概率论25376.pdf

《概率论25376.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率论25376.pdf（14页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。

1、 所有试卷资料免费下载 1 第二章 随机变量及其分布 一.填空题 1.设随机变量 XB(2,p),YB(3,p),若 P(X 1)=95,则 P(Y 1)=_.解.94951)1(1)0(XPXP 94)1(2 p,31p 2719321)0(1)1(3YPYP 2.已知随机变量 X 只能取1,0,1,2 四个数值,其相应的概率依次为cccc162,85,43,21,则c=_.解.2,16321628543211cccccc 3.用随机变量 X 的分布函数 F(x)表示下述概率:P(X a)=_.P(X=a)=_.P(X a)=_.P(x1 X x2)=_.解.P(X a)=F(a)P(X=a

2、)=P(X a)P(X a)=1F(a)P(x1 X x2)=F(x2)F(x1)4.设 k 在(0,5)上服从均匀分布,则02442kkxx有实根的概率为_.解.k 的分布密度为051)(kf 其它50 k P02442kkxx有实根=P03216162kk =Pk 1 或 k 2=535152dk 5.已知2,kbkYPkakXP(k=1,2,3),X与Y独立,则a=_,b=_,联合概率分布_,Z=X+Y 的概率分布为_.解.116,132aaaa.4936,194bbbb 所有试卷资料免费下载 2(X,Y)的联合分布为 Y X 1 2 3 1 2 3 ab 4ab 9ab 2ab 8ab

3、 18ab 3ab 12ab 27ab Z=X+Y 2 1 0 1 2 P 24 66 251 126 72 ab=216,5391 249)3()1()3,1()2(abYPXPYXPZP 66)2,1()3,2()1(YXPYXPZP 251)1,1()2,2()3,3()0(YXPYXPYXPZP 1 2 6)2,3()1,2()1(YXPYXPZP 723)1()3()1,3()2(abYPXPYXPZP 6.已知(X,Y)联合密度为0)sin(),(yxcyx 其它4,0yx,则 c=_,Y 的边缘概率密度)(yY_.解.12,1)sin(4/04/0 cdxdyyxc 所以0)si

4、n()12(),(yxyx 其它4,0yx 当 40 y时 )4cos()(cos12()sin()12(),()(40yydxyxdxyxyY 所有试卷资料免费下载 3 所以 0)4cos()(cos12()(yyyY 其它40 y 7.设平面区域D由曲线2,1,01exxyxy及直线围成,二维随机变量(X,Y)在D上服从均匀分布,则(X,Y)关于 X 的边缘密度在 x=2 处的值为_.解.D 的面积=2121edxx.所以二维随机变量(X,Y)的密度为:021),(yx 其它Dyx),(下面求 X 的边沿密度:当 x e2时 0)(xX 当 1 x e2时 xXxdydyyxx102121

5、),()(,所以41)2(X.8.若X1,X2,Xn是 正 态 总 体N(,2)的 一 组 简 单 随 机 样 本,则)(121nXXXnX服从_.解.独立正态分布随机变量的线性函数服从正态分布.niiniiXEnXnE11)(11,nXDnXnDniinii2121)(11 所以 ),(2nNX 9.如果(X,Y)的联合分布用下列表格给出,(X,Y)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)P 61 91 181 31 且 X 与 Y 相互独立,则=_,=_.解.Y X 1 2 3 1 2 1/6 1/9 1/18 1/3 所有试卷资料免费下载 4 213161)1(,18

6、1)3(,91)2(,31)2(YPYPYPXP 132)3()2()1(YPYPYP )181)(31()3()2()3,2()91)(31()2()2()2,2(YPXPYXPYPXPYXP 两式相除得18191,解得 2,92,91.10.设(X,Y)的联合分布律为 Y X 2 1 0 1 21 3 121 121 123 122 121 0 122 0 122 则 i.Z=X+Y 的分布律 _.ii.V=XY 的分布律_.iii.U=X2+Y2 的分布律_.解.X+Y 3 2 1 3/2 1/2 1 3 P 1/12 1/12 3/12 2/12 1/12 2/12 2/12 XY 1

