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1、考点 28 与三角函数有关的应用题【知识框图】【自主热身，归纳总结】1、(2018 苏州期末）如图，两座建筑物 AB，CD 的高度分别是 9 m和 15 m，从建筑物 AB 的顶部 A 看建筑物 CD 的张角CAD45，则这两座建筑物 AB 和 CD 的底部之间的距离 BD_m.2.（2016 苏州期中）如图 1，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点从A点测得M点的仰角MAN60，C点的仰角CAB45以及MAC75；从C点测得MCA60.已知山高BC100 m，则山高MN_m.3.（2017 南通学情调研）如图 2，某住宅小区的平面图呈圆心角为 120的扇形AOB，C是该小区的
2、一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了 2 分钟，从D沿着DC走到C用了 3 分钟.若此人步行的速度为每分钟 50 米，则该扇形的半径为_米.4、(2019 南京、盐城二模）某公园内有一块以 O 为圆心、半径为 20 米的圆形区域为丰富市民的业余文化生活，现提出如下设计方案：如图，在圆形区域内搭建露天舞台，舞台为扇形 OAB 区域，其中两个端点 A，B 分别在圆周上；观众席为梯形 ABQP 内且在圆 O 外的区域，其中 APABBQ，PABQBA120，且 AB，PQ 在点 O 的同侧，为保证视听效果，要求观众席内每一个观众到舞台 O 处的距离都不超过 6
3、0 米设OAB，0，3.问：对于任意，上述设计方案是否均能符合要求？【问题探究，变式训练】题型一 设计中的最值问题 知识点拨：设计中的问题往往是确定点的位置或者长度的问题，遇到这种问题就是转化为数学问题，是否成立，关键要注意定义域，所求的值是否在定义域内，或者是否合理。例 1、(2019 泰州期末）如图，三个小区分别位于扇形 OAB 的三个顶点上，点 Q 是弧AB的中点现欲在线段 OQ 上找一处开挖工作坑 P(不与点 O，Q 重合)，为小区铺设三条地下电缆管线 PO，PA，PB.已知 OA2 千米，AOB3.记APQrad，地下电缆管线的总长度为 y 千米(1)将 y 表示为 的函数，并写出
4、的范围；(2)请确定工作坑 P 的位置，使地下电缆管线的总长度最小 【变式 1】(2019 常州期末）某公园要设计如图一所示的景观窗格(其结构可以看成矩形在四个角处对称地截去四个全等的三角形所得，如图二中所示多边形 ABCDEFGH)，整体设计方案要求：内部井字形的两根水平横轴 AFBE1.6 m，两根竖轴 CHDG1.2 m，记景观窗格的外框(如图二实线部分，轴和边框的粗细忽略不计)总长度为 l m.(1)若ABC23，且两根横轴之间的距离为 0.6 m，求景观窗格的外框总长度；(2)由于预算经费限制，景观窗格的外框总长度不超过 5 m，当景观窗格的面积(多边形 ABCDEFGH 的面积)最
5、大时，给出此景观窗格的设计方案中ABC 的大小与 BC 的长度,图一),图二)【变式 2】(2018 苏州期末）如图，B，C 分别是海岸线上的两个城市，两城市间由笔直的海滨公路相连，B，C 之间的距离为 100 km，海岛 A 在城市 B 的正东方 50 km处从海岛 A 到城市 C，先乘船按北偏西 角(2，其中锐角的正切值为12)航行到海岸公路P处登陆，再换乘汽车到城市C.已知船速为25 km/h，车速为 75 km/h.(1)试建立由 A 经 P 到 C 所用时间关于 的函数解析式；(2)试确定登陆点 P 的位置，使所用时间最少，并说明理由 .【变式 3】(2017 苏州暑假测试）如图，某
