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1、考点 28 与三角函数有关的应用题【知识框图】【自主热身，归纳总结】1、(2018 苏州期末）如图，两座建筑物 AB，CD 的高度分别是 9 m和 15 m，从建筑物 AB 的顶部 A 看建筑物CD 的张角CAD45，则这两座建筑物 AB 和 CD 的底部之间的距离 BD_m.【答案】18 【解析】设 BDx m，作 AHCD，垂足为 H，记HAC，HAD，则 45.因为tan6x，tan9x，且tan()1，得6x9x16x9x1，即 x215x540，即(x3)(x18)0，解得 x18.2.（2016 苏州期中）如图 1，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点从A点测得M点
2、的仰角MAN60，C点的仰角CAB45以及MAC75；从C点测得MCA60.已知山高BC100 m，则山高MN_m.【答案】150 【解析】根据图示，AC100 2 m.在MAC中，CMA180756045.由正弦定理得ACsin 45AMsin 60AM100 3 m.在AMN中，MNAMsin 60，MN100 332150(m)3.（2017 南通学情调研）如图 2，某住宅小区的平面图呈圆心角为 120的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了 2 分钟，从D沿着DC走到C用了 3 分钟.若此人步行的速度为每分钟 50 米，则该
3、扇形的半径为_米.【答案】750【解析】依题意得OD=100 米，CD=150 米，连接OC，易 知 ODC=180AOB=60，因 此 由 余 弦 定 理 有OC2=OD2+CD22ODCDcosODC，即OC2=10000+22500210015021 OC2=17 500，OC=50(米).4、(2019 南京、盐城二模）某公园内有一块以 O 为圆心、半径为 20 米的圆形区域为丰富市民的业余文化生活，现提出如下设计方案：如图，在圆形区域内搭建露天舞台，舞台为扇形 OAB 区域，其中两个端点 A，B 分别在圆周上；观众席为梯形 ABQP 内且在圆 O 外的区域，其中 APABBQ，PAB
4、QBA120，且AB，PQ 在点 O 的同侧，为保证视听效果，要求观众席内每一个观众到舞台 O 处的距离都不超过 60 米 设OAB，0，3.问：对于任意，上述设计方案是否均能符合要求？规范解答 过 O 作 OH 垂直于 AB，垂足为 H.在RtOHA 中，OA20，OAH，所以 AH20cos，因此 AB2AH40cos.(4 分)由图可知，点 P 处观众离点 O 处最远(5 分)在OAP 中，由余弦定理可知 OP2OA2AP22OAAPcos23(7 分)400(40cos)222040cos(12cos32sin)400(6cos22 3sincos1)400(3cos2 3sin24)
5、800 3sin231600.(10 分)因为 0，3，所以当 26时，即 12时，(OP2)max800 31600，即(OP)max20 320.(12 分)因为 20 32060，所以观众席内每一个观众到舞台 O 处的距离都不超过 60 米，(13 分)答：对于任意，上述设计方案均能符合要求(14 分)【问题探究，变式训练】题型一 设计中的最值问题 知识点拨：设计中的问题往往是确定点的位置或者长度的问题，遇到这种问题就是转化为数学问题，是否成立，关键要注意定义域，所求的值是否在定义域内，或者是否合理。例 1、(2019 泰州期末）如图，三个小区分别位于扇形 OAB 的三个顶点上，点 Q
6、是弧AB的中点现欲在线段OQ 上找一处开挖工作坑 P(不与点 O，Q 重合)，为小区铺设三条地下电缆管线 PO，PA，PB.已知 OA2 千米，AOB3.记APQrad，地下电缆管线的总长度为 y 千米(1)将 y 表示为 的函数，并写出 的范围；(2)请确定工作坑 P 的位置，使地下电缆管线的总长度最小 规范解答(1)因为点 Q 是弧 AB 的中点，所以AOP6，PAPB，因为APQ，所以APO，PAO6，在OPA 中，由正弦定理，得PAsin6OAsin（）OPsin6，即PA122sin（）OPsin6，所以 PA1sin，OP2sin6sin，(4 分)所以 yPOPAPB2sin6s
