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1、数学建模数学建模（Mathematical Modeling)黑龙江科技学院理学院黑龙江科技学院理学院工程数学教研室工程数学教研室第二章第二章 初等模型初等模型 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院线性代数模型线性代数模型初等模型初等模型第二章极限、最值、积分问题的初等模型极限、最值、积分问题的初等模型经济问题中的初等模型经济问题中的初等模型重点重点:各种简单的初等模型各种简单的初等模型难点难点:简单初等模型的建立和求解简单初等模型的建立和求解生活中的问题生活中的问题 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院建模举例建模举例2.1 生活中的问题生活中的问题2.1.1
2、 椅子能在不平的地面上放稳吗椅子能在不平的地面上放稳吗? ?问题分析问题分析模模型型假假设设通常通常 三只脚着地三只脚着地放稳放稳 四只脚着地四只脚着地 四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形连线呈正方形; 地面高度连续变化，可视为数学上的连续地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面曲面; 地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。只脚同时着地。 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院模型构成模型构成用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来
3、 椅子位置椅子位置利用正方形利用正方形(椅脚连线椅脚连线)的对称性的对称性用用 (对角线与对角线与x轴的夹角轴的夹角)表示椅子位置表示椅子位置 四只脚着地四只脚着地距离是距离是 的函数的函数四个距离四个距离(四只脚四只脚)A,C 两脚与地面距离之和两脚与地面距离之和 f( )B,D 两脚与地面距离之和两脚与地面距离之和 g( )两个距离两个距离xBADCOD C B A 椅脚与地面距离为零椅脚与地面距离为零正方形正方形ABCD绕绕O点旋转点旋转正方形正方形对称性对称性 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来用数学语言把椅子位置和四只脚
4、着地的关系表示出来f( ) , g( )是是连续函数连续函数对任意对任意 , f( ), g( )至少一个为至少一个为0数学数学问题问题已知：已知： f( ) , g( )是是连续函数连续函数 ; 对任意对任意 ， f( ) g( )=0 ; 且且 g(0)=0， f(0) 0. 证明：存在证明：存在 0，使，使f( 0) = g( 0) = 0.模型构成模型构成地面为连续曲面地面为连续曲面 椅子在任意位置椅子在任意位置至少三只脚着地至少三只脚着地 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院模型求解模型求解给出一种简单、粗糙的证明方法给出一种简单、粗糙的证明方法将椅子将椅子旋转旋转9
5、00，对角线，对角线AC和和BD互换。互换。由由g(0)=0， f(0) 0 ，知，知f( /2)=0 , g( /2)0.令令h( )= f( )g( ), 则则h(0)0和和h( /2)0.由由 f, g的连续性知的连续性知 h为连续函数为连续函数, 据连续函数的基本性据连续函数的基本性质质, 必存在必存在 0 , 使使h( 0)=0, 即即f( 0) = g( 0) .因为因为f( ) g( )=0, 所以所以f( 0) = g( 0) = 0.评注和思考评注和思考建模的关键建模的关键 假设条件的本质与非本假设条件的本质与非本质质 考察四脚呈长方形的椅子考察四脚呈长方形的椅子 和和 f(
6、 ), g( )的确定的确定 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院 2.1.2 分蛋糕问题分蛋糕问题妹妹过生日，妈妈做了一块边界形状任意的妹妹过生日，妈妈做了一块边界形状任意的蛋糕，哥哥也想吃，妹妹指着蛋糕上的一点蛋糕，哥哥也想吃，妹妹指着蛋糕上的一点对哥哥说，你能过这一点切一刀，使得切下对哥哥说，你能过这一点切一刀，使得切下的两块蛋糕面积相等，就把其中的一块送给的两块蛋糕面积相等，就把其中的一块送给你。哥哥利用高等数学知识解决了这个问题，你。哥哥利用高等数学知识解决了这个问题，你知道他用的是什么办法吗？你知道他用的是什么办法吗？问题归结为如下一道证明题：问题归结为如下一道证明
