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1、 所有试卷资料免费下载 1 第六章 参数估计 一 填空题 1.设总体 XN(,2),若2已知,总体均值 的置信度为 1 的置信区间为:),(nXnX,则 =_.解.XN(,2),则)1,0(NnX 由 1|/|nXP 得置信区间),(nXnX 所以 21 u.2.设由来自正态总体 N(,0.92)容量为 9 的简单随机样本,得样本均值X=5,则未知参数的置信度为 0.95 的置信区间_.解.由第一题及查表知 96.1975.0 u.的置信区间为 )5 8 8.5,4 1 2.4()99.096.15,99.096.15(3.设 X1,X2为来自正态总体 N(,2)的样本,若2119991XCX
2、为的一个无偏估计,则C=_.解.199911999121CXCXE,所以 19991998C 4.设(X1,X2,Xn)为来自正态总体 XU(,+1)(0)的样本,则的矩估计量为_;极大似然估计量为_.解.总体 X 的密度为其它011)(xx i.矩估计量 )12(21)(1x d xXE 用X来估计 E(X):X)12(21,21X ii.最大似然估计 Xi其它011)(iiixx (i=1,2,n) 所有试卷资料免费下载 2 所以(X1,X2,Xn)的联合密度为其它01,1),(11nnxxxx),(1nxx在1,1nxx范围中为常数.min x1,xn.所以 =min x1,xn.5.设
3、(X1,X2,Xn)为来自正态总体 N(,2)的样本,a,b 为常数,且 0 a b,则随机区间 niiniiaXbX1212)(,)(的长度 L 的数学期望为_.解.niiniiniiniiXEbXEabXaXE12121212)(1)(1)()(222)11(11bannbna 二 单项选择题 1.设总体 XN(,2),其中2已知,则总体均值 的置信区间的长度 l 与置信度 1的关系是(A)当 1缩小时,l 缩短.(B)当 1缩小时,l 增大.(C)当 1缩小时,l 不变.(D)以上说法均错.解.的置信区间为),(2121nuXnuX,当 1缩小时,21u缩小.置信区间长度为 2nu21.
4、所以(A)是答案.2.设总体 XN(,2),其中2已知,若样本容量 n 和置信度 1均不变,则对于不同的样本观察值,总体均值的置信区间的长度(A)变长 (B)变短 (C)不变 (D)不能确定 解.由第一题知:的置信区间长度为 2nu21,和样本的取值无关.(B)是答案.3.设随机变量 X1,X2,Xn相互独立且同分布,niiniiXXnSXnX1221)(11,1,2)(iXD,则 S(A)是 的一致估计 (B)是 的无偏估计(C)是 的极大似然估计 (D)与X相互独立 解.(A)是答案,具体内容超出大纲要求 所有试卷资料免费下载 3 4.设为的无偏估计,且 D()0,则()2必为2的(A)无
5、偏估计 (B)有偏估计 (C)一致估计 (D)有效估计 解.因为为的无偏估计,所以 E()=.E()2)=D()+E()2=D()+2 2.(B)是答案.5.设(X1,X2,Xn)为取自正态总体 XN(,2)的样本,则2+2 的矩法估计量为(A)niiXXn12)(1 (B)niiXXn12)(11(C)niiXnX122 (D)niiXn121 解.按矩估计方法:22,XX,2121221)(1XXnXXnniinii 所以 222X+2121XXnnii=niiXn121.(D)是答案.6.设总体 X 的分布中未知参数的置信度为 1的置信区间是T1,T2,即 1)(21TTP 则下列说法正
6、确的是(A)对 T1,T2的观察值 t1,t2,t1,t2 (B)以 1的概率落入区间T1,T2(C)区间T1,T2以 1的概率包含 (D)的数学期望 E()必属于T1,T2 解.(C)是答案.三.计算与证明题 1.设总体 X 服从参数为的 Poisson 分布,X1,X2,Xn为样本,试求的矩估计和极大似然估计.解.Xi),2,1,0(!)(kekkXPki i.矩估计 因为 E(X)=,所以X.ii.最大似然函数为 niixnniiixexXPLi11!)()(niiniixnxL11lnln)(ln 所有试卷资料免费下载 4 01ln1nxLnii 所以 XXnnii11.2.设总体 X