7、in1sin1sin2cossin 3，6，712.(7 分)(2)因为 y2cossin 3，6，712，所以 y12cossin2，令 y0，得 3，(10 分)当 6，3时，y0，所以当 3时，y 有极小值，且是最小值，此时 OP2sin6sin32 33.(13 分)答：(1)y2cossin 3，6，712.(2)当 OP 为2 33千米时，地下电缆管线的总长度最小(14 分)【变式 1】(2019 常州期末）某公园要设计如图一所示的景观窗格(其结构可以看成矩形在四个角处对称地截去四个全等的三角形所得，如图二中所示多边形 ABCDEFGH)，整体设计方案要求：内部井字形的两根水平横轴
8、 AFBE1.6 m，两根竖轴 CHDG1.2 m，记景观窗格的外框(如图二实线部分，轴和边框的粗细忽略不计)总长度为 l m.(1)若ABC23，且两根横轴之间的距离为 0.6 m，求景观窗格的外框总长度；(2)由于预算经费限制，景观窗格的外框总长度不超过 5 m，当景观窗格的面积(多边形 ABCDEFGH 的面积)最大时，给出此景观窗格的设计方案中ABC 的大小与 BC 的长度,图一),图二)规范解答(1)记 CH 与 AF，BE 的交点为 M，N.由ABC23可得BCN 中，CBN6，其中 CNHM12(1.20.6)0.3 m，所以 BCCNsinCBN0.3sin635 m，BNCN
9、tanCBN0.3tan63 310 m(2 分)所以 CDBE2BN1.63 3583 35 m，则 lABBCCDDEEFFGGHHA2AB2CD4BC1.2166 35125346 35 m，(5 分)所以景观窗格的外框总长度为346 35 m(6 分)(2)lABBCCDDEEFFGGHHA2AB2CD4BC5.同(1)设 CH 与 BE 交于点 N.设CBN，0，2，BCr，则 CNrsin，BNrcos，所以 ABCH2CN1.22rsin，CDBE2BN1.62rcos，所以 2(1.22rsin)2(1.62rcos)4r5，即 4r(sincos1)35.(8 分)设景观窗格
10、的面积为 S，有 S1.21.62r2sincos48259sincos200（sincos1）2(当且仅当4r(sincos1)35时取等号)(9 分)令 tsincos(1，2，则sincost212，所以 S48259t212200（t1）24825940012t1，其中 12t11221(当且仅当 t 2，即 4时取等号)(12 分)所以 S4825940012t148259400122148259400(32 2)7414009 2200，即 S7414009 2200(当且仅当 4r(sincos1)35且 4时取等号)，所以当 r3（21）20且 4时，S 取到最大值(15 分)
11、此时ABC2434，所以当景观窗格的面积最大时，此景观窗格的设计方案中ABC34且 BC3（21）20 m(16 分)【变式 2】(2018 苏州期末）如图，B，C 分别是海岸线上的两个城市，两城市间由笔直的海滨公路相连，B，C 之间的距离为 100 km，海岛 A 在城市 B 的正东方 50 km处从海岛 A 到城市 C，先乘船按北偏西 角(12，所以 0，2.(10 分)列表如下：(，0)0 0，2 f()0 f()极小值 (12 分)由上表可知，f(0)是极小值，也是最小值 此时，BP50tan0502 225 22.答：当登陆点 P 到 B 的距离为25 22km时，所用时间最少(14
12、 分)解后反思 实际上，只要确定 为何值时，S3cossin在，2上有最小值也有下列解法 由 3cosSsin(1，S)(cos，sin)1S2，得 S2 2，当且仅当(cos，sin)13，2 23时取等号 所以，当 0，2(其中锐角 0满足tan02 2)时，S 取得最小值 【变式 3】(2017 苏州暑假测试）如图，某城市小区有一个矩形休闲广场，AB20 m，广场的一角是半径为 16 m 的扇形BCE绿化区域，为了使小区居民能够更好地在广场休闲放松，现决定在广场上安置两排休闲椅，其中一排是穿越广场的双人靠背直排椅MN(宽度不计)，点M在线段AD上，并且与曲线CE相切；另一排为单人弧形椅沿