7、 0 1 3/2 5/2 3 5 P 3/12 1/12 1/12 1/12 2/12 2/12 2/12 X2+Y2 15/4 3 11/4 2 1 5 7 P 2/12 1/12 1/12 1/12 3/12 2/12 2/12 二.单项选择题 1.如下四个函数哪个是随机变量 X 的分布函数(A)2210)(xF 0022xxx,(B)1sin0)(xxF xxx00 所有试卷资料免费下载 5(C)1sin0)(xxF 2/2/00 xxx,(D)1310)(xxF 212100 xxx 解.(A)不满足 F(+)=1,排除(A);(B)不满足单增,排除(B);(D)不满足 F(1/2+0

8、)=F(1/2),排除(D);(C)是答案.2.),4,2,0(!/)(kkeckXPk是随机变量 X 的概率分布,则,c 一定满足(A)0 (B)c 0 (C)c 0 (D)c 0,且 0 解.因为),4,2,0(!/)(kkeckXPk,所以 c 0.而 k 为偶数,所以可以为负.所以(B)是答案.3.XN(1,1),概率密度为(x),则(A)5.0)0()0(XPXp (B),(),()(xxx(C)5.0)1()1(XPXp (D),(),(1)(xxFxF 解.因为 E(X)=1,所以5.0)1()1(XPXp.(C)是答案.4.X,Y 相互独立,且都服从区间0,1上的均匀分布,则服

9、从区间或区域上的均匀分布的随机变量是(A)(X,Y)(B)X+Y (C)X2 (D)XY 解.X01)(x 其它10 x,Y01)(y 其它10 y.所以(X,Y)01),(yx 其它1,0yx.所以(A)是答案.5.设函数120)(xxF 1100 xxx则(A)F(x)是随机变量 X 的分布函数.(B)不是分布函数.(C)离散型分布函数.(D)连续型分布函数.解.因为不满足 F(1+0)=F(1),所以 F(x)不是分布函数,(B)是答案.6.设X,Y是相互独立的两个随机变量,它们的分布函数为)(),(yFxFYX,则Z=max(X,Y)的分布函数是(A)(zFZ=max)(),(zFzF

10、YX (B)(zFZ=max|)(|,)(|zFzFYX(C)(zFZ=)()(zFzFYX (D)都不是 所有试卷资料免费下载 6 解.),max()()(zYzXPzYXPzZPzFZ且 )()()()(zFzFzYPzXPYX因为独立.(C)是答案.7.设 X,Y 是相互独立的两个随机变量,其分布函数分别为)(),(yFxFYX,则 Z=min(X,Y)的分布函数是(A)(zFZ=)(zFX (B)(zFZ=)(zFY(C)(zFZ=min)(),(zFzFYX (D)(zFZ=11)(zFX1)(zFY 解.1),min(1)(1)()(zYzXPzYXPzZPzZPzFZ且 )(1)

11、(1 1)(1)(1 1zFzFzYPzXPYX因为独立(D)是答案.8.设 X 的密度函数为)(x,而,)1(1)(2xx 则 Y=2X 的概率密度是(A)41(12y (B)4(22y (C)1(12y (D)yarctan1 解.)2()2(2)()(yFyXPyXPyYPyFXY )4(2)2(112121)2()2()()(22yyyyFyFyXXYY(B)是答案.9.设随机变量(X,Y)的联合分布函数为0),()(yxeyx 其它0,0yx,则2YXZ的分布密度是(A)021)()(yxZeZ 其它0,0yx (B)0)(2yxZez 其它0,0yx(C)04)(2zZzeZ 00

12、zz (D)021)(zZeZ 00zz 解.2YXZ是一维随机变量,密度函数是一元函数,排除(A),(B) 所有试卷资料免费下载 7 21210dzez,所以(D)不是答案.(C)是答案.注:排除法做单项选择题是经常使用而且很有效的方法.该题也可直接计算 Z 的密度:当 z 0 时 0)(zFZ 当 z 0 时 zyxZdxdyyxzYXPzYXPzZPzF2),()2()2()()(=12222020zzzxzyxezedxdyee )()(zFzZZ042zze 00zz,(C)是答案.10.设两个相互独立的随机变量 X 和 Y 分别服从正态分布 N(0,1)和 N(1,1),则下列结论