6、城市小区有一个矩形休闲广场，AB20 m，广场的一角是半径为 16 m 的扇形BCE绿化区域，为了使小区居民能够更好地在广场休闲放松，现决定在广场上安置两排休闲椅，其中一排是穿越广场的双人靠背直排椅MN(宽度不计)，点M在线段AD上，并且与曲线CE相切；另一排为单人弧形椅沿曲线CN(宽度不计)摆放已知双人靠背直排椅的造价为 2a元/m，单人弧形椅的造价为a元/m，记锐角NBE，总造价为W元(1)试将W表示为的函数W()，并写出 cos的取值范围；(2)如何选取点M的位置，能使总造价W最小？【变式 4】(2017 镇江期末）如图，某公园有三条观光大道AB，BC，AC围成的直角三角形，其中直角边B
7、C200 m，斜边AB400 m现有甲、乙、丙三位小朋友分别在AB，BC，AC大道上嬉戏，所在位置分别记为点D，E，F.(1)若甲、乙都以每分钟 100 m 的速度从点B出发在各自的大道上奔走，到大道的另一端时即停，乙比甲迟 2 分钟出发，当乙出发 1 分钟后，求此时甲、乙两人之间的距离；(2)设CEF，乙、丙之间的距离是甲、乙之间距离的 2 倍，且DEF3，请将甲、乙之间的距离y表示为的函数，并求甲、乙之间的最小距离 题型二 生产、生活中的最值问题 知识点拨：运用建模的思想把实际问题转化为数学问题，解决应用题问题，以下几个方面是很容易导致失分的地方，要引起高度重视一是函数的定义域不能忘；二是
8、有单位的问题，单位不能丢；三是要注意回到实际问题中去，即“答”不可少 例 2、(2019 通州、海门、启东期末）如图，某公园内有一块矩形绿地区域 ABCD，已知 AB100 米，BC80 米，以 AD，BC 为直径的两个半圆内种花草，其它区域种植苗木现决定在绿地区域内修建由直路 BN，MN 和弧形路 MD 三部分组成的观赏道路，其中直路 MN 与绿地区域边界 AB 平行，直路为水泥路面，其工程造价为每米 2a 元，弧形路为鹅卵石路面，其工程造价为每米 3a 元，修建的总造价为 W 元，设NBC02.(1)求 W 关于 的函数关系式；(2)如何修建道路，可使修建的总造价最少？并求最少总造价 【变
9、式 1】(2019 宿迁期末）如图所示，桌面上方有一盏电灯 A，A 到桌面的距离 AO 可以变化，桌面上有一点 B 到点 O 的距离为 a(a 为常数)，设ABO，灯 A 对点 B 的照度 J 与sin成正比、与 AB 长的平方成反比，且比例系数为正常数 k.(1)求灯 A 对点 B 的照度 J 关于 的函数关系式；(2)问电灯 A 与点 O 多远时，可使得灯 A 对点 B 的照度 J 最大？【变式 2】(2018 苏北四市期末）某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品，该礼品由玻璃球面和该球的内接圆锥组成，圆锥的侧面用于艺术装饰，如图 1，为了便于设计，可将该礼品看成是由圆 O 及其内接等腰三角
10、形 ABC 绕底边 BC 上的高所在直线 AO 旋转 180而成，如图 2，已知圆 O 的半径为 10 cm，设BAO，02，圆锥的侧面积为 S cm2.(1)求 S 关于 的函数关系式；(2)为了达到最佳观赏效果，要求圆锥的侧面积 S 最大，求 S 取得最大值时腰 AB 的长度（图 1）（图 2）【变式 3】(2018 苏锡常镇调研（一）如图，某景区内有一半圆形花圃，其直径 AB 为 6，O 是圆心，且OCAB.在 OC 上有一座观赏亭 Q，其中AQC23.计划在BC上再建一座观赏亭 P，记POB02.(1)当 3时，求OPQ 的大小；(2)当OPQ 越大时，游客在观赏亭 P 处的观赏效果越
11、佳，求游客在观赏亭 P 处的观赏效果最佳时，角 的正弦值 【变式 4】(2018 苏中三市、苏北四市三调）如图，某生态农庄内有一直角梯形区域ABCD，ABCD，ABBC，3AB百米，2CD百米该区域内原有道路AC，现新修一条直道DP（宽度忽略不计），点P在道路AC上（异于A C，两点），6BACDPA，（1）用表示直道DP的长度；（2）计划在ADP区域内种植观赏植物，在CDP区域内种植经济作物已知种植观赏植物的成本为每平方百米2万元，种植经济作物的成本为每平方百米1万元，新建道路DP的成本为每百米1万元，求以上三项费用总和的最小值 【变式 5】(2017 苏州暑假测试）如图，某城市小区有一个矩