7、题： 已知平面上一条已知平面上一条没有交叉点没有交叉点的的封闭曲线，封闭曲线，P是曲线所围图形上是曲线所围图形上任一点，求证：一定存在一条过任一点，求证：一定存在一条过P的直线，将这图形的面积二等的直线，将这图形的面积二等分。分。 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院只证明了直线的存在性，只证明了直线的存在性，你能找到它么？你能找到它么？P?PS1S2l若若S1 S2 不妨设不妨设S1S2(此时此时l与与x轴正向的夹角记为轴正向的夹角记为 ) 0以点以点P为旋转中心，将为旋转中心，将l按逆时按逆时针方向旋转，面积针方向旋转，面积S1，S2就就连连续依赖于续依赖于角角 的变化，记
8、为的变化，记为 21,SS 21SSf令：令：而而 在在 上连续，且上连续，且 f00,010200fSS010200fSS由零点定理得证由零点定理得证。 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院 2.1.3出租车收费问题出租车收费问题某城市出租汽车收费情况如下：起价某城市出租汽车收费情况如下：起价10元元（4km以内），行以内），行程不足程不足15km，大于等于，大于等于4km部分，每公里车费部分，每公里车费1.6元元；行程；行程大于等于大于等于15km部分，每公里车费部分，每公里车费2.4元元。计程器每。计程器每0.5km记记一次价。一次价。 例如，当行驶路程例如，当行驶路程x
9、（km）满足）满足12x12.5时，按时，按12.5km计价；当计价；当12.5 x13时，按时，按13km计价；计价； 例如，等候时间例如，等候时间t(min)满足满足 2.5t5时，按时，按2.5min计价收费计价收费0.8元；元；当当5t0为比例常数为比例常数)。1.建立细菌繁殖的数学模型。建立细菌繁殖的数学模型。2.假设一种细菌的个数按指数方式增长，下表是收集到的假设一种细菌的个数按指数方式增长，下表是收集到的近似数据。近似数据。天数天数细菌个数细菌个数5936102190 由于细菌的繁殖时连续变化的，由于细菌的繁殖时连续变化的，在很短的时间内数量变化得很小，在很短的时间内数量变化得很
10、小，繁殖速度可近似看做不变。繁殖速度可近似看做不变。 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院解解:建立数学模型建立数学模型将时间间隔将时间间隔t分成分成n等分，在第一段时间等分，在第一段时间 内，细菌繁殖的数内，细菌繁殖的数量为量为 ，在第一段时间末细菌的数量为，在第一段时间末细菌的数量为 ，同样，同样，第二段时间末细菌的数量为第二段时间末细菌的数量为 ；以此类推，最后一段；以此类推，最后一段时间末细菌的数量为时间末细菌的数量为 ，经过时间，经过时间t后，细菌的总数是后，细菌的总数是nt，0ntkA0ntkA 10201ntkAnntkA10ktnneAntkA001limkte
11、Ay0设细菌的总数为设细菌的总数为y,则所求的数学模型为：则所求的数学模型为： 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院现在要求设计一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为现在要求设计一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为128平方分米，上下空白个平方分米，上下空白个2分米，两边空白个分米，两边空白个1分米，如何分米，如何确定海报尺寸可使四周空白面积为最小？确定海报尺寸可使四周空白面积为最小？8128422442xxyxs最小最小令此式对令此式对x的导数为的导数为0，解得：，解得：x=16,此时此时y=8,可使空白面积可使空白面积最小。最小。其中其中0 s这个问题可用求一元函数最
12、值的方法解决这个问题可用求一元函数最值的方法解决x21y 思考思考：若海报改为左右两栏，横：若海报改为左右两栏，横向粘贴，印刷面积为向粘贴，印刷面积为180平方分米，平方分米，要求四周留下空白宽要求四周留下空白宽2分米，留分米，留1分米分米宽竖直中缝。如何设计它的尺寸使总宽竖直中缝。如何设计它的尺寸使总空白面积最小空白面积最小? 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院 对某工厂的上午班工人的工作效率的研究表明，一个中对某工厂的上午班工人的工作效率的研究表明，一个中等水平的工人早上等水平的工人早上8：00开始工作，在开始工作，在t小时之后，生产出小时之后，生产出 Q(t)=-t3+