13、曲线CN(宽度不计)摆放已知双人靠背直排椅的造价为 2a元/m，单人弧形椅的造价为a元/m，记锐角NBE，总造价为W元(1)试将W表示为的函数W()，并写出 cos的取值范围；(2)如何选取点M的位置，能使总造价W最小？规范解答(1)过点N作AB的垂线，垂足为F；过M作NF的垂线，垂足为G.在 RtBNF中，BF16cos，则MG2016cos.在 RtMNG中，MN2016cossin.(4 分)由题意易得CN162，(6 分)因此，W()2a2016cossin16a2，(7 分)当点M与点A重合时，cos162045；当点M与点D重合时，cos0，故 cos0，45.(9 分)(2)W(
14、)16a8a45cossin2 8a2cos1cos2sin2.令W()0，cos12，因为0，2，所以3.(12 分)设锐角1满足 cos145，10，3.当1，3时，W()0，W()单调递减；当3，2时，W()0，W()单调递增(14 分)所以当3时，总造价W最小，最小值为16 383a元，此时MN8 3，NG4 3，NF8 3，因此当AM4 3 m 时，总造价最小(16 分)易错警示 解决应用题问题，以下几个方面是很容易导致失分的地方，要引起高度重视一是函数的定义域不能忘；二是有单位的问题，单位不能丢；三是要注意回到实际问题中去，即“答”不可少 【变式 4】(2017 镇江期末）如图，某
15、公园有三条观光大道AB，BC，AC围成的直角三角形，其中直角边BC200 m，斜边AB400 m现有甲、乙、丙三位小朋友分别在AB，BC，AC大道上嬉戏，所在位置分别记为点D，E，F.(1)若甲、乙都以每分钟 100 m 的速度从点B出发在各自的大道上奔走，到大道的另一端时即停，乙比甲迟 2 分钟出发，当乙出发 1 分钟后，求此时甲、乙两人之间的距离；(2)设CEF，乙、丙之间的距离是甲、乙之间距离的 2 倍，且DEF3，请将甲、乙之间的距离y表示为的函数，并求甲、乙之间的最小距离 规范解答(1)依题意得BD300，BE100.在ABC中，cosBBCAB12，所以B3.(2 分)在BDE中，
16、由余弦定理得DE2BD2BE22BDBEcosB3002100223001001270000，所以 DE1007.(6 分)答：甲、乙两人之间的距离为 100 7 m(7 分)(2)由题意得EF2DE2y，BDECEF，在 RtCEF中，CEEFcosCEF2ycos，(9 分)在BDE中，由正弦定理得BEsinBDEDEsinDBE，即2002ycossinysin60，所以 y100 33cossin50 3sin3，02，(12 分)所以当6时，y有最小值 50 3.(13 分)答：甲、乙之间的最小距离为 50 3 m(14 分)题型二 生产、生活中的最值问题 知识点拨：运用建模的思想把
17、实际问题转化为数学问题，解决应用题问题，以下几个方面是很容易导致失分的地方，要引起高度重视一是函数的定义域不能忘；二是有单位的问题，单位不能丢；三是要注意回到实际问题中去，即“答”不可少 例 2、(2019 通州、海门、启东期末）如图，某公园内有一块矩形绿地区域 ABCD，已知 AB100 米，BC80米，以 AD，BC 为直径的两个半圆内种花草，其它区域种植苗木现决定在绿地区域内修建由直路 BN，MN和弧形路 MD 三部分组成的观赏道路，其中直路 MN 与绿地区域边界 AB 平行，直路为水泥路面，其工程造价为每米 2a 元，弧形路为鹅卵石路面，其工程造价为每米 3a 元，修建的总造价为 W
18、元，设NBC02.(1)求 W 关于 的函数关系式；(2)如何修建道路，可使修建的总造价最少？并求最少总造价 思路分析 第 1 问，注意到成本与线路的长度有关，因此，本题的本质就是将线段 BN，MN 以及弧 DM表示为 的函数，BN 可以在直角三角形内求得，MN 可以用 AB 减去 2 倍的点 N 到 BC 的距离，难点在于求弧 DM 的长，注意到图形的对称性，可知弧 DM 所对的圆心角为 2，从而根据弧长公式求得 第 2 问，注意到所求的函数中即有 三角函数形式，又有 的一次形式，因此，应用导数求它的最值(1)连 NC，AM，设 AD 的中点为 O，连结 MQ，过 N 作 ENBC，垂足为
19、E.由 BC 为直径知，BNC90，又 BC80 米，NBC，所以 BN80 cos米，NEBN sin80 sincos，因为 MNAB，AB100 米，所以 MNAB2NE100160sincos米，由于DOM2MAD2，OM40 米 所以DM4020800 米，(4 分)因为直路的工程造价为每米 2a 元，弧形路的工程造价为每米 3a 元，所以总造价为 W2a(BNMN)3aDM 2a(80cos100160sincos)3a80 40a(4cos8sincos65)40a(4cos4sin265)02.(8 分)所以 W 关于 的函数关系式为 W40a(4cos8sincos65)02