13、正确的是(A)PX+Y 0=1/2 (B)PX+Y 1=1/2 (C)PXY 0=1/2 (D)PXY 1=1/2 解.因为 X 和 Y 分别服从正态分布 N(0,1)和 N(1,1),且 X 和 Y 相互独立,所以 X+Y N(1,2),XY N(1,2)于是 PX+Y 1=1/2,(B)是答案.11.设随机变量 X 服从指数分布,则 Y=minX,2的分布函数是(A)是连续函数 (B)至少有两个间断点 (C)是阶梯函数 (D)恰好有一个间断点 解.分布函数:)2,(m i n(1)2,(m i n()()(yXPyXPyYPyFY 当 y 2 时 101)2,(m i n(1)(yXPyF

14、Y 当 0 y 2 时 )2,(1)2,(m i n(1)(yyXyXPyFY yeyXPyXP1)()(1 当 y 0 时 )2,(1)2,(m i n(1)(yyXyXPyFY 0)()(1yXPyXP 于是 011)(yYeyF 0202yyy 只有 y=2 一个间断点,(D)是答案 所有试卷资料免费下载 8 三.计算题 1.某射手有 5 发子弹,射击一次的命中率为 0.9,如果他命中目标就停止射击,不命中就一直到用完 5 发子弹,求所用子弹数 X 的分布密度.解.假设 X 表示所用子弹数.X=1,2,3,4,5.P(X=i)=P(前 i1 次不中,第 i 次命中)=9.0)1.0(1i

15、,i=1,2,3,4.当 i=5 时,只要前四次不中,无论第五次中与不中,都要结束射击(因为只有五发子弹).所以 P(X=5)=4)1.0(.于是分布律为 X 1 2 3 4 5 p 0.9 0.09 0.009 0.0009 0.0001 2.设一批产品中有 10 件正品,3 件次品,现一件一件地随机取出,分别求出在下列各情形中直到取得正品为止所需次数 X 的分布密度.i.每次取出的产品不放回;ii.每次取出的产品经检验后放回,再抽取;iii.每次取出一件产品后总以一件正品放回,再抽取.解.假设 Ai表示第 i 次取出正品(i=1,2,3,)i.每次取出的产品不放回 X 1 2 3 4 p

16、1310 1331210 1331221110 133122111 1310)()1(1APXP 1331210)()|()()2(11212APAAPAAPXP 1331221110)()|()|()()3(11223321APAAPAAPAAAPXP 1331221111)()|()|()|()4(1122334APAAPAAPAAPXP ii.每次抽取后将原产品放回 X 1 2 k p 1310 1310133 1331331k 1310133)()()()()(11111kkkkkAPAPAPAAApkXP,(k=1,2,)iii.每次抽取后总以一个正品放回 X 1 2 3 4 所有试

17、卷资料免费下载 9 p 1310 1311133 1312132133 1331321311 1310)()1(1APXP 1331311)()|()()2(11212APAAPAAPXP 1331321312)()|()|()()3(112123321APAAPAAAPAAAPXP 1331321311)()|()|()|()4(1121231234APAAPAAAPAAAAPXP 3.随机变量 X 的密度为01)(2xcx 其它1|x,求:i.常数 c;ii.X 落在)21,21(内的概率.解.1,22|arcsin21)(110112cccxcdxxcdxx 3162|a r c s i

18、 n211)2/1,2/1(2/102/12/12xxdxXP 4.随机变量 X 分布密度为 i.2102)(xx 其它1|x,ii.02)(xxx 其它2110 xx 求 i.,ii 的分布函数 F(x).解.i.当 x 1 时 xxdtdttxF00)()(当1 x 1 时 xxxxxdttdttxF21arcsin1112)()(212 当 x 1 时 xdttdttxF112)()(112 所以 121arcsin110)(2xxxxF 1111xxx ii.当 x 0 时 xxdtdttxF00)()( 所有试卷资料免费下载 10 当 0 x 1 时 xxxt d tdttxF2)(

