《2020年高考数学二轮优化提升专题训练考点27与基本不等式有关的应用题(解析版)5388.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020年高考数学二轮优化提升专题训练考点27与基本不等式有关的应用题(解析版)5388.pdf（12页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、考点 27 与基本不等式有关的应用题【知识框图】【自主热身，归纳总结】1、（2017 江苏高考）某公司一年购买某种货物 600 吨，每次购买x吨，运费为 6 万元/次，一年的总存储费用为4x万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则x的值是 .答案 30 解析 总费用600900464()xxxx240，当且仅当900 xx，即30 x 时等号成立.2、(2016 常州期末）某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为 900 m2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔 1 m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留 1 m
2、宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左、右内墙保留 3 m宽的通道，如图设矩形温室的室内长为x(m)，三块种植植物的矩形区域的总面积为S(m2)(1)求S关于x的函数关系式；(2)求S的最大值 规范解答(1)由题设得S(x8)900 x2 2x7 200 x916，x(8,450)(6 分)(2)因为 8x450，所以 2x7 200 x2 2x7 200 x240，(8 分)当且仅当x60 时等号成立(10 分)从而S676.(12 分)答：当矩形温室的室内长为 60 m 时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为 676 m2.(14 分)3、(2016 无锡期末）某公司生产的某批
3、产品的销售量P万件(生产量与销售量相等)与促销费用x万元满足Px24(其中 0 xa，a为正常数)已知生产该批产品还需投入成本 6P1P万元(不含促销费用)，产品的销售价格定为420P元/件(1)将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；(2)当促销费用投入多少万元时，该公司的利润最大？规范解答(1)由题意知，y420PPx6P1P.(3 分)将Px24代入化简得 y1924x232x(0 xa)(5 分)(2)y223216x2x2 22316x2x210，当且仅当16x2x2，即x2 时，上式取等号(8 分)所以当a2 时，促销费用投入 2 万元时，厂家的利润最大；(9 分)由y19
4、24x232x，得y24x2232，当x0，此时函数y在0,2上单调递增，所以当a2 时，函数y在0，a上单调递增，(11 分)所以当xa时，函数有最大值 即促销费用投入a万元时，厂家的利润最大(12 分)综上，当a2 时，促销费用投入 2 万元，厂家的利润最大；当a2 时，促销费用投入a万元，厂家的利润最大(14 分)【问题探究，变式训练】题型一 利用基本不等式解决与平面图形有关的问题 知识点拨：在利用基本不等式求函数的最值时，一定要注意验证基本不等式成立的三个条件，即一正二定三相等如果等号成立的条件不具备，就应该研究函数的单调性来求函数的最值 例 1、(2017 南通一调）如图，某机械厂要
5、将长 6 m，宽 2 m 的长方形铁皮ABCD进行裁剪已知点F为AD的中点，点E在边BC上，裁剪时先将四边形CDFE沿直线EF翻折到MNFE处(点C，D分别落在直线BC下方点M，N处，FN交边BC于点P)，再沿直线PE裁剪(1)当EFP4时，试判断四边形MNPE的形状，并求其面积；(2)若使裁剪得到的四边形MNPE面积最大，请给出裁剪方案，并说明理由 规范解答(1)当EFP4时，由条件得 EFPEFDFEP4.所以FPE2.所以FNBC，四边形MNPE为矩形(3 分)所以四边形MNPE的面积SPNMN2(m2).(5 分)(2)解法 1 设EFD02，由条件，知EFPEFDFEP.所以PF2s