20、.(2)设 f()4cos8sincos65，02.则 f()4sin8cos28sin26 16sin24sin2 2(4sin1)(2sin1)(10 分)令 f()0，得 6，列表如下：0，6 6 6，2 f()0 f()极小值 f6 所以，当 6时，f()取得最小值(14 分)此时，总造价 W 最少，最少总造价为(20040)a 元 答：(1)W 关于 的函数关系式为 W40a(4cos8sincos605)02；(2)当 6时，修建的总造价最少，最少总造价为(20040)a 元(16 分)【变式 1】(2019 宿迁期末）如图所示，桌面上方有一盏电灯 A，A 到桌面的距离 AO 可以
21、变化，桌面上有一点 B 到点 O 的距离为 a(a 为常数)，设ABO，灯 A 对点 B 的照度 J 与sin成正比、与 AB 长的平方成反比，且比例系数为正常数 k.(1)求灯 A 对点 B 的照度 J 关于 的函数关系式；(2)问电灯 A 与点 O 多远时，可使得灯 A 对点 B 的照度 J 最大？规范解答(1)由题知 JksinAB2(k 为正常数)(3 分)又 ABacos02，所以 Jksincos2a2ka2sin(1sin2)ka2(sinsin3)02.(6 分)(2)令 tsin，则 t(0，1)，所以 Jka2(tt3)(0t0，则 J 单调递增；当 t33，1 时，J0，
22、则 J 单调递减，(12 分)所以当 t33时，J 取得最大值，此时sin33，cos63，所以 OAOBtanasincos2a2时，J 取得最大值，答：当电灯 A 与点 O 的距离为2a2时，可使得灯 A 对点 B 的照度最大.(14 分)解后反思 当得到 J 关于 的关系式时，直接求导也可，但可能计算繁琐此时若能观察函数特征，适当变形、换元，会大大降低计处量，提高准确率 【变式 2】(2018 苏北四市期末）某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品，该礼品由玻璃球面和该球的内接圆锥组成，圆锥的侧面用于艺术装饰，如图 1，为了便于设计，可将该礼品看成是由圆 O 及其内接等腰三角形 ABC 绕底
23、边 BC 上的高所在直线 AO 旋转 180而成，如图 2，已知圆 O 的半径为 10 cm，设BAO，02，圆锥的侧面积为 S cm2.(1)求 S 关于 的函数关系式；(2)为了达到最佳观赏效果，要求圆锥的侧面积 S 最大，求 S 取得最大值时腰 AB 的长度（图 1）（图 2）思路分析(1)母线长 l 是 OA 在 AB 上的射影的两倍，可用 表示 底面半径 r 是 l 在底面上的射影，可用 l 和 表示从而 Srl 可用 表示；(2)求导数，找导函数的零点，列表确定极大值，唯一的极大值也是最大值 规范解答(1)设 AO 交 BC 于点 D，过 O 作 OEAB，垂足为 E.在AOE 中
24、，AE10cos，AB2AE20cos.(2 分)在ABD 中，BDABsin20cossin，(4 分)所以 S12220sincos20cos 400sincos202.(6 分)(2)由(1)得 S400sincos2400(sinsin3)(8 分)令 xsin(0 x1)，设 f(x)xx3，则 f(x)13x2，由 f(x)13x20 得 x33.当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x 0，33 33 33，1 f(x)0 f(x)极大值 所以 f(x)在 x33时取得极大值，也是最大值 所以当sin33时，侧面积 S 取得最大值，(11 分)此时等腰三角形的腰长
25、AB20cos20 1sin220133220 63(cm)答：侧面积 S 取得最大值时，等腰三角形的腰 AB 的长度为20 63cm.(14 分)【变式 3】(2018 苏锡常镇调研（一）如图，某景区内有一半圆形花圃，其直径 AB 为 6，O 是圆心，且 OCAB.在 OC 上有一座观赏亭 Q，其中AQC23.计划在BC上再建一座观赏亭 P，记POB00，且(0，)，所以当tan取最大值22时，也取得最大值 答：游客在观赏亭 P 处的观赏效果最佳时，sin33.(16 分)解法 2 记 Tcos3sin，0，2，则 3TcosTsin(1，T)(cos，sin)1T2，得 T22，当且仅当t