7、 的密度函数为0,21),(222)(ln12xexxfx 其中 0 为未知参数,试求,2的极大似然估计.解.最大似然函数为 222)(l n112121),(ixininexxxf niiniinxxnf122122)(l n21ln2)2ln(ln 0)(ln221ln12niixf 0)(ln)(212ln212222niixnf 所以 niiXn1ln1,212)(ln1niiXn 3.设总体 X 服从(0,)上的均匀分布,X1,X2,Xn为取自 X 的样本.i.求的矩估计1,并讨论其无偏性和一致性.ii.求的极大似然估计2,并讨论其无偏性和一致性.解.总体 X其它00/1)(xx i
8、.矩估计 2)(XE,所以 X21,X21 22)(2)(1XEE,所以 1是的无偏估计;因为)(03124)(4)(4)(2221121nnnnXDnXDDni 所有试卷资料免费下载 5 所以1是的一致估计.ii.最大似然估计 所以(X1,X2,Xn)的联合密度为其它0,01),(11nnnxxxx 越小,),(1nxx就越大.但的值不能小于 niix1max.所以 niix12m a x.假设 Z=niix12max.又设 FX(x)是总体 X 的分布函数.所以 Z 的密度函数为 FX(z)=FX(x)n Z 的密度函数为 其它001)()()()(11zznxzFnxnnXZ 所以 11
9、)()()(01nndzzzndzzzZEnZ 所以niix12max不是的无偏估计;20122221)()()(nndzznzdzzzZEnZ 0)1)(2()1(2)()()(22222nnnnnnnZEZEZD 由于 ,1)(nnZE0)1)(2()(2nnnZD 所以niix12max是的一致估计.4.设总体 X 的密度函数为 000)(1xxeaxxfaxa (0,a 0)根据取自总体 X 的样本(X1,X2,Xn),求未知参数的极大似然估计量.解.最大似然函数为 所有试卷资料免费下载 6 1111),(ainixnnnxeaxxfniai niainiaixxnf111lnlnln
10、 0ln1niaixnf 所以 niaiXn1.5.设(X1,X2,Xn)为取自总体 X 的样本,1,01niii,证明 i.iniiX1为 E(X)的无偏估计.ii.在上述所有无偏估计中,以niiXnX11最有效.解.i.niiiniiiXEXE11)()(=)()(1XEXEnii 所以iniiX1为 E(X)的无偏估计;ii.niiiniiiXEXE121)()(=niiXD12)(所以该问题转化为:在条件1,01niii下,i取何值时,nii12最小.条件极值:最小目标函数条件niinniif1211),(1 令),(1nFniinii112)1(02iiF,(i=1,2,n).解得
11、nn11 所有试卷资料免费下载 7 即iniiX1作为 E(X)的无偏估计中,以niiXnX11最有效.6.设某产品的性能指标 XN(,2),现随机抽取 20 个产品进行检测,检测后经计算得这些产品的性能指标均值X=5.21,S2=0.049,试求 X 的标准差的置信度为 0.95 的置信区间.解.1=0.95,/2=0.025,n=20,s2=0.049.XN(,2),)19(19)1(222222SSn 由 95.01)19()19(221222P 查2表,查得 )19(22=91.8)19(2025.0,)19(221=9.32)19(2975.0 2的 95置信区间为 10.0,03.091.8049.019,9.32049.019)19()1(,)19()1(2025.022975.02snsn 所以,的 95置信区间为:0.17,0.32.注意:理工类与经济类本章的习题完全相同,但计算与证明题部分题号不全相同.