6、in22sin2，NPNFPF32sin2，ME32tan.(8 分)由 32sin20，32tan0，02，得 sin223，tan23，02.(*)所以四边形MNPE面积为 S12(NPME)MN 1232sin232tan2 62tan2sin2 62tan222 sincos2sincos 6tan3tan(12 分)62tan3tan62 3.当且仅当 tan3tan，即 tan 3，3时取“”(14 分)此时，(*)成立 答：当EFD3时，沿直线PE裁剪，四边形MNPE面积最大，最大值为(62 3)m2.(16 分)【变式 1】（2016 南京学情调研）如图，某小区拟在空地上建一个
7、占地面积为 2400m2的矩形休闲广场，按照设计要求，休闲广场中间有两个完全相同的矩形绿化区域，周边及绿化区域之间是道路(图中阴影部分)，道路的宽度均为 2m.怎样设计矩形休闲广场的长和宽，才能使绿化区域的总面积最大？并求出其最大面积 规范解答 设休闲广场的长为xm，则宽为2 400 x m，绿化区域的总面积为Sm2，则 S(x6)2 400 x4(6 分)24244x62 400 x 2 4244x3 600 x，x(6,600)(8 分)因为x(6,600)，所以x3 600 x2x3 600 x120，当且仅当x3 600 x，即x60 时取等号(12分)此时S取得最大，最大值为 194
8、4.答：当休闲广场的长为 60m，宽为 40m 时，绿化区域总面积最大值，最大面积为 1 944m2.(14 分)【变式 2】(2016 镇江期末）如图，某工业园区是半径为 10km 的圆形区域，离园区中心O点 5km 处有一中转站P，现准备在园区内修建一条笔直公路AB经过中转站，公路AB把园区分成两个区域(1)设中心O对公路AB的视角为，求的最小值，并求较小区域面积的最小值；(2)为方便交通，准备过中转站P在园区内再修建一条与AB垂直的笔直公路CD，求两条公路长度和的最小值 规范解答 (1)如图 1，作OHAB，设垂足为H，记OHd，2AOH，因为 cosAOHd10，(1 分)要使有最小值
9、，只需要d有最大值，结合图像可得，dOP5 km，(3 分)当且仅当ABOP时，dmax5 km.此时min2AOH2323.(4 分)设AB把园区分成两个区域，其中较小区域面积记为S，由题意得Sf()S扇形SAOB50(sin)，(6 分)f()50(1cos)0 恒成立，所以f()为增函数，(7 分)所以Sminf23502332 km2.(8 分)答：视角的最小值为23，较小区域面积的最小值是 502332km2.(9 分)图 1 (2)如图 2，过O分别作OHAB，OH1CD，垂足分别是H，H1，记OHd1，OH1d2，由(1)可知d10,5，所以d21d22OP225，且d2225d
10、21，(10 分)因为AB2 100d21，CD2 100d22，所以ABCD2(100d21 100d22)2(100d21 75d21)，(11 分)记L(d1)ABCD2(100d21 75d21)，可得L2(d1)4175 2211210075dd，(12 分)由d210,25，可知d210 或d2125 时，L2(d1)的最小值是 100(74 3)，从而ABCD的最小值是(2010 3)km.(13 分)答：两条公路长度和的最小值是(2010 3)km.(14 分)图 2 解后反思(1)主要利用OP为定值这一条件，从而根据垂径定理得出取得最值的特殊位置来解题；(2)利用OP为定值和
11、勾股定理构造基本不等式解题【变式 3】(2017 南京、盐城二模）在一张足够大的纸板上截取一个面积为 3 600 平方厘米的矩形纸板ABCD，然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒(如图)设小正方形边长为x厘米，矩形纸板的两边AB，BC的长分别为a厘米和b厘米，其中ab.(1)当a90 时，求纸盒侧面积的最大值；(2)试确定a，b，x的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值 思路分析(1)纸盒侧面积S(x)是关于x的函数，即求S(x)max.(2)先猜想并证明ab时，底面积取最大，这样问题变为求体积关于x的函数的最大值 规范解答(1)当a9
12、0 时，b40，纸盒的底面矩形的长为 902x，宽为 402x，周长为 2608x.所以纸盒的侧面积S(x)(2608x)x8x2260 x，其中x(0,20)，(3 分)故S(x)maxS6544 2252.答：当a90 时，纸盒侧面积的最大值为4 2252平方厘米(6 分)(2)纸盒的体积V(a2x)(b2x)x，其中x0，b2，ab0，且ab3 600.(8 分)因为(a2x)(b2x)ab2(ab)x4x2ab4abx4x24(x260 x900)，当且仅当ab60 时取等号，所以V4(x360 x2900 x)，x(0,30)(10 分)记f(x)4(x360 x2900 x)，x(