13、9t2+12t 个晶体管收音机。个晶体管收音机。问：在早上几点钟这个工人的工作效率最高？问：在早上几点钟这个工人的工作效率最高？工人上班效率问题工人上班效率问题工作效率最高，即生产率最大，工作效率最高，即生产率最大，此题中，工人在此题中，工人在t t时刻的生产率时刻的生产率为产量为产量Q Q关于时间关于时间t t的变化率：的变化率：Q(tQ(t) )，则问题转化为求，则问题转化为求Q(tQ(t) )的最大值的最大值解：工人的生产率为解：工人的生产率为 0186 ttQtR 121832tttQtR比较比较R(0)=12,R(3)=39,R(4)=36,知知t=3时，即上午时，即上午11：00，
14、工人的工作效率最高。工人的工作效率最高。 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院工人上班效率问题工人上班效率问题黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 日常生活中，人们常常碰到如何分配定量的钱来购买两种物品的问日常生活中，人们常常碰到如何分配定量的钱来购买两种物品的问题。由于钱数固定，则如果购买其中一种物品较多，那么势必要少买（题。由于钱数固定，则如果购买其中一种物品较多，那么势必要少买（甚至不能再买）另一种物品，这样就不可能很令人满意。如何花费给定甚至不能再买）另一种物品，这样就不可能很令人满意。如何花费给定量的钱，才能达到最满意的效果呢？经济学家试图借助量的钱，才能达到最满意
15、的效果呢？经济学家试图借助“效用函数效用函数”来来解决解决这一问题。所谓效用函数，就是描述人们同时购买两种产品各这一问题。所谓效用函数，就是描述人们同时购买两种产品各 单位、单位、 单位时满意程度的量。常见的形式有单位时满意程度的量。常见的形式有等，而当效用函数达到最大值时，人们购物分配方案最佳。小孙有等，而当效用函数达到最大值时，人们购物分配方案最佳。小孙有200元钱，他决定来购买两种急需物品：计算机磁盘和录音磁带。且设他购元钱，他决定来购买两种急需物品：计算机磁盘和录音磁带。且设他购买买 张磁盘，张磁盘， 盒录音磁带的效用函数为盒录音磁带的效用函数为 。设每张。设每张磁盘磁盘8元，每盒磁带
16、元，每盒磁带10元，问他如何分配他的元，问他如何分配他的200元钱，才能达到最满意元钱，才能达到最满意的效果？的效果？xyyxyxUyxyxUlnln),(,),(xyyxyxUlnln),(购物满意问题购物满意问题购物满意问题购物满意问题购物满意问题购物满意问题购物满意问题购物满意问题购物满意问题购物满意问题购物满意问题购物满意问题购物满意问题购物满意问题购物满意问题购物满意问题理学院理学院 一个小乡村里的唯一商店有两种牌子的冻果汁，当地牌一个小乡村里的唯一商店有两种牌子的冻果汁，当地牌子进价每听子进价每听30美分，外地牌子的进价每听美分，外地牌子的进价每听40美分。店主估计，美分。店主估计
17、，如果当地牌子的每听卖如果当地牌子的每听卖x美分，外地牌子卖美分，外地牌子卖y美分，则每天可美分，则每天可卖出卖出70-5x+4y听当地牌子的果汁，听当地牌子的果汁，80+6x-7y听外地牌子的果听外地牌子的果汁。汁。问：问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大收益？收益？最大利润问题最大利润问题想一想高等数学中二想一想高等数学中二元函数求最值的方法元函数求最值的方法解：解：每天的总收益为二元函数：每天的总收益为二元函数： yxyyxxyxf768040457030,0 xf令令 ， ，则有驻点，则有驻点x=53,y=55判断可知判断可知（5
18、3，55）为最大值点。为最大值点。0yf 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院最大利润问题最大利润问题最大利润问题最大利润问题黑龙江科技学院数学建模数学建模医院就医问题医院就医问题 一家新的乡村精神病诊所开张。对同类门诊部的统计表明，总有一部分病人 第一次来过之后还要来此治疗，若果现在有A个病人第一次来就诊，则t个月后，这些病人中还有 个病人还在此治疗 ，这里 。现设这个诊所最开始时接受了300人的治疗，并且计划从现在开始每月接收10名新病人。试估算从现在开始15个月后，在此诊所接受治疗的病人有多少？)(tfA20)(tetf)(tfA20)(tetf)(tfA20)(tetf