26、an22，即sin33时取等号(13 分)所以tan的最大值为22.显然tan0，所以当tan22时，取最大值 答：游客在观赏亭 P 处的观赏效果最佳时，sin33.(16 分)【变式 4】(2018 苏中三市、苏北四市三调）如图，某生态农庄内有一直角梯形区域ABCD，ABCD，ABBC，3AB 百米，2CD百米该区域内原有道路AC，现新修一条直道DP（宽度忽略不计），点P在道路AC上（异于A C，两点），6BACDPA，（1）用表示直道DP的长度；（2）计划在ADP区域内种植观赏植物，在CDP区域内种植经济作物已知种植观赏植物的成本为每平方百米2万元，种植经济作物的成本为每平方百米1万元，新
27、建道路DP的成本为每百米1万元，求以上三项费用总和的最小值 规范解答 （1）过点D作DD垂直于线段AB，垂足为D 在直角ABC中，因为ABBC，6BAC，3AB，所以3BC 在直角ADD中，因为1AD，3DD，所以2AD，则3sin2DAD，故3DAD，又6BAC，所以6DAP 2 分 在ADP中，由正弦定理得sinsin6ADDP=，所以1sinDP，566 6 分）（2）在ADP中，由正弦定理得sinsinAPADADP，所以52sin2sin6sinsinADPAP 所以552sinsin11166sinsin22sinsinsinAPDSAP PD 又112sin22sin3223AD
28、CSAD DCADC 所以5sin63sinDPCADCAPDSSS 8 分 设三项费用总和为()f，则55sin()sin()166()2(3)11sinsinsinf 5sin()163sin，566，1cos13 32sin2，566 10 分 所以21cos2()sinf，令()0f，则23 263，23 2536，()f 0 列表：所以23时，min()2 3f 答：以上三项费用总和的最小值为2 3万元 14 分【变式 5】(2017 苏州暑假测试）如图，某城市小区有一个矩形休闲广场，AB20 m，广场的一角是半径为 16 m 的扇形BCE绿化区域，为了使小区居民能够更好地在广场休闲
29、放松，现决定在广场上安置两排休闲椅，其中一排是穿越广场的双人靠背直排椅MN(宽度不计)，点M在线段AD上，并且与曲线CE相切；另一排为单人弧形椅沿曲线CN(宽度不计)摆放已知双人靠背直排椅的造价为 2a元/m，单人弧形椅的造价为a元/m，记锐角NBE，总造价为W元(1)试将W表示为的函数W()，并写出 cos的取值范围；(2)如何选取点M的位置，能使总造价W最小？规范解答(1)过点N作AB的垂线，垂足为F；过M作NF的垂线，垂足为G.在 RtBNF中，BF16cos，则MG2016cos.在 RtMNG中，MN2016cossin.(4 分)由题意易得CN162，(6 分)因此，W()2a20
30、16cossin16a2，(7 分)当点M与点A重合时，cos162045；当点M与点D重合时，cos0，故 cos0，45.(9 分)(2)W()16a8a45cossin2()f 2 3 8a2cos1cos2sin2.令W()0，cos12，因为0，2，所以3.(12 分)设锐角1满足 cos145，10，3.当1，3时，W()0，W()单调递减；当3，2时，W()0，W()单调递增(14 分)所以当3时，总造价W最小，最小值为16 383a元，此时MN8 3，NG4 3，NF8 3，因此当AM4 3 m 时，总造价最小(16 分)【变式 6】(2017 扬州期末）如图，矩形 ABCD
31、是一个历史文物展览厅的俯视图，点 E 在 AB 上，在梯形BCDE 区域内部展示文物，DE 是玻璃幕墙，游客只能在ADE 区域内参观在 AE 上点 P 处安装一可旋转的监控摄像头，MPN 为监控角，其中 M，N 在线段 DE(含端点)上，且点 M 在点 N 的右下方经测量得知：AD6 m，AE6 m，AP2 m，MPN4.记EPM(rad)，监控摄像头的可视区域PMN 的面积为 S m2.(1)求 S 关于 的函数关系式，并写出 的取值范围；参考数据：tan543(2)求 S 的最小值 规范解答(1)解法 1 在PME中，EPM，PEAEAP4 m，PEM4，PME34.由正弦定理得PMsin
