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1、 所有试卷资料免费下载 1 第三章 随机变量的数字特征 一.填空题 1.设随机变量 X 与 Y 相互独立,D(X)=2,D(Y)=4,D(2XY)=_.解.D(2XY)=4D(X)+D(Y)=12 2.已知随机变量XN(3,1),YN(2,1),且X与Y相互独立,Z=X2Y+7,则Z_.解.因为 Z=X2Y+7,所以 Z 服从正态分布.E(Z)=E(X)2E(Y)+7=0.D(Z)=D(X2Y+7)=D(X)+4D(Y)=1+4=5.所以 ZN(0,5)3.投掷 n 枚骰子,则出现点数之和的数学期望_.解.假设 Xi表示第 i 颗骰子的点数(i=1,2,n).则 E(Xi)=276166126
2、11 (i=1,2,n)又设niiXX1,则27)()()(11nXEXEXEniinii 4.设离散型随机变量 X 的取值是在两次独立试验中事件 A 发生的次数,如果在这些试验中事件发生的概率相同,并且已知 E(X)=0.9,则 D(X)=_.解.),2(pBX,所以 E(X)=0.9=2p.p=0.45,q=0.55 D(X)=2pq=20.450.55=0.495.5.设随机变量 X 在区间1,2上服从均匀分布,随机变量101Y 000XXX,则方差D(Y)=_.解.X031)(x 其它21x Y 的分布律为 Y 1 0 1 p 2/3 0 1/3 因为 3231)0()1(20dxXP
3、YP 0)0()0(XPYP 3131)0()1(01dxXPYP 于是 313132)(YE,13132)(2YE,98)()()(22YEYEYD 6.若随机变量 X1,X2,X3相互独立,且服从相同的两点分布2.08.010,则31iiXX服 所有试卷资料免费下载 2 从_分布,E(X)=_,D(X)=_.解.X 服从 B(3,0.2).所以 E(X)=3p=30.2=0.6,D(X)=3pq=30.20.8=0.48 7.设 X 和 Y 是两个相互独立的随机变量,且 XN(0,1),Y 在1,1上服从均匀分布,则),cov(YX=_.解.因为 X 和 Y 是两个相互独立的随机变量,所以
4、),cov(YX=0.8.设 X 和 Y 是两个相互独立的随机变量,其概率密度分别为:02)(xx 其它10 x,0)()5(yey 其它5y,则 E(XY)=_.解.322)()(10 xdxxdxxxXE 6)()(5)5(dyeydyyyYEy 因为X 和 Y 是两个相互独立的随机变量,所以 E(XY)=E(X)E(Y)=4 9.若随机变量 X1,X2,X3相互独立,其中X1在0,6服从均匀分布,X2服从正态分布N(0,22),X3服从参数=3 的泊松分布,记 Y=X12X2+3X3,则 D(Y)=_.解.)(9)(4)()32()(321321XDXDXDXXXDYD =4639441
5、262 二.单项选择题 1.设随机变量 X 和 Y 独立同分布,记 U=XY,V=X+Y,则 U 和 V 必然(A)不独立 (B)独立 (C)相关系数不为零 (D)相关系数为零 解.因为 X 和 Y 同分布,所以 E(U)=E(X)E(Y)=0,E(U)E(V)=0.0)()()(22YEXEUVE.所以 cov(X,Y)=E(UV)E(U)E(V)=0.(D)是答案.2.已知 X 和 Y 的联合分布如下表所示,则有 Y X 0 1 2 0 1 2 0.1 0.05 0.25 0 0.1 0.2 0.2 0.1 0(A)X 与 Y 不独立 (B)X 与 Y 独立 (C)X 与 Y 不相关 (D