19、)(tfA20)(tetf)(tfA20)(tetf)(tfA20)(tetf)(tfA20)(tetf)(tfA20)(tetf 一家新的乡村精神病诊所开张。对同类门诊部的统计表明，总有一部分病人 第一次来过之后还要来此治疗，若果现在有A个病人第一次来就诊，则t个月后，这些病人中还有 )(tfA20)(tetf )(tfA20)(tetf )(tfA20)(tetf )(tfA20)(tetf)(tfA20)(tetf )(tfA20)(tetf 一家新的乡村精神病诊所开张。对同类门诊部的统计表明，总有一部分病人 第一次来过之后还要来此治疗，若果现在有A个病人第一次来就诊，则t个月后，这些病
20、人中还有 个病人还在此治疗 ，这里 。现设这个诊所最开始时接受了300人的治疗，并且计划从现在开始每月接收10名新病人。试估算从现在开始15个月后，在此诊所接受治疗的病人有多少？)(tfA20)(tetf )(tfA20)(tetf一零售商收到一船共一零售商收到一船共10000公斤大米，这批大米以常量每月公斤大米，这批大米以常量每月2000公斤运走，要用公斤运走，要用5个月个月 时间，如果贮存费是每月每公斤时间，如果贮存费是每月每公斤0.01元，元，5个月之后这位零售商需支付贮存费多少元？个月之后这位零售商需支付贮存费多少元？商品的贮存费问题商品的贮存费问题将区间将区间0t5分为分为n个等距的
21、小区间，任取第个等距的小区间，任取第j个小区间个小区间【tj,tj+1】，区间长度为】，区间长度为tj+1-tj=t，在这个小区间中，在这个小区间中， 每公斤贮存费用每公斤贮存费用=0.01 t 第第j个小区间的贮存费个小区间的贮存费=0.01 Q(tj)t 总的贮存费总的贮存费= njjttQ101.0由定积分定义：由定积分定义： 总贮存费总贮存费= 元25020001000001. 001. 01050dttdttQ解解 ：令令Q(t)表示表示t个月后贮存大米的公斤数，则个月后贮存大米的公斤数，则 Q(t)=10000-2000t 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院某公路
22、管理处在城市高速公路出口处，记录了几个星期内平某公路管理处在城市高速公路出口处，记录了几个星期内平均车连行驶速度，数据统计表明：一个普通工作日的下午均车连行驶速度，数据统计表明：一个普通工作日的下午1：00至至6：00之间，次口在之间，次口在t时刻的平均车辆行驶速度为：时刻的平均车辆行驶速度为： S(t)=2t3-21t2+60t+40(km/h)左右，试计算下午左右，试计算下午1：00至至6：00内的平均车辆行驶速度？内的平均车辆行驶速度？车辆平均行驶速度问题车辆平均行驶速度问题解解 ：平均车辆行驶速度为平均车辆行驶速度为 hkmdttttdtts/5 .784060212161161612
23、361此题是求函数此题是求函数s(ts(t) )在区间在区间【1 1，6 6】内的平均值】内的平均值 一般地，连续函数在区间上一般地，连续函数在区间上的平均值，等于函数在此区的平均值，等于函数在此区间上的定积分除以区间长度。间上的定积分除以区间长度。 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院 设产品产量为设产品产量为q,产品价格为产品价格为p,固定成本固定成本c0，可变成，可变成本为本为c1.2.5 经济问题中的初等模型经济问题中的初等模型（1） 总成本函数总成本函数：（2） 供给函数供给函数：（3） 需求函数需求函数：（4） 价格函数价格函数： qccqcc10 pfsQ pg0
24、Q qpQfp01 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院 qCqRqL qCCm qRRm mmmCRqCqRL（5） 收益函数收益函数：（6） 利润函数利润函数：（7） 边际成本函数边际成本函数：（8） 边际收益函数：边际收益函数：（9） 边际利润函数：边际利润函数： qqpqRR 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院例例1 某品牌收音机每台售价某品牌收音机每台售价90元，成本为元，成本为60元，厂家为鼓励元，厂家为鼓励销售商大量采购，决定凡是订购量超过销售商大量采购，决定凡是订购量超过100台以上的，每多台以上的，每多订购一台，售价就降低订购一台，售价就降低
25、1分（例如某商行订购分（例如某商行订购300台，订购量台，订购量比比100台多台多200台，于是每台就降价台，于是每台就降价0.01200=2元，商行可元，商行可按每台按每台88元的价格购进元的价格购进300台）。但最低价格为台）。但最低价格为75元元/台。台。（1）建立订购量）建立订购量x与每台的实际售价与每台的实际售价p的数学模型。的数学模型。（2）建立利润）建立利润L与订购量与订购量x的数学模型。的数学模型。（3）当一商行订购了）当一商行订购了1000台时，厂家可获利润多少？台时，厂家可获利润多少？据此不难将售价与订购量归纳为如下的数学模型：据此不难将售价与订购量归纳为如下的数学模型：