32、PEMPEsinPME，所以PMPEsinPEMsinPME2 2sin344sincos.(2 分)同理在PNE中，由正弦定理得PNsinPENPEsinPNE，所以PNPEsinPENsinPNE2 2sin22 2cos，(4 分)所 以 PMN的 面 积S12PMPNsin MPN4cos2sincos41cos2212sin28sin2cos2182sin241.(8 分)当M与E重合时，0；当N与D重合时，tanAPD3，因为 tan543，所以即有APD54，3454，所以 03454.综上可得，S82sin241，0，3454.(10 分)解法 2 在PME中，EPM，PEAE
33、AP4 m，PEM4，PME34.由正弦定理可知MEsinPEsinPME，所以MEPEsinsinPME4sinsin344 2sinsincos.(2 分)在PNE中，由正弦定理可知NEsinEPNPEsinPNE，所以NEPEsin4sin24sin4cos2 2sincoscos，(4 分)所以MNNEME2 2cos2sincos.又点P到DE的距离为d4sin42 2，(6 分)所以PMN的面积S12MNd4cos2sincos41cos2212sin28sin2cos2182sin241.(8 分)以下同解法 1.(2)当 242，即80，3454时，S取得最小值为8218(21
34、)(13 分)所以可视区域PMN面积的最小值为 8(21)m2.(14 分)【变式 7】(2017 苏锡常镇调研（一）某单位将举办庆典活动，要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门BADC(如图)设计要求彩门的面积为S(单位：m2)，高为h(单位：m)(S，h为常数)彩门的下底BC固定在广场底面上，上底和两腰由不锈钢支架构成，设腰和下底的夹角为，不锈钢支架的长度之和记为l.(1)请将l表示成关于的函数lf()；(2)问：当为何值时l最小，并求最小值 规范解答(1)过D作DHBC于点H，则DCB02，DHh,设ADx.则DChsin，CHhtan，BCx2htan.(3 分)因为S12xx2htan
35、h，则 xShhtan，(5 分)则lf()2DCAD Shh2sin1tan02.(7 分)(2)f()h2cossin21sin2h12cossin2，(8 分)令f()h12cossin20，得3.(9 分)当变化时，f()，f()的变化情况如下表：0，3 3 3，2 f()0 f()极小值 所以lminf3 3hSh.(12 分)答：(1)l表示成关于的函数为lf()Shh2sin1tan02；(2)当3时，l有最小值，为 3hSh.(14 分)题型三 测量中的距离、高度问题 知识点拨:解决问题的关键是（1）画出示意图，将实际问题转化为三角问题；（2）明确所求的距离在哪个三角形中，有哪
36、些已知元素；（3）运用正余弦定理解决三角形 例 3、(2019 镇江期末）某房地产商建有三栋楼宇 A，B，C，三楼宇间的距离都为 2 千米，拟准备在此三楼宇围成的区域 ABC 外建第四栋楼宇 D，规划要求楼宇 D 对楼宇 B，C 的视角为 120，如图所示，假设楼宇大小高度忽略不计(1)求四栋楼宇围成的四边形区域 ABDC 面积的最大值；(2)当楼宇 D 与楼宇 B，C 间距离相等时，拟在楼宇 A，B 间建休息亭 E，在休息亭 E 和楼宇 A，D 间分别铺设鹅卵石路 EA 和防腐木路 ED，如图，已知铺设鹅卵石路、防腐木路的单价分别为 a，2a(单位：元/千米，a 为常数)记BDE，求铺设此鹅
37、卵石路和防腐木路的总费用的最小值 规范解答(1)因为三楼宇间的距离都为 2 千米，所以 ABACBC2.(1 分)因为楼宇 D 对楼宇 B，C 的视角为 120，所以BDC120.(2 分)在BDC 中，由 BC2BD2DC22BDDCcosBDC，得(3 分)22BD2CD22BDCDcos120BD2CD2BDCD2BDCDBDCD3BDCD.则 BDCD43，(4分)当且仅当 BDCD 时取等号，此时DBCDCB30，BDCD1cos302 33.(5 分)区域 ABDC 的面积 SSABCSBCD1222sin6012BDCDsin120 323324 33(平方千米)(7 分)(或者