19、)(20 当 1 x 2 时 122)2()()(2110 xxdtttdtdttxFxx 当 2 x时 1)2()()(2110 xdtttdtdttxF 所以 112220)(22xxxxF 221100 xxxx 5.设测量从某地到某一目标的距离时带有的随机误差 X 具有分布密度函数 3 2 0 0)20(exp2401)(2xx,x +试求:i.测量误差的绝对值不超过 30 的概率;ii.接连独立测量三次,至少有一次误差的绝对值不超过 30 的概率.解.因为3200)20(exp2401)(2xx,x 0 时 xDxPxDPxXPxF44)()()(2 当时即425,54xx F(x)

20、=0 当时即925,645xx xDxPxDPxXPxF44)()()(2 =54145xdtx 当 x 9时 所有试卷资料免费下载 12 1)()(65dtdttxFx 所以 1540)(xxF 99425425xxx 密度01)()(xxFx 其它9425 x 8.已知 X 服从参数 p=0.6 的 01 分布在 X=0,X=1 下,关于 Y 的条件分布分别为表 1、表 2 所示 表 1 表 2 Y 1 2 3 Y 1 2 3 P(Y|X=0)41 21 41 P(Y|X=1)21 61 31 求(X,Y)的联合概率分布,以及在 Y 1 时,关于 X 的条件分布.解.X 的分布律为 X 0

21、 1 p 0.4 0.6(X,Y)的联合分布为 Y X 1 2 3 0 1 0.1 0.2 0.1 0.3 0.1 0.2 3.05321)1()1|1()1,1(XPXYPYXP 1.05361)1()1|2()2,1(XPXYPYXP 2.05331)1()1|3()3,1(XPXYPYXP 1.05241)0()0|1()1,0(XPXYPYXP 2.05221)0()0|2()2,0(XPXYPYXP 1.05241)0()0|3()3,0(XPXYPYXP 所以 Y 的分布律为 Y 1 2 3 p 0.4 0.3 0.3 5.06.03.0)1()1,0()1|0(YPYXPYXP

22、所有试卷资料免费下载 13 5.06.03.0)1()1,1()1|1(YPYXPYXP 所以 X|Y 1 0 1 p 0.5 0.5 9.设随机变量X与Y相互独立,并在区间0,9上服从均匀分布,求随机变量YXZ 的分布密度.解.X091)(xX 其它90 x,Y091)(xY 其它90 y 因为X,Y 相互独立,所以(X,Y)联合密度为 (X,Y)0811),(yx 其它9,0yx,)()()(zXYPzZPzFZ 当 z 0 时 0)(zFZ 当 0 z 1 时 y=xz(z 1)所以 221210)()(zzFzZZ 1100zzz D2 10.设(X,Y)的密度为 0)1(24),(y

23、xyyx 其它1,0,0yxyx 求:i.)21|(),|(),(xyxyxX,ii.)21|(),|(),(yxyxyY 解 所有试卷资料免费下载 14 i.dyyxxX),()(当 x 0 或 x 1 时 0),()(dyyxxX 当 0 x 1 时 310)1(4)1(24),()(xdyyxydyyxxxX 所以 0)1(4)(3xxX 其它10 x 所以 0)1()1(6)(),()|(3xyxyxyxxyX 其它1,0,0yxyx 所以 0)21(24)21|(yyxy 其它210 y ii.dxyxyY),()(当 y 0 或 y 1 时 0),()(dxyxyY 当 0 y 1 时 210)1(12)1(24),()(yydxyxydxyxyyY 所以 0)1(12)(2yyyY 其它10 y 所以 0)1()1(2)(),()|(2yyxyyxyxY 其它1,0,0yxyx 所以 0)21(4)21|(xyx 其它210 x