12、形休闲广场，AB20 m，广场的一角是半径为 16 m 的扇形BCE绿化区域，为了使小区居民能够更好地在广场休闲放松，现决定在广场上安置两排休闲椅，其中一排是穿越广场的双人靠背直排椅MN(宽度不计)，点M在线段AD上，并且与曲线CE相切；另一排为单人弧形椅沿曲线CN(宽度不计)摆放已知双人靠背直排椅的造价为 2a元/m，单人弧形椅的造价为a元/m，记锐角NBE，总造价为W元(1)试将W表示为的函数W()，并写出 cos的取值范围；(2)如何选取点M的位置，能使总造价W最小？【变式 6】(2017 扬州期末）如图，矩形 ABCD 是一个历史文物展览厅的俯视图，点 E 在 AB 上，在梯形BCDE
13、 区域内部展示文物，DE 是玻璃幕墙，游客只能在ADE 区域内参观在 AE 上点 P 处安装一可旋转的监控摄像头，MPN 为监控角，其中 M，N 在线段 DE(含端点)上，且点 M 在点 N 的右下方经测量得知：AD6 m，AE6 m，AP2 m，MPN4.记EPM(rad)，监控摄像头的可视区域PMN 的面积为 S m2.(1)求 S 关于 的函数关系式，并写出 的取值范围；参考数据：tan543(2)求 S 的最小值 【变式 7】(2017 苏锡常镇调研（一）某单位将举办庆典活动，要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门BADC(如图)设计要求彩门的面积为S(单位：m2)，高为h(单位：m)(
14、S，h为常数)彩门的下底BC固定在广场底面上，上底和两腰由不锈钢支架构成，设腰和下底的夹角为，不锈钢支架的长度之和记为l.(1)请将l表示成关于的函数lf()；(2)问：当为何值时l最小，并求最小值 题型三 测量中的距离、高度问题 知识点拨:解决问题的关键是（1）画出示意图，将实际问题转化为三角问题；（2）明确所求的距离在哪个三角形中，有哪些已知元素；（3）运用正余弦定理解决三角形 例 3、(2019 镇江期末）某房地产商建有三栋楼宇 A，B，C，三楼宇间的距离都为 2 千米，拟准备在此三楼宇围成的区域 ABC 外建第四栋楼宇 D，规划要求楼宇 D 对楼宇 B，C 的视角为 120，如图所示，
15、假设楼宇大小高度忽略不计(1)求四栋楼宇围成的四边形区域 ABDC 面积的最大值；(2)当楼宇 D 与楼宇 B，C 间距离相等时，拟在楼宇 A，B 间建休息亭 E，在休息亭 E 和楼宇 A，D 间分别铺设鹅卵石路 EA 和防腐木路 ED，如图，已知铺设鹅卵石路、防腐木路的单价分别为 a，2a(单位：元/千米，a 为常数)记BDE，求铺设此鹅卵石路和防腐木路的总费用的最小值 【变式 1】(2019 扬州期末）为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形 ABCD.其中 AB3 百米，AD 5百米，且BCD 是以 D 为直角顶点的等腰直角三角形拟修建两条小路
16、AC，BD(路的宽度忽略不计)，设BAD，2，.(1)当cos55时，求小路 AC 的长度；(2)当草坪 ABCD 的面积最大时，求此时小路 BD 的长度 【变式 2】(2019 苏北三市期末）如图，某公园内有两条道路 AB，AP，现计划在 AP 上选择一点 C，新建道路 BC，并把ABC 所在的区域改造成绿化区域已知BAC6，AB2 km.(1)若绿化区域ABC 的面积为 1 km2，求道路 BC 的长度；(2)若绿化区域ABC改造成本为10万元/km2，新建道路BC成本为10万元/km.设ABC023，当 为何值时，该计划所需总费用最小？【变式 3】(2019 南通、泰州、扬州一调）如图