26、160075160010001.01009010090 xxxxp 当当x100时，每台售价时，每台售价90元；当订元；当订购量超过购量超过1600台时，每台售价台时，每台售价75元；元；当订购量在当订购量在100到到1600台之间时，每台之间时，每台售价为台售价为90-(x-100) 0.01每台利润是实际售价每台利润是实际售价p与成本与成本60元之差，所以元之差，所以 L=(p-60)x 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院例例2 2 一房地产公司有一房地产公司有5050套公寓要出租，当租金定为每月套公寓要出租，当租金定为每月180180元时，公寓会全部租出去，当租金每月增
27、加元时，公寓会全部租出去，当租金每月增加1010元时，就有一元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费2020元的整修维元的整修维护费。护费。（1 1）建立总收入）建立总收入R与租金与租金x之间的数学模型。之间的数学模型。（2 2）当房租定为多少时可获得最大收入？）当房租定为多少时可获得最大收入？解解：（1）建立数学模型：建立数学模型：106820101805020 xxxxR （2）求求R的最大值。的最大值。 0101201068xxxR得得x=350(元元/月月) 总收入总收入R等于租出的公寓数等于租出的公寓数50-(x-180) /10)
28、乘以每套公寓的纯利乘以每套公寓的纯利润润x-20 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院例例3 某不动产商行能以某不动产商行能以5%的年利率借得贷款，然后它又把的年利率借得贷款，然后它又把此款贷给顾客。若他能贷出的款额与他贷出的利率的平方成此款贷给顾客。若他能贷出的款额与他贷出的利率的平方成反比（利率太高无人借贷）。反比（利率太高无人借贷）。(1)建立年利率建立年利率x与利润与利润p间的数学模型。间的数学模型。(2)当以多大的年利率贷出时，能使商行获得利润最大？当以多大的年利率贷出时，能使商行获得利润最大？解解 (1) 贷出的款额为贷出的款额为k/x2,k0为常数，商行可获得利润
29、：为常数，商行可获得利润：205. 0 xkxp(2)下面求当下面求当x取何值时，取何值时，p最大。最大。 0 xp得得x=0.1,即贷出年利率为即贷出年利率为10%时，商行获得利润最大。时，商行获得利润最大。 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院 例例1 人、狗、鸡、米过河问题人、狗、鸡、米过河问题 这是一个人所共知而又十分简单的智力游戏。某人要带狗、这是一个人所共知而又十分简单的智力游戏。某人要带狗、鸡、米过河，但小船除需要人划外，最多只能载一物过河，鸡、米过河，但小船除需要人划外，最多只能载一物过河，而当人不在场时，狗要咬鸡、鸡要吃米，问此人应如何过河。而当人不在场时，狗
30、要咬鸡、鸡要吃米，问此人应如何过河。在本问题中，可采取如下方法：一物在此岸时相应分量为在本问题中，可采取如下方法：一物在此岸时相应分量为1，而在彼岸时则取而在彼岸时则取 为为0，例如，例如（1,0,1,0）表示人和鸡在此岸，表示人和鸡在此岸，而狗和米则在对岸。而狗和米则在对岸。 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院（i）可取状态可取状态：根据题意，并非所有状态都是允许的，例如：根据题意，并非所有状态都是允许的，例如（0,1,1,0）就是一个不可取的状态。本题中可取状态（即系）就是一个不可取的状态。本题中可取状态（即系统允许的状态）可以用穷举法列出来，它们是：统允许的状态）可以用
31、穷举法列出来，它们是：（ii）可取运算可取运算：状态转移需经状态运算来实现。在实际问：状态转移需经状态运算来实现。在实际问题中，摆一次渡即可改变现有状态。为此也引入一个四维题中，摆一次渡即可改变现有状态。为此也引入一个四维向量（转移向量），用它来反映摆渡情况。例如向量（转移向量），用它来反映摆渡情况。例如 （1，1，0，0）表示人带狗摆渡过河。根据题意，允许使用的转移向量）表示人带狗摆渡过河。根据题意，允许使用的转移向量只能有（只能有（1，0，0，0，）、（，）、（1，1，0，0）、）、（1，0，1，0）、（）、（1，0，0，1）四个。）四个。人在此岸人在此岸 人在对岸人在对岸(1，1，1，1