13、0,30)，则f(x)12(x10)(x30)，令f(x)0，得x10，列表如下：x(0,10)10(10,30)f(x)0 f(x)极大值 由上表可知，f(x)的极大值是f(10)16 000，也是最大值(12 分)答：当ab60，且x10 时，纸盒的体积最大，最大值为 16 000 立方厘米(14 分)【变式 4】(2016 盐城三模）一位创业青年租用了一块边长为 1 百米的正方形田地ABCD来养蜂、产蜜与售蜜，他在正方形的边BC，CD上分别取点E，F(不与正方形的顶点重合)，连结AE，EF，FA，使得EAF45.现拟将图中阴影部分规划为蜂源植物生长区，AEF部分规划为蜂巢区，CEF部分规
14、划为蜂蜜交易区.若蜂源植物生长区的投入约为 2105元/百米2，蜂巢区与蜂蜜交易区的投入约为 105元/百米2，则这三个区域的总投入最少需要多少元？规范解答 设阴影部分面积为S，三个区域的总投入为T.则T2105S105(1S)105(S1)，从而只要求S的最小值即可(2 分)设EAB(045)，在ABE中，因为AB1，B90，所以BEtan，则SABE12ABBE12tan，(4 分)又DAF45，同理得SADF12tan(45)，(6 分)所以S12tantan(45)12tan1tan1tan，(8 分)令xtan(0,1)，S12x1x1x 12xx1x112x2x11(10 分)12
15、2121xx12(2 22)21，当且仅当x12x1，即x 21 时取等号(12 分)从而三个区域的总投入T的最小值约为 2105元(14 分)题型二 利用基本不等式解决利润的最值问题 知识点拨：与利润有关的问题关键是要认真审题，只有在审题的基础上才可以正确列出函数的解析式，要特别注意函数的定义域和单位的统一。例 2、(2019 南京学情调研）销售甲种商品所得利润是 P 万元，它与投入资金 t 万元的关系有经验公式 Patt1；销售乙种商品所得利润是 Q 万元，它与投入资金 t 万元的关系有经验公式 Qbt，其中 a，b 为常数现将 3 万元资金全部投入甲、乙两种商品的销售；若全部投入甲种商品
16、，所得利润为94万元；若全部投入乙种商品，所得利润为 1 万元若将 3 万元资金中的 x 万元投入甲种商品的销售，余下的投入乙种商品的销售，则所得利润总和为 f(x)万元(1)求函数 f(x)的解析式；(2)怎样将 3 万元资金分配给甲、乙两种商品，才能使得利润总和最大，并求最大值 规范解答 (1)由题意 Patt1，Qbt，故当 t3 时，P3a3194，Q3b1.(3 分)解得 a3，b13.(5 分)所以 P3tt1，Q13t.从而 f(x)3xx13x3，x.(7 分)(2)由(1)可得 f(x)3xx13x31333x1x13.(9 分)因为 x，所以 x1，故3x1x132，当且仅
17、当3x1x13，即 x2 时取等号从而 f(x)133273.(11 分)所以 f(x)的最大值为 73.答：分别投入 2 万元、1 万元销售甲、乙两种商品时，所得利润总和最大，最大利润是73万元(14 分)【变式 1】(2018 南京学情调研）某工厂有 100 名工人接受了生产 1000 台某产品的总任务，每台产品由9 个甲型装置和 3 个乙型装置配套组成，每个工人每小时能加工完成 1 个甲型装置或 3 个乙型装置现将工人分成两组分别加工甲型和乙型装置设加工甲型装置的工人有 x 人，他们加工完甲型装置所需时间为 t1小时，其余工人加工完乙型装置所需时间为 t2小时设 f(x)t1t2.(1)
18、求 f(x)的解析式，并写出其定义域；(2)当 x 等于多少时，f(x)取得最小值？思路分析 本题分为两个阶段：建模和解模，建模阶段就是用自变量 x 表示时间 t1，t2.解模阶段就是根据解析式 f(x)1 0009x1100 x求出最小值，思路 1，分母的和为常数，运用“11100 x(100 x)”的代入法；思路 2，用导数求最值 规范解答(1)因为 t19 000 x，(2 分)t23 0003（100 x）1 000100 x，(4 分)所以 f(x)t1t29 000 x1 000100 x，(5 分)定义域为x|1x99，xN*(6 分)(2)解法 1(基本不等式)f(x)1 00
19、0(9x1100 x)10 x(100 x)9x1100 x10109（100 x）xx100 x(10 分)因为 1x99，xN*，所以9（100 x）x0，x100 x0，所以9（100 x）xx100 x29（100 x）xx100 x6，(12 分)当且仅当9（100 x）xx100 x，即当x75 时取等号(13 分)答：当x75 时，f(x)取得最小值(14 分)解法 2(导数)f(x)9 000 x21 000（100 x）2，令 f(x)0 得，x75，xN*(10 分)当x(0，75)时，f(x)0，(13 分)故当x75 时，f(x)取得最小值(14 分)易错警示 本题要注