6、)X 与 Y 彼此独立且相关 解.P(X=0)=0.4,P(Y=0)=0.3.0.1=P(X=0,Y=0)P(X=0)P(Y=0).(A)是答案.3.设离散型随机变量X可能取值为:x1=1,x2=2,x3=3,且E(X)=2.3,E(X2)=5.9,则x1,x2, 所有试卷资料免费下载 3 x3所对应的概率为(A)p1=0.1,p2=0.2,p3=0.7 (B)p1=0.2,p2=0.3,p3=0.5(C)p1=0.3,p2=0.5,p3=0.2 (D)p1=0.2,p2=0.5,p3=0.3 解.3.223)1(32)(212121332211pppppppxpxpxXE 7.0221 pp
7、 9.5)1(94)(21213232221212pppppxpxpxXE 1.35821pp 解得 p1=0.2,p2=0.3,p3=0.5.(B)是答案.4.现有 10 张奖券,其中 8 张为 2 元,2 张为 5 元,今每人从中随机地无放回地抽取 3 张,则此人抽得奖券的金额的数学期望(A)6 (B)12 (C)7.8 (D)9 解.假设 X 表示随机地无放回地抽取 3 张,抽得奖券的金额.X 的分布律为 X 6 9 12 p 7/15 7/15 1/15 157)()6(31038ccPXP三张都是二元 157),()9(3101228cccPXP一张五元二张二元 151),()9(3
8、102218cccPXP二张五元一张二元 8.71511215791576)(XE.(C)是答案.5.设随机变量X和Y服从正态分布,XN(,42),YN(,52),记P1=PX 4,P2=PY +5,则(A)对任何,都有 P1=P2 (B)对任何实数,都有 P1 P2 解.P1=X 4=)1(1)1(14XP P2=Y +5=)1(115115YPYP(其中(x)为 N(0,1)的分布函数).所以(A)是答案.6.随机变量=X+Y 与=XY 不相关的充分必要条件为(A)E(X)=E(Y)(B)E(X2)E2(X)=E(Y2)E2(Y)(C)E(X2)=E(Y2)(D)E(X2)+E2(X)=E
9、(Y2)+E2(Y)解.cov(,)=E()E()E() 所有试卷资料免费下载 4 E()=)()()(22YEXEYXYXE E()E()=E(X)+E(Y)E(X)E(Y)=)()(22YEXE 所以(B)是答案.三.计算题 1.设 X 的分布律为1)1()(kkaakXP,k=0,1,2,a 0,试求 E(X),D(X).解.1111011)1()()(kkkkkkaakaakakXkPXE 令 2221211201)1(1)(xxxxxxxkxxkxxfkkkkkk 2222)11()1()1(aaaaaaaf,所以aaaXE21)(.11112022)1()11()1()()(kkk
10、kkkkaakkaakkXPkXE 11111)1()1(11)1()1()1(kkkkkkkkkaaakkaaakaakk 令 3 2 11110)1(21)1()1()(xxxxxxxkxkxkxkxfkkkkkk 23)1(2)11(12)1(aaaaaaaaf,所以2222)1(211)(aaaaaaXE.222222)()()(aaaaaXEXEXD.2.设随机变量 X 具有概率密度为0cos2)(2xx 其它2|x,求 E(X),D(X).解.0cos2)()(222xdxxdxxxXE 所有试卷资料免费下载 5 222222c o s2)()()(xdxxXEXEXD 21122
11、2cos1222202dxxx 3.设随机变量 X 和 Y 的联合概率分布为(X,Y)(0,0)(0,1)(1,0)(1,1)(2,0)(2,1)P(X=x,Y=y)0.10 0.15 0.25 0.20 0.15 0.15 求2)(sinYXE.解.2)(sinYX 的分布律为 sin(X+Y)/2 0 1 1 p 0.45 0.40 0.15 25.015.0)1(40.0145.002)(sinYXE 4.一汽车沿一街道行驶需要通过三个设有红绿信号灯路口,每个信号灯为红或绿与其它信号灯为红或绿相互独立,且红绿两种信号显示的时间相等,以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数,求:i.