32、) (0，0，0，0)(1，1，1，0) (0，0，0，1)(1，1，0，1) (0，0，1，0)(1，0，1，1) (0，1，0，0)(1，0，1，0) (0，1，0，1) 总共有十个可取总共有十个可取状态，对一般情况，状态，对一般情况，应找出状态为可取应找出状态为可取的充要条件。的充要条件。 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院 在具体转移时，只考虑由可取状态到可取状态的转移。问题在具体转移时，只考虑由可取状态到可取状态的转移。问题化为：化为： 由初始状态（由初始状态（1，1，1，1）出发，经奇数次上述运算转化为）出发，经奇数次上述运算转化为（0，0，0，0）的转移过程。）
33、的转移过程。我们可以如下进行分析我们可以如下进行分析 ：（第一次渡河）（第一次渡河）( (不不可可取取) )( (不不可可取取) )( (可可取取) )( (不不可可取取) ) ( (0 0, ,1 1, ,1 1, ,1 1) )( (0 0, ,1 1, ,1 1, ,0 0) )( (0 0, ,1 1, ,0 0, ,1 1) )( (0 0, ,0 0, ,1 1, ,1 1) )( (1 1, ,0 0, ,0 0, ,0 0) )( (1 1, ,0 0, ,0 0, ,1 1) )( (1 1, ,0 0, ,1 1, ,0 0) )( (1 1, ,1 1, ,0 0, ,0
34、 0) )( (1 1, ,1 1, ,1 1, ,1 1) ) 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院（第二次渡河）（第二次渡河）( (1 1, ,0 0, ,0 0, ,0 0) )( (1 1, ,0 0, ,0 0, ,1 1) )( (1 1, ,0 0, ,1 1, ,0 0) )( (1 1, ,1 1, ,0 0, ,0 0) )( (0 0, ,1 1, ,0 0, ,1 1) )( (可可取取) )( (不不可可取取) ) )回回到到原原先先出出现现过过的的状状态态( (循循环环, ,( (不不可可取取) ) ( (1 1, ,1 1, ,0 0, ,1 1)
35、 )( (1 1, ,1 1, ,0 0, ,0 0) )( (1 1, ,1 1, ,1 1, ,1 1) )( (1 1, ,0 0, ,0 0, ,1 1) )以下可继续进行下去，直至转移目的实现。上述分析实际以下可继续进行下去，直至转移目的实现。上述分析实际上采用的是穷举法，对于规模较大的问题是不宜采用的。上采用的是穷举法，对于规模较大的问题是不宜采用的。 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院这是一个古老的阿拉伯数学问题。有三对夫妻要这是一个古老的阿拉伯数学问题。有三对夫妻要过河，船最多可载两人，约束条件是根据阿拉伯过河，船最多可载两人，约束条件是根据阿拉伯法律，任一女
36、子不得在其丈夫不场的情况下与其法律，任一女子不得在其丈夫不场的情况下与其他男子在一起，问此时这三对夫妻能否过河？他男子在一起，问此时这三对夫妻能否过河？这一问题的状态和运算与这一问题的状态和运算与前一问题有所不同，根据前一问题有所不同，根据题意，状态应能反映出两题意，状态应能反映出两岸的男女人数，过河也同岸的男女人数，过河也同 样要反映出性别样要反映出性别 故可如下定义：故可如下定义： （i）可取状态可取状态： 用用H和和W分别表示此岸的男子和女子分别表示此岸的男子和女子数，状态可用矢量数，状态可用矢量 （H，W）表示，其中表示，其中0H、W3。可取状态为（。可取状态为（0,i），），(i,i
37、)，(3,i)，0i3。(i,i)为可取状态，这是因为总可以适当安排而使他为可取状态，这是因为总可以适当安排而使他们是们是 i对夫妻。对夫妻。 （ii）可取运算可取运算：过河方式可以是一对夫妻、两个男人或两个女人，过河方式可以是一对夫妻、两个男人或两个女人，当然也可以是一人过河。转移向量可取成当然也可以是一人过河。转移向量可取成 (1)im,(1)in)，其中其中m、n可取可取0、1、2，但必须，但必须满足满足1m+n2。当。当j为奇数时表示过河。为奇数时表示过河。 当当j为偶为偶数时表示由对岸回来，运算规则同普通向量的加数时表示由对岸回来，运算规则同普通向量的加法。法。 黑龙江科技学院 数数
