常点。而按照上述知识对磷施肥量马铃薯产量实验数据进行分析可看到第二组数据是异常
18、数据。记x为磷肥施肥量，y(x)为马铃薯产量，则在数据中有y(24)0或或0 a t b。描述描述变量量间关系的数学表达式可以是关系的数学表达式可以是一般的数学函数关系，也可以是微分方一般的数学函数关系，也可以是微分方程，程，还可以是可以是积分方程或泛函方程，当分方程或泛函方程，当然也包括各然也包括各类的方程的方程组。用函数描述用函数描述变量量间的关系，从而建立的关系，从而建立数学模型是最常用的方法。比如几个典数学模型是最常用的方法。比如几个典型的描述增型的描述增长的函数如下：的函数如下：而描述周期性的函数通常用三角函数或带三角函数项的函数，如 建立用微分方程描述的数学模型也是重要的方法。比如
19、物理系统中描述弹力质量阻尼器中物体在t时刻的位置x(t)的微分方程为 再如第一章第二节中例题4给出的数学模型也是微分方程在第二章第一节最优价格模型中我们有一个泛函方程的例子 设计一种数学表达式往往是根据物理定理、原理，经过机理分析和合理假设来得到。但有的时候只能借助数据所含的信息建立经验模型来实现。数据含有所涉及问题的大量信息，对数据进行充分观察和分析，获得有关信息，揭示变量间的内在联系，从而选择适当的数学表达式拟合变量间的关系，这就是建立经验模型。我们将例1.3.3中表1.3.1的数据画出散点图，图1.3.2和图1.3.3分别是氮施肥量N和磷施肥量P关于马铃薯产量y的散点图将图1.3.2中的
20、点用线连接起来，看起来象是开口乡向下的一段抛物线，这表明氮施肥量N与马铃薯产量y(N)之间可能是一种非线性关系。设x为氮施肥量，y为马铃薯产量，我们选择数学表达式 表示氮施肥量x与马铃薯产量y之间的关系。其中a,b,c为待确定的参数。将将图1.3.3中的点用中的点用线连接起来，看起来象是前接起来，看起来象是前一段呈上升一段呈上升趋势，而后一段，而后一段趋于平于平缓，磷施肥量，磷施肥量超超过100斤以后，斤以后，马铃薯薯产量出量出现徘徊，大致不超徘徊，大致不超过43吨。吨。设x为磷施肥量，磷施肥量，y为马铃薯薯产量，我量，我们可可选择数学表达式数学表达式 表示磷施肥量表示磷施肥量x与与马铃薯薯产
21、量量y之之间的关系，的关系，选择适当的参数适当的参数a和和b，就可以得到，就可以得到较好的好的拟合。我合。我们也可以也可以选择另一种数学表达式表示磷施肥量另一种数学表达式表示磷施肥量x与与马铃薯薯产量量y之之间的关系的关系 这里有三个参数里有三个参数A，B和和C。模型的分析和模型的分析和检验 完成一个模型，需要完成一个模型，需要对模型模型进行分析行分析检验。这步工作并不是要步工作并不是要证明模型的明模型的“正确正确”，而是要作出一个正确的估，而是要作出一个正确的估计。我我们前面前面说过，建模没有唯一正确的答，建模没有唯一正确的答案，从某种意案，从某种意义上上讲，任何模型都有，任何模型都有“错误”，没有，没有绝对完美的模型。一个模完美的模型。一个模型的建立是否成功，主要取决于它是否型的建立是否成功，主要取决于它是否达到了建模的目的，是否有效地达到了建模的目的，是否有效地应用于用于实际，即模型要通，即模型要通过实际检验。本章结束本章结束 谢谢！谢谢！