38、：由上可得ABD，ACD 为全等的直角三角形，区域最大面积为 SSABDSACD2SABD212AB BD4 33(平方千米)所以区域 ABDC 面积的最大值为4 33.(7 分)(2)设铺设此鹅卵石路和防腐木路的总费用为 y 元 在RtBDE 中，由(1)知，BDCD2 33，BDE0，3，(8 分)则 DE2 33cos，BE2 33tan，AEABBE22 33tan，(9 分)所以 y2aEDaAE2a2 33cosa22 33tan 2 33a2sincos2a，0，3.(10分)记 f()2sincos，令 f()12sincos20，解得 60，3.(11 分)当 0，6时，f(
39、)0，函数 f()为增函数 所以当 6时，f()取最小值，此时 ymin4a(元)(14 分)【变式 1】(2019 扬州期末）为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形 ABCD.其中 AB3 百米，AD 5百米，且BCD 是以 D 为直角顶点的等腰直角三角形 拟修建两条小路 AC，BD(路的宽度忽略不计)，设BAD，2，.(1)当cos55时，求小路 AC 的长度；(2)当草坪 ABCD 的面积最大时，求此时小路 BD 的长度 规范解答(1)在ABD 中，AB3，AD 5，cos55.由余弦定理得，BD2AB2AD22ABADcos146 5cos1
40、4620，所以 BD2 5.(2 分)因为 2，所以sin 1cos215522 55.由正弦定理得BDsinBADABsinADB，即2 5253sinADB，解得sinADB35.因为BCD 是以 D 为直角顶点的等腰直角三角形，所以CDB2且 CDBD2 5，所以cosADCcosADB2sinADB35.(5 分)在ACD 中，由余弦定理得，AC2AD2DC22ADDCcosADC(5)2(2 5)22 52 53537，解得 AC 37.(7 分)(2)由(1)得，BD2146 5cos，SABCDSABDSBCD123 5sin12BD273 52sin35cos73 52(sin
41、2cos)7152sin()，此时sin25，cos15，且 0，2.(10 分)当 2时，四边形 ABCD 的面积最大，即 2，此时sin15，cos25，所以 BD2146 5cos146 52526，即 BD 26.(13 分)答：(1)当cos55时，小路 AC 的长度为 37百米；(2)草坪 ABCD 的面积最大时，小路 BD 的长度为 26百米(14 分)【变式 2】(2019 苏北三市期末）如图，某公园内有两条道路 AB，AP，现计划在 AP 上选择一点 C，新建道路 BC，并把ABC 所在的区域改造成绿化区域已知BAC6，AB2 km.(1)若绿化区域ABC 的面积为 1 km
42、2，求道路 BC 的长度；(2)若绿化区域ABC 改造成本为 10 万元/km2，新建道路 BC 成本为 10 万元/km.设ABC023，当 为何值时，该计划所需总费用最小？规范解答(1)因为在ABC 中，已知BAC6，AB2 km，所以由ABC 的面积 S12ABACsin61，解得 AC2.(2 分)在ABC 中，由余弦定理得 BC2AB2AC22ABACcos62222222cos684 3，(4分)所以 BC84 3(6 2)km.(5 分)(2)由ABC，则ACB6，023.在ABC 中，BAC6，AB2 km，由正弦定理得ACsinBBCsinAABsinACB，所以 BC1si
43、n6，AC2sinsin6.(7 分)记该计划所需费用为 F()，则 F()122sinsin6212101sin61010（sin1）sin6023.(10 分)令 f()sin132sin12cos，则 f()sin31232sin12cos2.(11 分)由 f()0，得 6.所以当 0，6时，f()0，f()单调递增.(12 分)所以 6时，该计划所需费用最小(14 分)易错警示 1.BC84 3或 6 2都算对；2.定义域端点要小心验证；3.求导要小心，单调性要说清楚；【变式 3】(2019 南通、泰州、扬州一调）如图 1，一艺术拱门由两部分组成，下部为矩形 ABCD，AB，AD 的
44、长分别为 2 3 m和 4 m，上部是圆心为 O 的劣弧 CD，COD23.(1)求图 1 中拱门最高点到地面的距离；(2)现欲以 B 点为支点将拱门放倒，放倒过程中矩形 ABCD 所在的平面始终与地面垂直，如图 2、图 3、图 4 所示设 BC 与地面水平线 l 所成的角为.记拱门上的点到地面的最大距离为 h，试用 的函数表示h，并求出 h 的最大值,图 1),图 2),图 3),图 4)【解】(1)如图，过 O 作与地面垂直的直线交 AB，CD 于点 O1，O2，交劣弧 CD 于点 P，O1P 的长即为拱门最高点到地面的距离 在RtO2OC 中，O2OC3，CO2 3，所以 OO21，圆的