17、1，一艺术拱门由两部分组成，下部为矩形 ABCD，AB，AD的长分别为 2 3 m和 4 m，上部是圆心为 O 的劣弧 CD，COD23.(1)求图 1 中拱门最高点到地面的距离；(2)现欲以 B 点为支点将拱门放倒，放倒过程中矩形 ABCD 所在的平面始终与地面垂直，如图 2、图 3、图 4 所示设 BC 与地面水平线 l 所成的角为.记拱门上的点到地面的最大距离为 h，试用 的函数表示h，并求出 h 的最大值,图 1),图 2),图 3),图 4)【变式 4】(2018 无锡期末）如图，点 C 为某沿海城市的高速公路出入口，直线 BD 为海岸线，CAB3，ABBD，BC是以 A 为圆心，半
18、径为 1 km的圆弧型小路该市拟修建一条从 C 通往海岸的观光专线CPPQ，其中 P 为BC上异于 B，C 的一点，PQ 与 AB 平行，设PAB.(1)证明：观光专线CPPQ 的总长度随 的增大而减小；(2)已知新建道路 PQ 的单位成本是翻新道路CP的单位成本的 2 倍当 取何值时，观光专线CPPQ 的修建总成本最低？请说明理由 【变式 5】(2018 镇江期末）如图，准备在墙上钉一个支架，支架由两直杆 AC 与 BD 焊接而成，焊接点 D把杆 AC 分成 AD，CD 两段，其中两固定点 A，B 间距离为 1 米，AB 与杆 AC 的夹角为 60，杆 AC 长为 1 米 若制作 AD 段的
19、成本为 a 元/米，制作 CD 段的成本是 2a 元/米，制作杆 BD 的成本是 4a 元/米设ADB，制作整个支架的总成本记为 S 元(1)求 S 关于 的函数表达式，并指出 的取值范围；(2)问 AD 段多长时，S 最小？【变式 6】(2017 无锡期末）某地拟在一个 U 形水面PABQ(AB90)上修一条堤坝EN(E在AP上，N在BQ上)，围出一个封闭区域EABN，用以种植水生植物为美观起见，决定从AB上点M处分别向点E，N拉 2 条分隔线ME，MN将所围区域分成 3 个部分(如图)，每部分种植不同的水生植物已知ABa，EMBM，MEN90，设所拉分隔线总长度为l.(1)设AME2，求用
20、表示l的函数表达式，并写出定义域；(2)求l的最小值 【变式 7】(2017 苏北四市一模）某城市有一直角梯形绿地ABCD，其中ABCBAD90，ADDC2 km，BC1 km.现过边界CD上的点E处铺设一条直的灌溉水管EF，将绿地分成面积相等的两部分(1)如图，若E为CD的中点，F在边界AB上，求灌溉水管EF的长度；(2)如图，若F在边界AD上，求灌溉水管EF的最短长度 【变式 8】(2017 徐州、连云港、宿迁三检）某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图所示圆O的圆心与矩形ABCD对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切(E为上切点)，与左右两边相交(F，G为其中两个交点)，图中阴影部分为
21、不透光区域，其余部分为透光区域已知圆的半径为 1m，且12ABAD设EOF，透光区域的面积为S（1）求S关于的函数关系式，并求出定义域；（2）根据设计要求，透光区域与矩形窗面的面积比值 越大越好当该比值最大时，求边AB的长度 【变式 9】(2017 南京三模）在一水域上建一个演艺广场演艺广场由看台，看台，三角形水域ABC，及矩形表演台BCDE四个部分构成（如图）看台，看台是分别以AB，AC为直径的两个半圆形区域，且看台的面积是看台的面积的 3 倍；矩形表演台BCDE中，CD10 米；三角形水域ABC的面积为 400 3平方米设BAC（1）求BC的长（用含的式子表示）；（2）若表演台每平方米的造价为 0.3 万元，求表演台的最低造价