20、意定义域的书写，人只能是正整数个，即 xN*.一般地，求解函数解析式时，必须给出定义域，否则高考阅卷时会扣分，即便在后面列表中有范围，也没有用 【变式 2】(2018 扬州期末）如图，射线 OA 和 OB 均为笔直的公路，扇形 OPQ 区域(含边界)是一蔬菜种植园，其中 P，Q 分别在射线 OA 和 OB 上经测量得，扇形 OPQ 的圆心角(即POQ)为23、半径为 1 千米，为了方便菜农经营，打算在扇形 OPQ 区域外修建一条公路 MN，分别与射线 OA，OB 交于 M，N 两点，并要求MN 与扇形弧PQ相切于点 S.设POS(单位：弧度)，假设所有公路的宽度均忽略不计(1)试将公路 MN
21、的长度表示为 的函数，并写出 的取值范围；(2)试确定 的值，使得公路 MN 的长度最小，并求出其最小值 规范解答(1)因为 MN 与扇形弧PQ相切于点 S，所以 OSMN.在RtOSM 中，因为 OS1，MOS，所以 SMtan.在RtOSN 中，NOS23，所以 SNtan23，所以 MNtantan23 3（tan21）3tan1，(4 分)其中62.(6 分)(2)解法 1(基本不等式)因为60.令 t 3tan10，则tan33(t1)，所以 MN33t4t2.(8 分)由基本不等式得 MN332t4t2 2 3，(10 分)当且仅当 t4t，即 t2 时取“”(12 分)此时tan
22、 3，由于62，故 3.(13 分)解 法 2(三 角 函 数)MN 3（tan21）3tan133sincoscos2332sin212cos2123sin2612.(10 分)因为62，所以62656，故12sin261，(12 分)所以当sin261，即 3时，MNmin31122 3.(13 分)答：(1)MN3（tan21）3tan1，其中62；(2)当 3时，MN 的长度最小，为 2 3千米(14 分)(注：第(2)问中最小值对，但第(1)问定义域不对的扣 2 分)【变式 3】(2016 南京学情调研）某市对城市路网进行改造，拟在原有a个标段(注：一个标段是指一定长度的机动车道)的
23、基础上，新建x个标段和n个道路交叉口，其中n与x满足nax5.已知新建一个标段的造价为m万元，新建一个道路交叉口的造价是新建一个标段的造价的k倍(1)写出新建道路交叉口的总造价y(万元)与x的函数关系式；(2)设P是新建标段的总造价与新建道路交叉口的总造价之比若新建的标段数是原有标段数的 20%，且k3.问：P能否大于120？并说明理由 规范解答(1)依题意得ymknmk(ax5)，xN*.(4 分)(2)解法 1 依题意x0.2a.(6 分)所以Pmxyxkax50.2ak0.2a25aka225(8 分)a3a22513a25a132a25a130120.(13 分)答：P不可能大于120
24、.(14 分)解法 2 依题意得x0.2a.(6 分)所以Pmxyxkax50.2ak0.2a25aka225.(8 分)假设P120，得ka220a25k0.(10 分)因为k3，所以100(4k2)0，所以不等式ka220a25k0 无解，与假设矛盾，故P120.(13分)答：P不可能大于120.(14 分)【变式 4】（2016 镇江期末）过去的 2013 年，我国多地区遭遇了雾霾天气，引起口罩热销某品牌口罩原来每只成本为 6 元，售价为 8 元，月销售 5 万只(1)据市场调查，若售价每提高 0.5 元，月销售量将相应减少 0.2 万只，要使月总利润不低于原来的月总利润(月总利润月销售
25、总收入月总成本)，该口罩每只售价最多为多少元？(2)为提高月总利润，厂家决定下月进行营销策略改革，计划每只售价x(x9)元，并投入265(x9)万元作为营销策略改革费用据市场调查，每只售价每提高 0.5 元，月销售量将相应减少0.2x82万只，则当每只售价x为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月最大总利润 规范解答(1)设每只售价为x元，则月销售量为5x80.50.2 万只 由已知得5x80.50.2(x6)(86)5，(3 分)所以25x2535x29650，即 2x253x2960.(4 分)解得 8x372.(5 分)即每只售价最多为 18.5 元(6 分)(2)下月的月总利润 y5x80.50.2x82(x6)265(x9)(9 分)2.40.4xx815x2341505 0.4x80.8x815x845 45x8x85745.(10 分)因为x9，所以45x8x85242545，(12 分)当且仅当45x8x85，即x10，等号成立，所以ymin14.(13 分)答：当x10 时，下月的月总利润最大，且最大利润为 14 万元(14 分)