45、半径 ROC2.所以 O1PROO1RO1O2OO25.答：拱门最高点到地面的距离为 5m.(4 分)(2)在拱门放倒过程中，过点 O 作与地面垂直的直线与“拱门外框上沿”相交于点 P.当点 P 在劣弧 CD 上时，拱门上的点到地面的最大距离 h 等于圆 O 的半径长与圆心 O 到地面距离之和；当点 P 在线段 AD 上时，拱门上的点到地面的最大距离 h 等于点 D 到地面的距离 由(1)知，在RtOO1B 中，OB OO21O1B22 3.以 B 为坐标原点，直线 l 为 x 轴，建立如图所示的坐标系 (2.1)当点 P 在劣弧 CD 上时，62.由OBx6，OB2 3，由三角函数定义，得
46、O(2 3cos(6)，2 3sin(6)，则 h22 3sin6.(8 分)所以当 62即 3时，h 取得最大值 22 3.(10 分)(2.2)当点 P 在线段 AD 上时，06.设CBD，在RtBCD 中，DB BC2CD22 7，sin2 32 7217，cos42 72 77.由DBx，得 D(2 7cos()，2 7sin()所以 h2 7sin()4sin2 3cos.(14 分)又当 04cos62 3sin6 30.所以 h4sin2 3cos在0，6上递增 所以当 6时，h 取得最大值 5.因为 22 35，所以 h 的最大值为 22 3.答：h4sin2 3cos，06，
47、22 3sin6，62；艺术拱门在放倒的过程中，拱门上的点到地面距离的最大值为(22 3)m.(16 分)【变式 4】(2018 无锡期末）如图，点 C 为某沿海城市的高速公路出入口，直线 BD 为海岸线，CAB3，ABBD，BC是以 A 为圆心，半径为 1 km的圆弧型小路该市拟修建一条从 C 通往海岸的观光专线CPPQ，其中 P 为BC上异于 B，C 的一点，PQ 与 AB 平行，设PAB.(1)证明：观光专线CPPQ 的总长度随 的增大而减小；(2)已知新建道路 PQ 的单位成本是翻新道路CP的单位成本的 2 倍当 取何值时，观光专线CPPQ 的修建总成本最低？请说明理由 规范解答 (1
48、)由题意，CAP3，所以CP3，又 PQABAPcos1cos，所以观光专线的总长度 f()31coscos31，03，(3 分)因为当 03时，f()1sin0)，则总成本 g()a322cos a2cos32，03，(8 分)g()a(12sin)，(9 分)令 g()0，得sin12，因为 03，所以 6，(10 分)当 06时，g()0，当60，(12 分)所以，当 6时，g()最小(13 分)答：当 6时，观光专线CPPQ 的修建总成本最低(14 分)【变式 5】(2018 镇江期末）如图，准备在墙上钉一个支架，支架由两直杆 AC 与 BD 焊接而成，焊接点D 把杆 AC 分成 AD
49、，CD 两段，其中两固定点 A，B 间距离为 1 米，AB 与杆 AC 的夹角为 60，杆 AC 长为 1 米 若制作 AD 段的成本为 a 元/米，制作 CD 段的成本是 2a 元/米，制作杆 BD 的成本是 4a 元/米设ADB，制作整个支架的总成本记为 S 元(1)求 S 关于 的函数表达式，并指出 的取值范围；(2)问 AD 段多长时，S 最小？规范解答(1)在ABD 中，由正弦定理得1sinBDsin3ADsin23，(1 分)所以 BD32sin，AD3cos2sin12，(3 分)则 S a3cos2sin12 2a13cos2sin12 4a32sin a4 3 3cos2si
50、n32，3，23.(7 分)(2)令 S 3a14cos2sin20，设cos014.(9 分)3，0 0 0，23 cos 14，12 14 12，14 S 0 S 单调递减 极小 单调递增 (11 分)所以当cos14时，S 最小，此时sin154，AD3cos2sin125 510.(12 分)答：(1)S 关于 的函数表达式为 Sa4 3 3cos2sin32，且 3，23；(2)当 AD5 510时，S 最小(14 分)【变式 6】(2017 无锡期末）某地拟在一个 U 形水面PABQ(AB90)上修一条堤坝EN(E在AP上，N在BQ上)，围出一个封闭区域EABN，用以种植水生植物为