38、 学学 建建 模模 理学院理学院 问题归结为由状态问题归结为由状态 (3,3)经经奇数次奇数次可取运算，即由可取状可取运算，即由可取状态到可取状态的转移，转化态到可取状态的转移，转化 为为(0,0)的转移问题。和上题一样，的转移问题。和上题一样，我们既可以用计算机求解，也可以分析求解，此外，本题还我们既可以用计算机求解，也可以分析求解，此外，本题还可用可用作图作图方法来求解。方法来求解。在在HW平面坐标中，以平面坐标中，以 “”表示可取状态，表示可取状态， 从从A(3,3)经奇数经奇数次转移到次转移到 达达O(0,0)。奇数次。奇数次转移时向左或下移转移时向左或下移 动动1-2格而落格而落在一
39、个可取状态上，在一个可取状态上，偶数次偶数次转移时向右或上移转移时向右或上移 动动1-2格而落在格而落在一个可取状态上。为了区分起见一个可取状态上。为了区分起见 ,用用红红箭线表示箭线表示奇奇数次转移，数次转移，用用蓝蓝箭线表示第箭线表示第偶偶数数 次转移次转移,下图给出了一种可实现的方案下图给出了一种可实现的方案 , 故故 A(3,3)O(0,0)HW这这三三对夫妻是可以过河的对夫妻是可以过河的 。假如按。假如按这样的方案过这样的方案过 河河,共需经过共需经过十一十一次摆次摆渡。渡。 不难看出不难看出 ,在上述规则下在上述规则下,4对夫妻就无法过对夫妻就无法过河了河了,读者可以自行证明之读者
40、可以自行证明之.类似可以讨论船类似可以讨论船每次可载三人的情况每次可载三人的情况,其结果其结果 是是5对夫妻是对夫妻是可以过河的可以过河的,而而六六对以上时就对以上时就 无法过河无法过河了。了。 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院黑龙江科技学院数学建模数学建模商品占有率问题商品占有率问题有有 和和 两家公司经营同类产品，这两家公司相互两家公司经营同类产品，这两家公司相互竞争、每年竞争、每年 公司保持有公司保持有 的顾客，而的顾客，而 转移向转移向公司；每年公司；每年 公司保持有公司保持有 的顾客，而的顾客，而 转移向公转移向公司。当产品开始制造时司。当产品开始制造时 公司占有
41、公司占有 的市场份额，的市场份额，而而 公司占有公司占有 的市场份额。的市场份额。RSR4143S3231R53S52试问两年以后，两家公司所占有的市场份额变化试问两年以后，两家公司所占有的市场份额变化怎样？怎样？5年以后会怎样？年以后会怎样？10年以后呢？是否有一组年以后呢？是否有一组初始市场份额分配数据使一户每年的市场分配成为初始市场份额分配数据使一户每年的市场分配成为稳定不变？稳定不变？黑龙江科技学院数学建模数学建模投入产出模型投入产出模型 一个城镇由三个主要生产企业一个城镇由三个主要生产企业煤矿、电厂和地方铁路作为它的煤矿、电厂和地方铁路作为它的经济系统。已知生产价值经济系统。已知生产
42、价值1元的煤，需要消耗元的煤，需要消耗0.25元的电和元的电和0.35元的运输元的运输费；生产价值费；生产价值1元的电，需要消耗元的电，需要消耗0.40元的煤、元的煤、0.05元的电和元的电和0.10元的运元的运输费；而提供价值输费；而提供价值1元的铁路运输服务，则需要消耗元的铁路运输服务，则需要消耗0.45元的煤、元的煤、0.10元元的电和的电和0.10元的运输服务费。假设在某个星期内，除了这三个企业间的彼元的运输服务费。假设在某个星期内，除了这三个企业间的彼此需求，煤矿得到此需求，煤矿得到50000元的订单，电厂得到元的订单，电厂得到25000元的电量供应需求，元的电量供应需求，而地方铁路
43、得到价值而地方铁路得到价值30000元的运输需求。试问：这三个企业在这个星期元的运输需求。试问：这三个企业在这个星期各生产多少产值才能满足内外需求？除了外部需求，试求这星期各企业之各生产多少产值才能满足内外需求？除了外部需求，试求这星期各企业之间的消耗需求，同时求出各企业的新创造价值（即产值中去掉各企业的间的消耗需求，同时求出各企业的新创造价值（即产值中去掉各企业的消耗所剩部分）。消耗所剩部分）。 下面给出双亲体基因型的所有可能的结合，以及其后代形成下面给出双亲体基因型的所有可能的结合，以及其后代形成每种基因型的概率，如每种基因型的概率，如 表所示。表所示。 在常染色体遗传中，后代从每个亲体的
44、基因对中各继承一在常染色体遗传中，后代从每个亲体的基因对中各继承一个基因，形成自己的基因时，基因对也称为基因型。如果个基因，形成自己的基因时，基因对也称为基因型。如果我们所考虑的遗传特征是由两个基我们所考虑的遗传特征是由两个基 因因A和和a控制的，（控制的，（A、a为表示两类基因的符号）那么就有三种基因对，记为为表示两类基因的符号）那么就有三种基因对，记为AA，Aa，aa。 1000aa010Aa0001AA后后代代基基因因型型aaaaAaaaAaAaAAaaAAAaAAAA父体父体母体的基因型母体的基因型双亲随机结合的较一般模型相对比较复杂，这些我们仅研究双亲随机结合的较一般模型相对比较复杂