12、X 的概率分布,ii.XE11 解.假设 X 为该汽车首次遇到红灯已通过的路口数 X 0 1 2 3 p 1/2 1/22 1/23 1/23 P(X=0)=P第一个路口为红灯=21 P(X=1)=P第一个路口为绿灯,第二个路口为红灯=2212121 P(X=0)=P第一,二路口为绿灯,第三个路口为红灯=321 P(X=0)=P第一,二,三路口为绿灯=321 9667214121312121211111332 XE 5.设(X,Y)的分布密度 04),()(22yxxyeyx 其它0,0yx 求)(22YXE 所有试卷资料免费下载 6 解.00)(222222224),()(yxyxdxdyx
13、yeyxdxdyyxyxYXE 434sincos02202rdrerrdr 6.在长为 l 的线段上任选两点,求两点间距离的数学期望与方差.解.假设 X,Y 为线段上的两点.则它们都服从0,l上的均匀分布,且它们相互独立.X01)(lx 其它lx 0,Y01)(ly 其它ly 0(X,Y)的联合分布为 01)(2lx 其它lyx,0.又设 Z=|XY|,D1=(x,y):x y,0 x,y l,D2=(x,y):x y,0 x,y l 21221)(1)(),(|)(DDdxdylxydxdylyxdxdyyxyxZE lylxdydxxyldxdyyxl002002)(1)(1 32121
14、022022ldyyldxxlll 6)(1),()()(2002222ldxdyyxldxdyyxyxZElylx 1896)()()(22222lllZEZEZD 7.设随机变量 X 的分布密度为)(,21)(|xexx,求 E(X),D(X).解.dtetxtdxexdxxxXEtx|)(2121)()(=dttet|21+0|21dtedtett dtetxtdxexdxxxXEtx|2|222)(2121)()(=02dtett+20022dtedtett 所以 22)()()(2222XEXEXD 所有试卷资料免费下载 7 8.设(X,Y)的联合密度为01),(yx 其它122 y
15、x,求 E(X),D(Y),(X,Y).解.01),()(122 yxxdxdydxdyyxxXE 01),()(122 yxydxdydxdyyxyYE 41cos11),()(201032122222 drrddxdyxdxdyyxxXEyx 41s i n11),()(201032122222 drrddxdyydxdyyxyYEyx 01),()(122 yxxydxdydxdyyxxyXYE 41)()()(22XEXEXD,41)()()(22YEYEYD 0)()()()()(YDXDYEXEXYEXY.9.假设一部机器在一天内发生故障的概率为 0.2,机器发生故障时全天停止工作
16、.若一周 5个工作日里无故障,可获利润10万元,发生一次故障仍可获利润5万元;发生二次故障所获利润 0 元;发生三次或三次以上故障就要亏损 2 万元.求一周内期望利润是多少?解.假设 X 表示一周内发生故障的天数.则 XB(5,0.8)33.0)8.0()0(5XP,41.0)8.0(2.05)1(4XP 20.0)8.0(2.0)2(3225cXP,06.020.041.033.01)3(XP 又设Y 为该企业的利润,Y 的分布律为 Y 10 5 0 2 p 0.33 0.41 0.20 0.06 E(Y)=100.33+50.41+00.20+(2)0.06=5.23(万元)10.两台相互
17、独立的自动记录仪,每台无故障工作的时间服从参数为 5 的指数分布;若先开动其中的一台,当其发生故障时停用而另一台自行开动.试求两台记录仪无故障工作的总时间 T 的概率密度)(tf、数学期望和方差.解.假设 X、Y 分别表示第一、二台记录仪的无故障工作时间,则 X、Y 的密度函数如下:0005)(,5xxexfYXx 所有试卷资料免费下载 8 X、Y 相互独立,且 T=X+Y.X、Y 的联合密度:,00,0,25),()(5yxeyxfyx 关于 T 的分布函数:tyxTdxdyyxftYXPtTPtF),()(当 0t时 tyxtyxTdxdydxdyyxftYXPtTPtF00),()(当 0t时 0,0)(525),()(yxtyxyxtyxTdxdyedxdyyxftYXPtTPtF tttxtyxxtytxteedxeedyedxe550055050551|)(525 所以 0,00,51)(55ttteetFttT 所以 T 的概率密度:0,00,25)()(5ttettFtftTT 所以 5225)()(052dtetdttftTEtT 所以 25225425)52()()()()(0532222dtetdttftTETETDtT