45、，这些我们仅研究一个较简单的特例一个较简单的特例 。 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院例例4.8 农场的植物园中某种植物的基因型农场的植物园中某种植物的基因型 为为AA,Aa和和aa。农场计划采用。农场计划采用 AA型的植物与每种基因型植物型的植物与每种基因型植物相结合的方案培育植物后代。那么经过若干年后，相结合的方案培育植物后代。那么经过若干年后，这种植物的任一代的三种基因型分布情况如何？这种植物的任一代的三种基因型分布情况如何？（a）假设假设：令：令n=0,1,2,。（i）设设an,bn和和cn分别表示第分别表示第n代植物中，基因型代植物中，基因型 为为AA,Aa和和a
46、a的植物占植物总数的百分比的植物占植物总数的百分比 。令。令x (n)为第为第n代植物的基因型分代植物的基因型分布：布： nnnncbax)(当当n=0时时 000)0(cbax表示植物基因型的表示植物基因型的初始分布（即培育初始分布（即培育开始时的分布）开始时的分布）例例3 农场的植物园中某种植物的基因型农场的植物园中某种植物的基因型 为为AA,Aa和和aa。农场计划采用。农场计划采用 AA型的植物与每种基因型植物相型的植物与每种基因型植物相结合的方案培育植物后代。那么经过若干年后，结合的方案培育植物后代。那么经过若干年后， 这这种植物的任一代的三种基因型分布情况如何？种植物的任一代的三种基
47、因型分布情况如何？ 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院（b）建模建模根据假设根据假设(ii)，先考虑第先考虑第n代中的代中的AA型。由于第型。由于第n1代的代的AA型与型与AA型结合。后代全部是型结合。后代全部是AA型；第型；第n1代的代的Aa型与型与AA型结合，后代是型结合，后代是AA型的可能性为型的可能性为 1/2，而，而 第第n1代的代的aa型与型与AA型结合，后代不可能型结合，后代不可能 是是AA型。因此当型。因此当n=1,2时时1110211 nnnncbaa1121 nnnbaa即即类似可推出类似可推出1121 nnncbbcn=0 显然有显然有（ii）第第n代的
48、分布与代的分布与 第第n1代的分布之间的关系是通过表确代的分布之间的关系是通过表确定的。定的。1000 cba(2)(3)(4) 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院(1)将将（2）、（）、（3）、（）、（4）式相加，得式相加，得111 nnnnnncbacba根据根据假设假设(I)，可递推得出：可递推得出：1000 cbacbannn对于对于(2)式式.(3)式和式和(4)式，我们采用矩阵形式简记为式，我们采用矩阵形式简记为, 2 , 1,)1()( nMxxnn其中其中 nnnncbaxM)(,00012100211（注：这里注：这里M为转移矩阵的位置）为转移矩阵的位置）
49、(5) 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院由由（5）式递推，得式递推，得)0()2(2)1()(xMxMMxxnnnn (6)（6）式给出第式给出第n代基因型的分布与初始分布的关系。代基因型的分布与初始分布的关系。为了计算出为了计算出Mn，我们将，我们将M对角化，即求出可逆矩对角化，即求出可逆矩 阵阵P和对角和对角库库D，使，使 M=PDP-1因而有因而有 Mn=PDnP-1, n=1,2,其中其中 nnnnD321321000 这里这里 ， ， 是矩是矩 阵阵M的三个特征值。对于的三个特征值。对于 (5)式中式中的的M，易求得它的特征值和特征向量：，易求得它的特征值和特征向
50、量： =1， =1/2， =01 2 3 1 2 3 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院因此因此 121 011 001,0000210001321eeeD所以所以 100210111321eeeP通过计算，通过计算，P-1=P，因此有，因此有)0(1)(xPPDxnn 000 100210111 0000210001 100210111cban 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模模 理学院理学院即即 00011)( 000212102112111cbacbaxnnnnnnnn 021212121010010000cbcbcbannnn 黑龙江科技学院 数数 学学 建建 模